Урок-практикум «Формула Бернулли: прогнозируем успех» (9 класс, вероятность и статистика)

Методическая разработка

урока-практикума «Формула Бернулли: прогнозируем успех» (9 класс)

Автор: Тарасова М.В.

«Пояснительная записка»

Вариативность применения (в соответствии с принципами ФГОС и ФОП)

Данная методическая разработка не является жёстким сценарием, а представляет собой адаптивный конструктор урока, который учитель может гибко настраивать под:

• актуальный уровень сформированности предметных умений класса;

• этап изучения темы (первичное освоение, закрепление, обобщение);

• формат проведения (очный, дистанционный, смешанный).

Предусмотрены три основных режима работы с материалом, позволяющие реализовать дифференцированный и деятельностный подход, а также соблюсти требования ФОП к формированию функциональной грамотности.

1. Полностью самостоятельная работа (режим «Контроль» / «Самопроверка»)

• Как используется: Учащиеся выполняют задания 1 и 2 без помощи учителя (индивидуально или в парах).

• Когда применять: При достаточном уровне подготовки класса, для итогового контроля или в качестве домашней работы.

• Планируемый результат: Формирование регулятивных УУД (самоконтроль, коррекция).

2. Первая часть — совместно с учителем (режим «Обучение» / «Инструктаж»)

• Как используется: Учитель вместе с классом заполняет таблицу в задании 1 (проговаривая формулу, расчёт Cₙᵏ и степеней). Вопросы под таблицей и задание 2 учащиеся выполняют самостоятельно.

• Когда применять: На этапе первичного освоения формулы Бернулли или в классе с невысоким уровнем математической подготовки.

• Планируемый результат: Снижение тревожности, поэтапное формирование вычислительного навыка, соблюдение принципа «минимакса» (все достигают базового уровня, сильные идут дальше).

3. Вся работа выполняется совместно (режим «Разбор» / «Групповое решение»)

• Как используется: Учитель организует коллективное обсуждение каждого шага, включая анализ стратегии в задании 2. Учащиеся фиксируют решение в тетрадях, комментируя свои действия.

• Когда применять: В классе с низкой мотивацией или при работе с детьми, нуждающимися в педагогической поддержке (в том числе на уроках повторения перед ОГЭ).

• Планируемый результат: Обеспечение «зоны ближайшего развития» (Л.С. Выготский), формирование коммуникативных УУД (аргументация, участие в дискуссии).

Дополнительная адаптация (вариативность в рамках ФОП)

• Профориентационный акцент: Легенду можно заменить (рекламное агентство, социологический центр, страховая компания) — материал становится инструментом профориентации.

• Подготовка к ОГЭ: Задачи 1 и 2 напрямую соответствуют заданиям по теории вероятностей в КИМ ОГЭ (формула Бернулли, анализ вероятностных сценариев).

• Цифровая реализация: Разработка легко переносится на платформы (Google Forms, Quizizz, ЯКласс) без потери дидактического содержания.

План-конспект урока-практикума № 18 «Формула Бернулли: прогнозируем успех» 9А, В

Цель: Освоить применение формулы Бернулли для анализа серии испытаний и понять её связь со статистикой.

Легенда: Мы — отдел data-аналитиков медиа-холдинга «Виртуальный мир». Наша задача — помочь блогерам прогнозировать успех их контента.

Ход урока

Цель ПР: Освоить применение формулы Бернулли для прогнозирования результатов в условиях повторяющихся независимых событий (на примере анализа эффективности контента) и научиться делать на её основе содержательные выводы.

I. Вводный брифинг (5 мин)
(Твой мотивирующий старт)
«Добрый день, коллеги-аналитики! Сегодня у нас важный кейс. Наши клиенты — видеоблогеры. Они хотят понимать, на какой результат им ориентироваться. Ваша задача — освоить ключевой инструмент для таких прогнозов — формулу Бернулли. Она позволит нам из разрозненных данных прошлого строить точные расчёты на будущее. На выходе — конкретные цифры для стратегии контент-плана».

II. Теоретическая подготовка (10 мин)

1. Повторение условий (3 мин): Что такое n, p, k, q? Условия независимости, одинаковости, два исхода.

2. Вывод формулы (5 мин): На примере «3 видео, успех p=0.6, найти шанс ровно 2 успеха» выводим общую формулу:
   Pₙ(k) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ (фиксируем на доске).

3. Откуда берётся p? (2 мин): (Отвечаем на ключевой вопрос)
   «p=0.6 — это не догма. Это — оценка из статистики. Если за прошлый месяц из 100 видео 60 набрали >10к просмотров, то относительная частота успеха = 60/100 = 0.6. Мы берём эту оценку для моделирования будущего. Сначала статистика (сбор данных), потом теория вероятностей (прогноз)».

III. Практическое задание №1 (15 мин) – «Базовый расчёт»
Раздаётся единый бланк-задание всему классу.

Техническое задание №1 от клиента:
«Блогер «Стример»: вероятность успеха одного короткого видео (p) = 0.6. В день он стабильно публикует 3 видео (n=3). Проанализируйте распределение вероятностей по исходам».

Откуда берётся 0.4? (q = 1 - p)

Это нужно обязательно проговаривать, когда пишите формулу.

На доске так:

Успех (видео набрало >10к): p = 0.6
Неудача (видео набрало ≤10к): q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4

И объяснение: «Если шанс успеха 60%, то шанс неудачи — оставшиеся 40%. Вероятности всех исходов в сумме дают 1 (100%)».

Ваша задача: Заполните расчётную таблицу.

Самое главное: что такое C₃⁰ и почему это 1?

C₃⁰ — это число сочетаний. Читается: «Цэ из трёх по нулю».

Объяснение: «Сколькими способами можно выбрать НИ ОДНО успешное видео из трёх?»

Объяснение для класса (проще всего):
«Представьте, вам из трёх видео нужно выбрать 0 успешных. То есть, по сути, ничего не выбирать. Такой способ всегда ровно один — просто взять все три видео как неудачные. Поэтому C₃⁰ = 1».

или

Более формально (по формуле):
Формула числа сочетаний:
C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)
Для C₃⁰: n=3, k=0.
C₃⁰ = 3! / (0! * (3-0)!) = (1*2*3) / (1 * (1*2*3)) = 6 / (1*6) = 1

Важно: 0! (ноль-факториал) по определению равен 1. Это нужно просто принять как правило.

C_n⁰ и C_nⁿ всегда равны 1 — это железное правило, которое стоит запомнить.

Как быстро найти C₃⁰, C₃¹, C₃², C₃³ без сложных расчётов?

Используем «треугольник Паскаля» или правило:
Для маленьких n можно просто перечислить или запомнить:

• C₃⁰ = 1 (способов выбрать 0 из 3)

• C₃¹ = 3 (способов выбрать 1 из 3: можно выбрать 1-е, 2-е или 3-е видео успешным)

• C₃² = 3 (способов выбрать 2 из 3: успешными могут быть пары 1+2, 1+3, 2+3)

• C₃³ = 1 (способов выбрать все 3 из 3 — только один способ: все успешны)

Можно показать наглядно на трёх точках (видео) — как их обводить для разных k.

После вывода формулы:
«Давайте убедимся, что мы понимаем все части формулы. Возьмём пример для k=0 — когда ни одно видео не успешно.

• C₃⁰ — сколько способов выбрать 0 успешных из 3? Только один способ — все три неуспешны. Поэтому C₃⁰ = 1.

• (0.6)⁰ — это 0.6 в нулевой степени. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.

• (0.4)³ — это 0.4 * 0.4 * 0.4 = 0.064.
  Итого: 1 * 1 * 0.064 = 0.064.

Таким же образом C₃¹ = 3, C₃² = 3, C₃³ = 1. Эти числа мы и подставляем в таблицу».

Учащиеся заполняют графу «Поэтапный расчёт» и итоговую вероятность.

IV. Общая сверка и выводы по ТЗ №1 (5 мин)

1. Проецируемготовую заполненную таблицу с ответами (как выше). Они проверяют.

2. Фронтально задаём вопросы на выводы (они записывают кратко):

   • Вопрос 1: Какое число успешных видео (k) наиболее вероятно?
     Ответ: 2 (вероятность ~43.2%).

   • Вопрос 2: Какова вероятность полного провала (ни одного успешного видео)?
     Ответ: 0.064 или 6.4% (довольно низкая).

   • Вопрос 3: Верно ли, что раз p=0.6 > 0.5, то чаще всего будут все 3 успеха?
     Ответ: Неверно. Самое вероятное — 2 успеха. Это показывает, что интуиция часто ошибается, а формула даёт точную картину.

V. Практическое задание №2 (7 мин) – «Анализ сценария»
Техническое задание №2 (Бонус для продвинутых аналитиков):
«Клиент рассматривает стратегию «качеством, а не количеством»: улучшить контент так, чтобы p выросла до 0.8, но публиковать только 2 видео в день (n=2). Не производя точных расчётов, проанализируйте:

1. Как изменится самое вероятное число успешных видео?

2. Как это повлияет на риск полного провала (k=0)?»

Ожидаемые ответы (проверяешь логику, а не число):

1. По самому вероятному k:
   Было: n*p = 3*0.6 = 1.8 → ~2 успеха.
   Стало: n*p = 2*0.8 = 1.6 → ~1 или 2 успеха (самое вероятное число останется в том же диапазоне 1-2).
   Вывод: Количество «хитов» в день сильно не изменится, но шанс, что оба видео будут успешными, возрастёт.

2. По риску провала:
   Вероятность провала P(0) = qⁿ. Было: (0.4)³=0.064. Стало: (0.2)²=0.04.
   Вывод: Риск провала снизится (с 6.4% до 4%).

VI. Итоговая ретроспектива и домашнее задание (3 мин)
(Твоё резюме)
«Итак, коллеги, сегодня мы отработали полный цикл аналитика:

1. Получили оценку p из статистики.

2. Применили формулу Бернулли для точного расчёта распределения вероятностей.

3. Сделали выводы для бизнеса (на что ориентироваться, какой риск).

4. Проанализировали сценарий изменения стратегии.

Домашнее задание: Закрепить навык. № 244 из учебника. Придумать свой небольшой кейс (3-4 предложения) на любую тему (спорт, учёба, хобби), где можно применить формулу Бернулли, указав n, p, k».

Возможные вопросы от учащихся и короткие ответы:

• «А если p оценили неточно?» – «Верно, прогноз будет неточным. Поэтому аналитики постоянно обновляют данные и пересчитывают модели».

• «Зачем нам C₃ᵏ, если можно просто перебрать?» – «Для n=3 — можно. А для n=100? Формула даёт ответ за секунду».

• «Почему в ТЗ №2 самое вероятное число ~1.6, а не 1 или 2?» – «Потому что это математическое ожидание — среднее значение при многократном повторении. А вот вероятность P(1) и P(2) будут близки по значению».

Раздаточный материал

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № ___ Теме «Применение формулы Бернулли»
Учебный предмет: Вероятность и статистика Класс: 9 __ ФИО____________________________

Инструкция для учащегося

Вам предстоит решить две аналитические задачи, применяя формулу Бернулли. Все вычисления производите с точностью до тысячных (0.001). Используйте калькулятор.

ЗАДАНИЕ 1. БАЗОВЫЙ РАСЧЁТ (0-8 баллов)

Условие:
Видеоблогер, анализируя свою статистику, установил, что вероятность того, что его короткое видео наберёт более 10 000 просмотров, равна 0.6. В течение одного дня он публикует 3 таких видео. События являются независимыми.

Требуется:

1. Заполните таблицу, рассчитав вероятность того, что ровно k видео будут успешными (наберут >10 000 просмотров).

2. Ответьте на вопросы после таблицы.

Таблица для заполнения:

Вопросы по Заданию 1:

1. (1 балл) Какое число успешных видео является наиболее вероятным? Ответ: k = _____

2. (1 балл) Чему равна вероятность события «ни одно видео не наберёт более 10 000 просмотров»? Ответ: P = _____

3. (3 балла) Верно ли следующее утверждение? «Так как вероятность успеха одного видео (0.6) больше 0.5, то наиболее вероятно, что успешными будут все три видео». Обведите правильный ответ и дайте краткое объяснение, основанное на расчётах.

   • ДА / НЕТ

   • Объяснение: _______________________________________________________

ЗАДАНИЕ 2. АНАЛИЗ СЦЕНАРИЯ (5 баллов)

Блогер рассматривает изменение стратегии: улучшить качество контента, чтобы повысить вероятность успеха одного видео до p = 0.8, но публиковать только n = 2 видео в день.

Требуется: Не производя точных вычислений, дайте качественный прогноз на основе логики формулы Бернулли.

1. (2 балла) Как, по вашему мнению, изменится самое вероятное число успешных видео за день по сравнению с изначальной стратегией (n=3, p=0.6)? Объясните.___________________________________________________________________________

2. (3 балла) Как изменится риск полного провала (ни одно видео не будет успешным)? Объясните, используя понятия q и n.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

• Задание 1. Таблица (тренировка): 0 баллов за факт (совместного) заполнения.

  • Вопросы после таблицы (понимание): 5 баллов.

    • Вопрос 1 (наиболее вероятное k): 1 балл.

    • Вопрос 2 (вероятность провала): 1 балл.

    • Вопрос 3 (объяснение): 3 балла (1 за «НЕТ», 2 за аргумент с числами из таблицы).

• Задание 2. Анализ (применение): 5 баллов.

• ИТОГО: 10 баллов максимум.

Критерии оценки:

• 10-9 баллов = «5»

• 8-7 баллов = «4»

• 6-5 баллов = «3»

• менее 5 = «2»

ЛИСТ ОТВЕТОВ И КЛЮЧИ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

Задание 1. Таблица и вопросы.

Таблица (8 баллов: по 2 балла за верную строку: 1 балл за верную вероятность, 1 балл за верный поэтапный расчёт):коммент

Вопросы (5 балла):

1. Наиболее вероятное число: k = 2 (1 балл).

2. Вероятность провала: P = 0.064 (1 балл).

3. Утверждение: НЕТ (1 балл).
   Объяснение (пример, 3 балла): Наиболее вероятно 2 успешных видео (P=0.432), а не 3 (P=0.216). Вероятность успеха >0.5 увеличивает шансы, но не гарантирует успех во всех испытаниях.

Задание 2. Анализ сценария (5 баллов).

1. Изменение самого вероятного числа успехов (2 балла):

• Ответ (1 балл): Самое вероятное число успехов останется примерно тем же (1-2 видео), но шанс, что оба видео будут успешными, возрастёт.

• Объяснение (1 балл): Самое вероятное число близко к np. Было: 30.6=1.8 (~2). Стало: 2*0.8=1.6 (~1 или 2). Изменение незначительно.

2. Изменение риска провала (3 балла):

• Ответ (1 балл): Риск полного провала снизится.

• Объяснение (2 балла): Вероятность провала равна qⁿ.

  • Было: q=0.4, n=3 → (0.4)³ = 0.064.

  • Стало: q=0.2, n=2 → (0.2)² = 0.04.

  • 0.04 < 0.064, поэтому риск снижается.

КОММЕНТАРИЙ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

• Цель работы: Проверка умения применять формулу Бернулли в стандартной ситуации (Задание1) и проводить качественный анализ влияния параметров (Задание 2).

• Проверка: В Задании 1 основная ошибка — неверный расчёт C₃ᵏ или степеней.

В Задании 2 важно оценить понимание логики, а не точность вычислений.

• Связь с ФГОС: Работа проверяет предметные умения (В.5.1) — применять формулу Бернулли, и метапредметные — анализировать и делать выводы.

«Раздаточный материал (таблица) предназначен для отработки вычислительного алгоритма (не оценивается). Вопросы под таблицей и задание 2 служат для проверки понимания и идут в зачёт. Такой формат оптимален для класса с достаточным уровнем подготовки».

Как это проходит на уроке:

1. Учащиеся заполняют таблицу (можно с обсуждением).

2. Демонстрируем правильные ответы для таблицы (они себя проверяют).

3. Затем они самостоятельно,отвечают на вопросы под таблицей и задание 2. Вот это они и сдают. Здесь уже нельзя просто скопировать число, нужно понять, что означают эти 0.432 и 0.064.

4. Проверяются только ответы.

Пример:
*Вопрос 3: «Верно ли, что при p=0.6 чаще всего будут все 3 успеха?»*
Примерный ответ (0 баллов): «Нет».
Примерный ответ (2 балла): «Нет, потому что вероятность трёх успехов 0.216, а двух успехов — 0.432. Два успеха почти в два раза вероятнее».

Материал апробирован в 9 классах, показал высокую вовлечённость и может быть адаптирован под любой уровень подготовки в рамках требований ФГОС и ФОП

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/640938-urok-praktikum-formula-bernulli-prognoziruem-