Профильная инверсия в теории вероятностей» Расширенное издание: по 50 задач для 7, 8 и 9 классов

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС (УМК)

Сборник задач по теории вероятностей с решениями

«Профильная инверсия в теории вероятностей»

Расширенное издание: по 50 задач для 7, 8 и 9 классов

Автор: Ерёмина Мария Олеговна,

учитель химии и математики

МБОУ «Хабарская СОШ №2»
Классы: 7–9
УМК: любой

2026 г.

Пояснительная записка

Настоящий сборник является расширенной версией учебно-методического комплекса «Профильная инверсия в теории вероятностей». Если базовый вариант содержал по 15 задач на каждый класс, то данное издание предлагает по 50 задач для каждого класса (итого 150 задач), что позволяет использовать сборник не только для отдельных уроков, но и для полноценного элективного курса, проектной деятельности и систематической подготовки к ОГЭ.

Методическая концепция «профильной инверсии» сохраняется: ученик не получает формулу в готовом виде, а «открывает» её через реальную проблему из биологии, химии, физики, географии или медицины.

Структура каждой задачи:

1. Описание — о чём задача и какой закон открывается.

2. Профильная проблема — реальная ситуация из естественно-научной области.

3. Решение — пошаговый вывод с обоснованием.

4. Открываемый закон — вероятностный закон, который «открывается».

5. Методический комментарий — рекомендации для учителя.

БЛОК ДЛЯ 7 КЛАССА «Первые шаги в вероятности: от наблюдений к закону»

Цель блока: сформировать интуитивное понимание вероятности как частоты события, научить вычислять вероятность по классическому определению, познакомить со статистическим определением и простейшими генетическими закономерностями.

Задача 7-1. Цвет глаз в классе

Описание: Введение понятия вероятности через реальные данные класса.

Профильная проблема: В классе 25 человек: 10 кареглазых, 8 голубоглазых, 5 зеленоглазых, 2 сероглазых. Учитель случайно вызывает одного ученика. Какова вероятность, что у него карие глаза?
Решение:
Ответ: 0,4 (40%)

Открываемый закон: Классическое определение вероятности.

Методический комментарий: Попросите собрать данные по классу. Спросите: «Если бы учеников было 50, изменилась бы вероятность?»

Задача 7-2. Любимый предмет

Описание: Закрепление классического определения.

Профильная проблема: в классе 20 учеников. Математику любят 8, биологию — 5, химию — 3, остальные — другие предметы. Какова вероятность, что случайный ученик любит биологию?

Решение:
Ответ: 0,25

Задача 7-3. Всхожесть семян

Описание: Статистическое определение вероятности через сельскохозяйственный эксперимент.

Профильная проблема: Посадили 50 семян огурцов, проросло 40. Какова оценка вероятности прорастания?

Решение:

Ответ: 0,8 (80%)

Открываемый закон: Статистическое определение вероятности.

Задача 7-4. Горох Менделя

Описание: Историческая задача, сравнение эмпирической частоты с теоретической.

Профильная проблема: Мендель получил 929 семян: 693 жёлтых и 236 зелёных. Какова вероятность, что случайное семя жёлтое?

Решение:

Ответ: ≈ 0,746

Методический комментарий: Сравните с теоретической 0,75. Обсудите отклонение и закон больших чисел.

Задача 7-5. Дни рождения

Описание: Равномерное распределение.

Профильная проблема: В классе 25 человек. Какова вероятность, что у случайного ученика день рождения летом?

Решение:

Ответ: 0,25

Открываемый закон: Вероятность как отношение части к целому.

Задача 7-6. Наследование цвета глаз у дрозофил

Описание: Генетическая задача, «открытие» отношения 3:1.

Профильная проблема: При скрещивании гибридов красноглазых дрозофил получается 3:1. Какова вероятность белоглазой особи?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 7-7. Монеты у детей

Описание: Бытовая задача на классическое определение.

Профильная проблема: У Пети 3 монеты по 10 руб. и 2 по 5 руб. Он достаёт одну. Какова вероятность, что это 10 рублей?

Решение:

Ответ: 0,6

Задача 7-8. Доминантный признак у растений

Описание: Применение решётки Пеннета.

Профильная проблема: У томатов красный цвет (R) доминирует над жёлтым (r). При Rr × Rr какова доля красноплодных?

Решение:RR, Rr, rR, rr → красные: 3 из 4

Ответ: 0,75

Задача 7-9. Любимое мороженое

Описание: Частотная интерпретация вероятности.

Профильная проблема: Из 20 учеников 8 любят шоколадное, 5 — ванильное, 4 — клубничное, 3 — фруктовое. Какова вероятность, что случайный ученик любит шоколадное?

Решение:

Ответ: 0,4

Задача 7-10. Частота аллелей

Описание: Первый шаг к закону Харди-Вайнберга.

Профильная проблема: В популяции 100 кроликов: 64 серых и 36 белых. Какова частота белых?

Решение:

Ответ: 0,36

Открываемый закон: Частота признака как оценка вероятности.

Задача 7-11. Таблица умножения

Описание: Перебор вариантов.

Профильная проблема: Петя называет число от 1 до 10. Какова вероятность, что оно делится на 3?

Решение:Делятся на 3: 3, 6, 9 → 3 числа

Ответ: 0,3

Задача 7-12. Бросание кубика

Описание: Классическая задача на равновозможные исходы.

Профильная проблема: Какова вероятность, что выпадет число больше 3?

Решение:

Ответ: 0,5

Задача 7-13. Живые организмы в капле воды

Описание: Биологическая задача на микроскопические данные.

Профильная проблема: В капле воды 10 организмов: 4 инфузории, 3 амёбы, 2 эвглены, 1 циклоп. Какова вероятность, что случайный — амёба?

Решение:

Ответ: 0,3

Задача 7-14. Лекарство действует

Описание: Статистическая вероятность в медицине.

Профильная проблема: Из 20 пациентов улучшение у 12. Какова оценка вероятности, что лекарство помогает?

Решение:

Ответ: 0,6

Задача 7-15. Какая буква чаще?

Описание: Частотность букв, подводка к распределению Ципфа.

Профильная проблема: в слове «ВЕРОЯТНОСТЬ» (11 букв) выбирают одну. Какова вероятность, что это «О»?

Решение:

Ответ: ≈ 0,182

Задача 7-16. Посадка деревьев

Описание: Статистическая вероятность в экологии.

Профильная проблема: Из 80 саженцев сосны прижились 68. Какова оценка вероятности приживаемости?

Решение:

Ответ: 0,85

Задача 7-17. Результаты контрольной

Описание: Частота события в учебной деятельности.

Профильная проблема: Из 30 учеников 18 получили «4» и «5». Какова вероятность, что случайный ученик получил хорошую оценку?

Решение:

Ответ: 0,6

Задача 7-18. Светофор

Описание: Вероятность в повседневной жизни.

Профильная проблема: Светофор горит зелёным 30 с, жёлтым 5 с, красным 25 с. Какова вероятность застать зелёный?

Решение:Всего: 60 с

Ответ: 0,5

Задача 7-19. Урожай пшеницы

Описание: Сельскохозяйственная статистика.

Профильная проблема: Из 200 зёрен пшеницы проросли 170. Какова вероятность прорастания?

Решение:

Ответ: 0,85

Задача 7-20. Генетика кошек

Описание: Наследование окраски.

Профильная проблема: У кошек чёрная окраска (B) доминирует над рыжей (b). При Bb × Bb какова вероятность чёрного котёнка?

Решение:

Ответ: 0,75

Задача 7-21. Лотерейные билеты

Описание: Классическое определение.

Профильная проблема: Из 100 билетов 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша?

Решение:

Ответ: 0,05

Задача 7-22. Погода в июле

Описание: Статистика наблюдений.

Профильная проблема: За 30 дней июля дождь шёл 6 дней. Какова вероятность дождя в случайный день июля?

Решение:

Ответ: 0,2

Задача 7-23. Качество семян

Описание: Сельскохозяйственный контроль.

Профильная проблема: Из 500 семян моркови 450 дали всходы. Какова вероятность всхожести?

Решение:

Ответ: 0,9

Задача 7-24. Выбор конфеты

Описание: Классическое определение.

Профильная проблема: В вазе 12 конфет: 5 шоколадных, 4 карамельки, 3 мармеладки. Какова вероятность вытащить карамельку?

Решение:

Ответ: ≈ 0,333

Задача 7-25. Наследование групп крови

Описание: Упрощённая генетическая задача.

Профильная проблема: Если у родителей II и III группы, вероятность I группы у ребёнка — 25%. Какова вероятность, что из 2 детей хотя бы один с I группой?

Решение:

Ответ: 0,4375

Задача 7-26. Солнечные дни

Описание: Географическая статистика.

Профильная проблема: В году 365 дней, из них 200 солнечных. Какова вероятность, что случайный день солнечный?

Решение:

Ответ: ≈ 0,548

Задача 7-27. Ошибки в диктанте

Описание: Частота события в лингвистике.

Профильная проблема: В 100 словах ученик допустил 8 ошибок. Какова вероятность, что случайное слово написано с ошибкой?

Решение:

Ответ: 0,08

Задача 7-28. Рыбы в пруду

Описание: Экологическая статистика.

Профильная проблема: В пруду 200 рыб: 80 карасей, 60 окуней, 40 лещей, 20 щук. Какова вероятность поймать окуня?

Решение:

Ответ: 0,3

Задача 7-29. Время ожидания автобуса

Описание: Равномерное распределение.

Профильная проблема: Автобус приходит каждые 15 минут. Какова вероятность, что ожидание меньше 5 минут?

Решение:

Ответ: ≈ 0,333

Задача 7-30. Генетика гороха

Описание: Рецессивный признак.

Профильная проблема: При Aa × Aa какова вероятность зелёного гороха (aa)?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 7-31. Билеты в кино

Описание: Классическое определение.

Профильная проблема: в зале 20 мест, из них 8 в первом ряду. Какова вероятность, что случайное место в первом ряду?

Решение:

Ответ: 0,4

Задача 7-32. Всхожесть ржи

Описание: Сельскохозяйственный эксперимент.

Профильная проблема: Из 300 зёрен ржи взошли 270. Какова вероятность всхожести?

Решение:

Ответ: 0,9

Задача 7-33. Цвет волос

Описание: Антропометрическая статистика.

Профильная проблема: В классе 30 человек: 18 блондинов, 8 шатенов, 4 брюнета. Какова вероятность, что случайный ученик — шатен?

Решение:

Ответ: ≈ 0,267

Задача 7-34. Бракованные детали

Описание: Производственная статистика.

Профильная проблема: Из 200 деталей 10 бракованных. Какова вероятность, что случайная деталь качественная?

Решение:

Ответ: 0,95

Задача 7-35. Продолжительность жизни

Описание: Демографическая статистика.

Профильная проблема: Из 1000 человек 850 доживают до 70 лет. Какова вероятность?

Решение:
P=8501000=0,85P=1000850​=0,85
Ответ: 0,85

Задача 7-36. Выбор книги

Описание: Классическое определение.

Профильная проблема: В библиотеке 50 книг: 20 по математике, 15 по физике, 10 по химии, 5 по биологии. Какова вероятность взять книгу по химии?

Решение:

Ответ: 0,2

Задача 7-37. Генетика мышей

Описание: Наследование окраски.

Профильная проблема: У мышей серая окраска (A) доминирует над белой (a). При Aa × aa какова вероятность белой мыши?

Решение:

Ответ: 0,5

Задача 7-38. Осадки в году

Описание: Климатическая статистика.

Профильная проблема: В году 120 дней с осадками. Какова вероятность, что случайный день с осадками?

Решение:

Ответ: ≈ 0,329

Задача 7-39. Выбор ручки

Описание: Классическое определение.

Профильная проблема: в пенале 10 ручек: 6 синих, 3 чёрных, 1 красная. Какова вероятность вытащить синюю?

Решение:

Ответ: 0,6

Задача 7-40. Урожай картофеля

Описание: Сельскохозяйственная статистика.

Профильная проблема: Из 100 клубней проросли 92. Какова вероятность прорастания?

Решение:

Ответ: 0,92

Задача 7-41. Генетика томатов

Описание: Дигибридное скрещивание (упрощённо).

Профильная проблема: При RrYy × RrYy какова вероятность жёлтого морщинистого (rryy)?

Решение:

Ответ: 0,0625

Задача 7-42. Оценки за четверть

Описание: Частота события в учёбе.

Профильная проблема: Из 25 учеников 5 получили «5», 10 — «4», 8 — «3», 2 — «2». Какова вероятность, что случайный ученик получил «4» или «5»?

Решение:

Ответ: 0,6

Задача 7-43. Выбор пирожка

Описание: Классическое определение.

Профильная проблема: в столовой 30 пирожков: 12 с мясом, 8 с капустой, 6 с яблоком, 4 с картошкой. Какова вероятность взять с яблоком?

Решение:

Ответ: 0,2

Задача 7-44. Всхожесть цветов

Описание: Биологический эксперимент.

Профильная проблема: Из 40 семян бархатцев взошли 32. Какова вероятность всхожести?

Решение:

Ответ: 0,8

Задача 7-45. Генетика кроликов

Описание: Наследование длины шерсти.

Профильная проблема: У кроликов короткая шерсть (L) доминирует над длинной (l). При Ll × Ll какова вероятность длинношёрстного кролика?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 7-46. Выбор маршрута

Описание: Географическая вероятность.

Профильная проблема: Из 5 дорог 3 ведут к озеру. Какова вероятность выбрать дорогу к озеру?

Решение:

Ответ: 0,6

Задача 7-47. Качество воды

Описание: Экологическая статистика.

Профильная проблема: Из 50 проб воды 45 соответствуют норме. Какова вероятность, что случайная проба соответствует норме?

Решение:

Ответ: 0,9

Задача 7-48. Генетика человека

Описание: Наследование цвета глаз.

Профильная проблема: Кареглазые родители (Aa × Aa) — какова вероятность голубоглазого ребёнка (aa)?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 7-49. Выбор фрукта

Описание: Классическое определение.

Профильная проблема: В корзине 15 фруктов: 6 яблок, 5 груш, 4 апельсина. Какова вероятность взять грушу?

Решение:

Ответ: ≈ 0,333

Задача 7-50. Итоговая задача: экосистема

Описание: Комплексная задача на закрепление.

Профильная проблема: в экосистеме 200 организмов: 80 растений, 60 травоядных, 40 хищников, 20 редуцентов. Какова вероятность, что случайный организм — хищник или редуцент?

Решение:

Ответ: 0,3

Открываемый закон: Правило сложения для несовместных событий.

БЛОК ДЛЯ 8 КЛАССА «Вероятность и комбинаторика в естественных науках»

Цель блока: освоить правило умножения вероятностей, элементы комбинаторики, формулу Бернулли, математическое ожидание.

Задача 8-1. Наследование двух признаков

Описание: Дигибридное скрещивание, решётка Пеннета 4×4.

Профильная проблема: При AaBb × AaBb какова вероятность генотипа AABB?

Решение:

Ответ: 0,0625

Открываемый закон: Правило умножения вероятностей.

Задача 8-2. Группа крови и резус-фактор

Описание: Независимые события в медицинской генетике.

Профильная проблема: Вероятность I группы — 0,35, резус-положительного — 0,85. Найдите вероятность обоих событий.

Решение:

Ответ: 0,2975

Задача 8-3. Наследование гемофилии

Описание: Сцепленное с полом наследование.

Профильная проблема: Женщина-носитель (ХНХh) и здоровый мужчина (ХHY) имеют 4 детей. Какова вероятность хотя бы одного больного сына?

Решение:Вероятность больного сына: 0,25

Ответ: ≈ 0,684

Открываемый закон: Биномиальное распределение.

Задача 8-4. Белки и аминокислоты

Описание: Вероятность выбора аминокислоты.

Профильная проблема: В позиции белка может быть одна из 20 аминокислот. Какова вероятность глицина?

Решение:

Ответ: 0,05

Задача 8-5. Два кубика

Описание: Число исходов при двух бросках.

Профильная проблема: Какова вероятность, что сумма равна 7?

Решение:

• Всего: 36

• Благоприятных: 6

Ответ: ≈ 0,167

Задача 8-6. Комбинаторика в селекции

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 6 растений 3 устойчивы. Выбирают 2. Какова вероятность, что оба устойчивы?

Решение:

Ответ: 0,2

Задача 8-7. Эпидемия в классе

Описание: Формула Бернулли.

Профильная проблема: 20 человек, вероятность заболеть — 0,1. Какова вероятность, что заболеют ровно 2?

Решение:

Ответ: ≈ 0,285

Задача 8-8. Ошибка измерения

Описание: Умножение вероятностей.

Профильная проблема: 5 измерений, вероятность ошибки 0,05. Какова вероятность отсутствия ошибок?

Решение:

Ответ: ≈ 0,774

Задача 8-9. Две мутации

Описание: Редкие события.

Профильная проблема: Вероятность мутации 10⁻⁵. Какова вероятность двух мутаций одновременно?

Решение:

Ответ: 10⁻¹⁰

Задача 8-10. Шахматная доска

Описание: Равномерное распределение.

Профильная проблема: Какова вероятность, что случайная клетка белая?

Решение:

Ответ: 0,5

Задача 8-11. Анализ крови

Описание: Статистическая вероятность.

Профильная проблема: Из 20 пациентов у 12 повышен сахар. Какова вероятность?

Решение:

Ответ: 0,6

Задача 8-12. Мутации в гене

Описание: Вероятность хотя бы одного события.

Профильная проблема: 1000 нуклеотидов, вероятность мутации 10⁻⁶. Найдите вероятность хотя бы одной мутации.

Решение:

Ответ: ≈ 0,001

Задача 8-13. Окраска цветов

Описание: Анализирующее скрещивание.

Профильная проблема: Rr × rr — какова вероятность красного?

Решение:

Ответ: 0,5

Задача 8-14. Вероятность дождя

Описание: Правило умножения через противоположное.

Профильная проблема: Вероятность дождя в субботу 0,4, в воскресенье 0,3. Какова вероятность дождя хотя бы в один день?

Решение:

Ответ: 0,58

Задача 8-15. Биологический эксперимент

Описание: Математическое ожидание.

Профильная проблема: 20 мышей, вероятность заражения 0,3. Сколько мышей в среднем заразится?

Решение:

Ответ: 6

Задача 8-16. Комбинаторика в генетике

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 8 растений 4 карликовые. Выбирают 3. Какова вероятность, что все 3 карликовые?

Решение:

Ответ: ≈ 0,071

Задача 8-17. Три кубика

Описание: Комбинаторика.

Профильная проблема: Какова вероятность, что на трёх кубиках выпадет ровно одна шестёрка?

Решение:

Ответ: ≈ 0,347

Задача 8-18. Вероятность наследственного заболевания

Описание: Формула Бернулли.

Профильная проблема: Вероятность заболевания 0,25. В семье 5 детей. Какова вероятность, что ровно 2 больны?

Решение:

Ответ: ≈ 0,264

Задача 8-19. Химическая реакция

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность реакции 0,2. Из 5 столкновений — ровно 3 реакции?

Решение:

Ответ: 0,0512

Задача 8-20. Качество деталей

Описание: Формула Бернулли.

Профильная проблема: 3% брака. Из 10 деталей ровно 1 бракованная?

Решение:

Ответ: ≈ 0,228

Задача 8-21. Два стрелка

Описание: Независимые события.

Профильная проблема: Вероятность попадания 0,8 и 0,7. Какова вероятность, что оба попадут?

Решение:

Ответ: 0,56

Задача 8-22. Система блоков

Описание: Надёжность.

Профильная проблема: Вероятность отказа 0,1. Какова вероятность, что оба блока работают?

Решение:

Ответ: 0,81

Задача 8-23. Комбинаторика в экологии

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 10 птиц 6 певчих. Отлавливают 3. Какова вероятность, что все певчие?

Решение:

Ответ: ≈ 0,167

Задача 8-24. Три выстрела

Описание: Формула Бернулли.

Профильная проблема: Вероятность попадания 0,6. Какова вероятность ровно 2 попаданий из 3?

Решение:

Ответ: 0,432

Задача 8-25. Вероятность всхожести

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Всхожесть 0,9. Из 5 семян ровно 4 взойдут?

Решение:

Ответ: ≈ 0,328

Задача 8-26. Комбинаторика в химии

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 8 реагентов 3 опасны. Выбирают 2. Какова вероятность, что оба безопасны?

Решение:

Ответ: ≈ 0,357

Задача 8-27. Математическое ожидание в генетике

Описание: Математическое ожидание.

Профильная проблема: 100 потомков, вероятность альбинизма 0,25. Сколько альбиносов в среднем?

Решение:

Ответ: 25

Задача 8-28. Вероятность ошибки в тесте

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность ошибки 0,1. Из 4 заданий ровно 1 ошибка?

Решение:

Ответ: ≈ 0,292

Задача 8-29. Два кубика: сумма больше 9

Описание: Классическое определение.

Профильная проблема: Какова вероятность, что сумма больше 9?

Решение:Благоприятные: (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6) — 6

Ответ: ≈ 0,167

Задача 8-30. Вероятность двух попаданий

Описание: Независимые события.

Профильная проблема: Вероятность попадания 0,7. Какова вероятность двух попаданий подряд?

Решение:

Ответ: 0,49

Задача 8-31. Комбинаторика в селекции

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 12 растений 5 высокорослых. Выбирают 4. Какова вероятность, что все высокорослые?

Решение:

Ответ: ≈ 0,010

Задача 8-32. Формула Бернулли в медицине

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность выздоровления 0,8. Из 6 пациентов ровно 5 выздоровеют?

Решение:

Ответ: ≈ 0,393

Задача 8-33. Вероятность хотя бы одного попадания

Описание: Через противоположное.

Профильная проблема: Вероятность попадания 0,6. Три выстрела. Какова вероятность хотя бы одного попадания?

Решение:

Ответ: 0,936

Задача 8-34. Комбинаторика в физике

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 10 приборов 4 неисправны. Выбирают 2. Какова вероятность, что оба исправны?

Решение:

Ответ: ≈ 0,333

Задача 8-35. Вероятность двух мутаций в разных генах

Описание: Умножение вероятностей.

Профильная проблема: Вероятность мутации в гене A — 10⁻⁴, в гене B — 10⁻⁵. Какова вероятность обеих?

Решение:

Ответ: 10⁻⁹

Задача 8-36. Математическое ожидание в экологии

Описание: Математическое ожидание.

Профильная проблема: 50 яиц, вероятность выживания 0,6. Сколько птенцов в среднем?

Решение:

Ответ: 30

Задача 8-37. Комбинаторика в лингвистике

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 7 букв 3 гласные. Выбирают 3. Какова вероятность, что все гласные?

Решение:

Ответ: ≈ 0,029

Задача 8-38. Формула Бернулли в химии

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность синтеза 0,3. Из 6 попыток ровно 2 успешны?

Решение:

Ответ: ≈ 0,324

Задача 8-39. Вероятность трёх орлов

Описание: Формула Бернулли.

Профильная проблема: Монета брошена 5 раз. Какова вероятность ровно 3 орлов?

Решение:

Ответ: 0,3125

Задача 8-40. Комбинаторика в географии

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 10 стран 4 островные. Выбирают 3. Какова вероятность, что все островные?

Решение:

Ответ: ≈ 0,033

Задача 8-41. Вероятность независимых отказов

Описание: Умножение вероятностей.

Профильная проблема: Вероятность отказа каждого из 3 приборов 0,1. Какова вероятность, что все работают?

Решение:

Ответ: 0,729

Задача 8-42. Математическое ожидание в физике

Описание: Математическое ожидание.

Профильная проблема: 200 ядер, вероятность распада 0,01. Сколько ядер распадётся в среднем?

Решение:

Ответ: 2

Задача 8-43. Комбинаторика в медицине

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 9 пациентов 3 с осложнениями. Выбирают 2. Какова вероятность, что оба без осложнений?

Решение:

Ответ: ≈ 0,417

Задача 8-44. Формула Бернулли в сельском хозяйстве

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Всхожесть 0,8. Из 4 семян ровно 3 взойдут?

Решение:

Ответ: 0,4096

Задача 8-45. Вероятность двух событий

Описание: Независимые события.

Профильная проблема: Вероятность дождя 0,3, ветра 0,4. Какова вероятность, что будет и дождь, и ветер?

Решение:

Ответ: 0,12

Задача 8-46. Комбинаторика в биологии

Описание: Число сочетаний.

Профильная проблема: Из 8 животных 5 травоядных. Выбирают 3. Какова вероятность, что все травоядные?

Решение:

Ответ: ≈ 0,179

Задача 8-47. Формула Бернулли в эпидемиологии

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность заражения 0,2. Из 5 контактов ровно 1 заражение?

Решение:

Ответ: 0,4096

Задача 8-48. Вероятность хотя бы одного успеха

Описание: Через противоположное.

Профильная проблема: Вероятность успеха 0,3. Из 4 попыток хотя бы одна успешна?

Решение:

Ответ: ≈ 0,760

Задача 8-49. Математическое ожидание в медицине

Описание: Математическое ожидание.

Профильная проблема: 80 пациентов, вероятность побочного эффекта 0,15. Сколько пациентов в среднем?

Решение:

Ответ: 12

Задача 8-50. Итоговая задача: комплексный эксперимент

Описание: Комплексная задача на закрепление.

Профильная проблема: в эксперименте 3 независимых испытания. Вероятность успеха 0,6. Какова вероятность ровно 2 успехов и математическое ожидание числа успехов?

Решение:

Ответ: P = 0,432; M(X) = 1,8

БЛОК ДЛЯ 9 КЛАССА «Вероятность в естественных науках: от классики до Байеса»

Цель блока: освоить классическое определение, правила сложения и умножения, формулу полной вероятности и Байеса, биномиальное распределение, распределение Пуассона, нормальное и экспоненциальное распределения.

Раздел 1. Биология и генетика

Задача 9-1. Наследование окраски у гороха

Описание: Моногибридное скрещивание.

Профильная проблема: Aa × Aa. Какова вероятность генотипа AA?

Решение:

Ответ: 0,25

Открываемый закон: Классическое определение вероятности.

Задача 9-2. Вероятность фенотипа у гороха

Описание: Рецессивный фенотип.

Профильная проблема: Aa × Aa. Какова вероятность зелёного (aa)?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 9-3. Группы крови

Описание: Правило сложения.

Профильная проблема: I — 35%, II — 30%, III — 20%, IV — 15%. Какова вероятность I или IV?

Решение:

Ответ: 0,50

Открываемый закон: Сложение несовместных событий.

Задача 9-4. Врождённые заболевания

Описание: Умножение вероятностей.

Профильная проблема: Вероятность муковисцидоза 0,25. В семье 4 ребёнка. Какова вероятность, что все здоровы?

Решение:\

Ответ: ≈ 0,316

Задача 9-5. Частота аллелей (закон Харди-Вайнберга)

Описание: Популяционная генетика.

Профильная проблема: 16% особей имеют рецессивный признак. Найдите частоту аллеля а и долю гетерозигот.

Решение:

Ответ: q = 0,4; гетерозигот — 48%

Открываемый закон: Закон Харди-Вайнберга.

Задача 9-6. Вероятность выживания

Описание: Умножение вероятностей.

Профильная проблема: Вероятность выживания 0,8. 5 особей. Какова вероятность, что выживут все?

Решение:

Ответ: ≈ 0,328

Задача 9-7. Селекция: отбор по признаку

Описание: Формула 1 − (1−p)ⁿ.

Профильная проблема: Вероятность полезного признака 0,25. Сколько растений нужно, чтобы с вероятностью ≥ 95% получить хотя бы одно?

Решение:Ответ: 11 растений

Задача 9-8. Генетика пола

Описание: Вероятность рождения.

Профильная проблема: Вероятность мальчика 0,5. В семье 3 детей. Какова вероятность, что все девочки?

Решение:

Ответ: 0,125

Задача 9-9. Эффективность лекарства

Описание: Формула Бернулли.

Профильная проблема: Эффективность 80%. Из 10 пациентов помогло 6. Какова вероятность такого результата, если лекарство неэффективно (50%)?

Решение:

Ответ: ≈ 0,205

Задача 9-10. Редкие заболевания

Описание: Распределение Пуассона.

Профильная проблема: Вероятность фенилкетонурии 0,0001. 5000 детей в год. Какова вероятность хотя бы одного больного?

Решение:

Ответ: ≈ 0,394

Задача 9-11. Дигибридное скрещивание

Описание: Независимое наследование.

Профильная проблема: AaBb × AaBb. Какова вероятность AaBb?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 9-12. Наследование дальтонизма

Описание: Сцепленное с полом.

Профильная проблема: Женщина-носитель и здоровый мужчина. Какова вероятность больного сына?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 9-13. Популяционная генетика

Описание: Закон Харди-Вайнберга.

Профильная проблема: Частота рецессивного аллеля 0,3. Какова доля гомозигот по рецессиву?

Решение:

Ответ: 9%

Задача 9-14. Вероятность рождения альбиноса

Описание: Генетика.

Профильная проблема: Оба родителя — носители (Aa). Какова вероятность альбиноса (aa)?

Решение:

Ответ: 0,25

Задача 9-15. Экологическая пирамида

Описание: Статистическая вероятность.

Профильная проблема: в экосистеме 1000 организмов: 800 растений, 150 травоядных, 50 хищников. Какова вероятность, что случайный организм — хищник?

Решение:

Ответ: 0,05

Раздел 2. Химия

Задача 9-16. Кинетика реакции

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность активного столкновения 0,15. Из 4 столкновений ровно 2 реакции?

Решение:

Ответ: ≈ 0,098

Задача 9-17. Распад радиоактивных ядер

Описание: Математическое ожидание.

Профильная проблема: Вероятность распада 0,01. 200 ядер. Найдите математическое ожидание.

Решение:

Ответ: 2

Задача 9-18. Качество продукции

Описание: Вероятность через противоположное.

Профильная проблема: 2% брака. Какова вероятность, что реактив качественный?

Решение:

Ответ: 0,98

Задача 9-19. Кристаллизация

Описание: Распределение Пуассона.

Профильная проблема: Вероятность дефекта 0,05. Из 100 кристаллов более 5 с дефектами?

Решение:

Ответ: ≈ 0,384

Задача 9-20. Титрование

Описание: Нормальное распределение.

Профильная проблема: Ошибка N(0; 0,1). Какова вероятность, что ошибка превысит 0,2 мл?

Решение:

Ответ: ≈ 0,046

Задача 9-21. Скорость реакции

Описание: Экспоненциальное распределение.

Профильная проблема: Среднее время до столкновения 5 с. Какова вероятность, что столкновение в первые 3 с?

Решение:

Ответ: ≈ 0,451

Задача 9-22. Выход продукта

Описание: Нормальное распределение.

Профильная проблема: 95% случаев выход в [85%, 95%]. Чему равно σ?

Решение:

Ответ: ≈ 2,55%

Задача 9-23. Контроль качества

Описание: Формула Бернулли.

Профильная проблема: 3% брака. Из 50 проб ровно 2 бракованные?

Решение:

Ответ: ≈ 0,255

Задача 9-24. Химическое равновесие

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность образования продукта 0,4. Из 10 столкновений более 5 молекул?

Решение:

Ответ: ≈ 0,166

Задача 9-25. Необратимая реакция

Описание: Вероятность хотя бы одного события.

Профильная проблема: Вероятность реакции 0,1. За 5 секунд из 10 молекул хотя бы одна прореагирует?

Решение:

Ответ: ≈ 0,995

Задача 9-26. Спектроскопия

Описание: Формула Байеса.

Профильная проблема: Вероятность обнаружения примеси 0,95, если есть, и 0,02, если нет. Примесь в 10% проб. Какова вероятность, что примесь есть, если анализ показал наличие?

Решение:

Ответ: ≈ 0,841

Задача 9-27. Радиоактивный распад

Описание: Распределение Пуассона.

Профильная проблема: Среднее число распадов 2. Какова вероятность ровно 3 распадов?

Решение:

Ответ: ≈ 0,180

Задача 9-28. Анализ на примеси

Описание: Формула Байеса.

Профильная проблема: Тест на примесь: чувствительность 0,9, специфичность 0,95. Примесь в 5% проб. Какова вероятность примеси при положительном тесте?

Решение:

Ответ: ≈ 0,486

Задача 9-29. Химический синтез

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность успеха 0,7. Из 5 попыток ровно 4 успешны?

Решение:

Ответ: ≈ 0,360

Задача 9-30. Очистка воды

Описание: Статистическая вероятность.

Профильная проблема: Из 200 проб 180 соответствуют норме. Какова вероятность, что случайная проба соответствует норме?

Решение:

Ответ: 0,9

Раздел 3. Физика

Задача 9-31. Броуновское движение

Описание: Случайное блуждание.

Профильная проблема: Частица делает 10 шагов ±1. Какова вероятность вернуться в 0?

Решение:

Ответ: ≈ 0,246

Задача 9-32. Тепловая скорость молекул

Описание: Распределение Максвелла.

Профильная проблема: Какова вероятность, что скорость молекулы превышает среднюю?

Решение: ≈ 43% молекул имеют скорость выше средней.

Ответ: ≈ 0,43

Задача 9-33. Ошибки измерений

Описание: Нормальное распределение.

Профильная проблема: σ = 0,5 мм. Какова вероятность ошибки более 1 мм?

Решение:

Ответ: ≈ 0,046

Задача 9-34. Радиоактивный распад (Пуассон)

Описание: Распределение Пуассона.

Профильная проблема: 60 распадов в минуту. Какова вероятность, что за следующую минуту меньше 50?

Решение:

Ответ: ≈ 0,098

Задача 9-35. Время безотказной работы

Описание: Экспоненциальное распределение.

Профильная проблема: Среднее время работы 1000 ч. Какова вероятность, что лампочка прослужит более 2000 ч?

Решение:

Ответ: ≈ 0,135

Задача 9-36. Шумы в электронике

Описание: Нормальное распределение.

Профильная проблема: σ = 0,02 В. Какова вероятность, что шум превысит 0,05 В?

Решение:

Ответ: ≈ 0,0062

Задача 9-37. Статистическая физика

Описание: Распределение Максвелла.

Профильная проблема: Какая доля молекул имеет скорость в интервале [v; v+dv]?

Решение:

Открываемый закон: Распределение Максвелла.

Задача 9-38. Активность изотопа

Описание: Вероятностная интерпретация распада.

Профильная проблема: A(t) = A₀e^{−λt}. Как интерпретировать λ?

Решение:

• λ — вероятность распада в единицу времени

• A(t) = λN(t)

Открываемый закон: Экспоненциальное распределение.

Задача 9-39. Фотосинтез

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность поглощения фотона 0,7. Из 5 фотонов более 3?

Решение:

Ответ: ≈ 0,528

Задача 9-40. Электрическая цепь

Описание: Надёжность.

Профильная проблема: Вероятность отказа элемента 0,05. Цепь из 3 последовательных элементов. Какова вероятность безотказной работы?

Решение:

Ответ: ≈ 0,857

Раздел 4. Медицина и эпидемиология

Задача 9-41. Диагностика заболевания

Описание: Формула Байеса.

Профильная проблема: Чувствительность 99%, специфичность 95%. Заболевание у 0,1% населения. Какова вероятность болезни при положительном тесте?

Решение:

Ответ: ≈ 1,94%

Открываемый закон: Формула Байеса.

Задача 9-42. Наследственность и вероятность

Описание: Биномиальное распределение.

Профильная проблема: Вероятность заболевания 0,5. В семье 4 детей. Ровно 2 больны?

Решение:

Ответ: 0,375

Задача 9-43. Эпидемия гриппа

Описание: Цепи Маркова (введение).

Профильная проблема: 1 заболел, вероятность заражения 0,1, контакт с 5. Сколько заражено через 2 дня?

Решение:≈ 11 человек.

Ответ: ≈ 11

Задача 9-44. Эффективность вакцины

Описание: Распределение Пуассона.

Профильная проблема: Вероятность заболевания 0,01. Из 100 привитых более 3 заболеют?

Решение:

Ответ: ≈ 0,019

Задача 9-45. Группы крови и переливание

Описание: Вероятность хотя бы одного события.

Профильная проблема: 35% людей имеют I группу. Среди 10 доноров хотя бы один с I группой?

Решение:

Ответ: ≈ 0,987

Задача 9-46. Мутации в ДНК

Описание: Распределение Пуассона.

Профильная проблема: Вероятность мутации 10⁻⁶ на нуклеотид. 1000 нуклеотидов. Хотя бы одна мутация?

Решение:

Ответ: ≈ 0,001

Задача 9-47. Клинические испытания

Описание: Нормальное приближение.

Профильная проблема: 100 пациентов, вероятность эффекта 0,7. Ровно 70 с эффектом?

Решение:

Ответ: ≈ 0,087

Задача 9-48. Анализ крови

Описание: Формула Байеса.

Профильная проблема: Анализ выявляет болезнь с вероятностью 0,98 у больных и 0,03 у здоровых. Болезнь у 2%. Какова вероятность, что человек здоров при отрицательном анализе?

Решение: ≈ 0,9996

Ответ: ≈ 0,9996

Задача 9-49. Селекция растений

Описание: Комбинаторика.

Профильная проблема: 10 растений, 4 устойчивы. Выбирают 3. Хотя бы одно устойчивое?

Решение:

Ответ: ≈ 0,833

Задача 9-50. Итоговая задача: комплексный анализ

Описание: Комплексная задача на закрепление.

Профильная проблема: В популяции 20% особей имеют рецессивный признак. Случайно выбирают 5 особей. Какова вероятность, что ровно 2 имеют рецессивный признак? Каково математическое ожидание?

Решение:

• , но для биномиального распределения используем p = 0,2

• 

• 

Ответ: P ≈ 0,205; M(X) = 1

Сводная таблица распределения задач по классам и темам

Заключение

Расширенный сборник из 150 задач (по 50 на каждый класс) полностью реализует принцип «профильной инверсии»: каждая задача начинается с реальной естественно-научной проблемы, которая естественным образом приводит ученика к «открытию» вероятностного закона. Сборник может быть использован:

• для проведения уроков по теории вероятностей в 7–9 классах;

• для организации элективных курсов и факультативов;

• для проектно-исследовательской деятельности;

• для подготовки к ОГЭ по математике (задание №10);

• для формирования межпредметных связей математики с биологией, химией, физикой, географией и медициной.

Ключевые компетенции, формируемые сборником:

1. Стохастическая грамотность.

2. Межпредметное мышление.

3. Исследовательские навыки.

4. Математическая грамотность.

5. Критическое мышление.

Список использованных источников

1. Бродский И.Л. Теория вероятностей и статистика в школе. — М.: Просвещение, 2022.

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: 7–9 классы. — М.: Мнемозина, 2023.

3. Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ — http://fipi.ru/

4. Реальные статистические данные по биологии, химии и физике (адаптированы для школьного курса).

5. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р. Теория вероятностей и статистика. — М.: МЦНМО, 2021.

УМК разработан в рамках реализации принципа «Профильная инверсия» в обучении теории вероятностей.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/647227-profilnaja-inversija-v-teorii-verojatnostej-r