Конспект урока по теме: «Квадратичная функция, её график и свойства»

Конспект урока алгебры в 9 классе

Тема: «Квадратичная функция, её график и свойства»

Тип урока: урок освоения новых знаний.

Продолжительность: 45 минут.

Форма урока: комбинированный урок с элементами проблемного обучения, исследовательской и групповой работы.

Технологии: системно-деятельностный подход, проблемное обучение, ИКТ, работа в парах и группах, формирующее оценивание, дифференциация.

Оборудование: использование опорного конспекта

1. Цели урока

Создать условия для формирования у учащихся представления о квадратичной функции вида , её графике — параболе, а также о способах определения основных свойств квадратичной функции по формуле и графику.

2. Задачи урока

Образовательные:

• вести понятие квадратичной функции;

• показать, что графиком квадратичной функции является парабола;

• научить определять направление ветвей параболы по коэффициенту a;

• сформировать умение находить координаты вершины параболы;

• рассмотреть основные свойства квадратичной функции: область определения, область значений, ось симметрии, промежутки возрастания и убывания, наибольшее/наименьшее значение;

• закрепить первичные навыки построения графика квадратичной функции.

Развивающие:

• развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, делать выводы;

• развивать навыки работы с математической моделью;

• формировать умение представлять информацию в разных формах: формула, таблица, график, словесное описание;

• развивать коммуникативные навыки при работе в парах и группах.

Воспитательные:

• воспитывать аккуратность при построении графиков;

• формировать ответственное отношение к результатам учебной деятельности;

• развивать умение слушать мнение одноклассников, аргументировать свою позицию;

• показать практическую значимость квадратичной функции в жизни.

3. Планируемые результаты

Предметные результаты:

К концу урока учащиеся должны уметь:

• распознавать квадратичную функцию по формуле;

• объяснять, почему график квадратичной функции называется параболой;

• определять направление ветвей параболы по знаку коэффициента a;

• находить координаты вершины параболы;

• определять ось симметрии параболы;

• описывать основные свойства квадратичной функции;

• строить график квадратичной функции по алгоритму.

Метапредметные результаты:

Регулятивные УУД

• определять цель урока совместно с учителем;

• планировать последовательность действий при построении графика;

• осуществлять самоконтроль и коррекцию ошибок;

• оценивать результат своей деятельности по критериям.

Познавательные УУД

• выделять существенные признаки квадратичной функции;

• устанавливать связь между коэффициентами функции и видом графика;

• использовать формулы для нахождения вершины параболы;

• переводить информацию из аналитической формы в графическую.

Коммуникативные УУД

• работать в паре и группе;

• распределять роли при выполнении задания;

• аргументировать свои выводы;

• участвовать в обсуждении и задавать уточняющие вопросы.

Личностные результаты:

• осознание значимости математических знаний для описания реальных процессов;

• развитие учебной мотивации;

• формирование навыков сотрудничества;

• развитие уверенности в своих возможностях при решении учебных задач.

4. Оборудование и материалы

• доска, мел/маркер;

• проектор или интерактивная доска;

• презентация по теме;

• карточки для групповой работы;

• раздаточные листы с заданиями;

• координатная плоскость на листах;

• при возможности — GeoGebra или аналогичная программа для демонстрации графиков;

• лист самооценки.

5. Основные понятия урока

• квадратичная функция;

• парабола;

• вершина параболы;

• ось симметрии;

• ветви параболы;

• область определения;

• область значений;

• промежутки возрастания и убывания;

• наибольшее и наименьшее значение функции.

6. Ход урока

I. Организационный этап — 1 минута

Деятельность учителя

Приветствует учащихся, проверяет готовность класса к уроку.

Учитель:

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы продолжим изучать функции и познакомимся с одной из самых важных функций в школьном курсе алгебры. Она часто встречается не только в математике, но и в физике, технике, экономике, архитектуре.

Деятельность учащихся

Приветствуют учителя, готовятся к работе, проверяют наличие тетрадей, учебников, письменных принадлежностей.

II. Мотивация учебной деятельности — 4 минуты

Приём: проблемная ситуация

На экране демонстрируются изображения:

• траектория полёта мяча;

• арка моста;

• струя воды фонтана;

• график зависимости площади прямоугольника от одной из его сторон.

Вопросы учителя

1. Что общего можно заметить в этих изображениях?

2. Какую форму напоминают эти линии?

3. Можно ли описать такие линии с помощью математической функции?

4. Какие функции мы уже знаем, графики которых можно построить?

Предполагаемые ответы учащихся

• Линии похожи на дуги.

• Они симметричны.

• Напоминают график функции y=x².

• Мы изучали линейную функцию, прямую пропорциональность, обратную пропорциональность, функцию y=x².

Вывод учителя

Многие реальные процессы описываются функциями, графики которых имеют форму параболы. Сегодня мы изучим квадратичную функцию, научимся строить её график и определять свойства.

III. Актуализация знаний — 5 минут

Цель этапа: повторить знания, необходимые для изучения новой темы.

Фронтальная работа

Учитель задаёт вопросы:

1. Что называется функцией?

2. Что такое график функции?

3. Как выглядит график функции y=x²?

4. Как называется график функции y=x²?

5. Какими свойствами обладает функция y=x²?

Предполагаемые ответы учащихся:

1. Функция — это зависимость, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.

2. График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют формуле функции.

3. График y=x² — парабола.

4. Парабола.

5. Область определения: все числа. Область значений: y≥0. Функция убывает на промежутке (-∞;0], возрастает на промежутке [0;+∞). Вершина — точка (0;0), ось симметрии — ось Oy.

Мини-задание

Построить в тетради таблицу значений для функции y=x²:

Учащиеся вспоминают форму графика.

IV. Постановка темы, цели и учебной задачи — 3 минуты

На доске записаны функции:

Вопросы учителя:

1. Чем похожи эти функции?

2. Что общего в их формулах?

3. Чем они отличаются?

4. Как вы думаете, будут ли их графики похожи?

Предполагаемые ответы учащихся:

1. Во всех функциях есть x².

2. Это функции второй степени.

3. Отличаются коэффициенты.

4. Графики, скорее всего, будут параболами, но расположены по-разному.

Формулировка темы

Учащиеся совместно с учителем формулируют тему:

«Квадратичная функция, её график и свойства»

Формулировка цели урока учащимися:

Научиться распознавать квадратичную функцию, строить её график и определять свойства.

V. Изучение нового материала — 12 минут (использование опорного конспекта, приложение 1)

1. Определение квадратичной функции

Объяснение учителя

Функция вида , где — числа, причём , называется квадратичной функцией.

Коэффициент a не может быть равен нулю, потому что если a=0, то выражение превратится в линейную функцию: y=bx+c.

Примеры

Квадратичные функции:

Не являются квадратичными:

2. График квадратичной функции

Учитель

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола может быть расположена по-разному в зависимости от коэффициентов a, b, c.

Главную роль в направлении ветвей играет коэффициент a.

Если:

a>0, то ветви параболы направлены вверх.

Если:

a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Демонстрация

На экране или доске показываются графики:

Вывод

• При a>0 парабола имеет минимум.

• При a<0 парабола имеет максимум.

3. Вершина параболы

Учитель

Важнейшая точка параболы — её вершина.

Для функции абсцисса вершины находится по формуле:

Ординату вершины находим подстановкой:

Значит, вершина параболы имеет координаты:

Ось симметрии параболы:

4. Пример разбора

Рассмотрим функцию:

Здесь:

Находим абсциссу вершины:

Находим ординату вершины:

Вершина параболы: (2;-1)

Ось симметрии:

x=2

Так как a=1>0, ветви направлены вверх.

Область определения:

D(f)=(-∞;+∞)

Область значений:

E(f)=[-1;+∞)

Функция убывает на промежутке:

(-∞;2]

возрастает на промежутке:

[2;+∞).

Наименьшее значение функции:

y_наим=-1 при х=2.

VI. Первичное закрепление в парах — 6 минут

Форма работы

Работа в парах по карточкам.

Каждая пара получает карточку с функцией. Нужно определить:

1. Является ли функция квадратичной?

2. Значения a, b, c.

3. Направление ветвей параболы.

4. Координаты вершины.

5. Ось симметрии.

6. Область значений.

7. Промежутки возрастания и убывания.

Карточка 1

Карточка 2

Карточка 3

Проверка

После выполнения задания одна-две пары озвучивают ответы. Остальные сверяют с образцом на экране.

Формирующее оценивание

Критерии:

• правильно определены a, b, c — 1 балл;

• верно найден x₀— 1 балл;

• верно найден y₀ — 1 балл;

• правильно указано направление ветвей — 1 балл;

• правильно указаны свойства — 2 балла.

Максимум: 6 баллов.

VII. Исследовательская работа в группах — 7 минут

Цель

Установить зависимость вида параболы от коэффициента a.

Форма работы

Класс делится на 3 группы.

Каждая группа получает задание построить или проанализировать графики функций.

Группа 1

Исследует функции:

Вопросы

1. Куда направлены ветви?

2. Чем отличаются графики?

3. Как влияет значение a на «ширину» параболы?

Ожидаемый вывод

Если a>0, ветви направлены вверх. Чем больше |a|, тем уже парабола. Чем меньше |a|, тем шире парабола.

Группа 2

Исследует функции:

Вопросы

1. Куда направлены ветви?

2. Как влияет знак коэффициента a?

3. Как влияет модуль коэффициента a?

Ожидаемый вывод

Если a<0, ветви направлены вниз. Чем больше |a|, тем уже парабола, чем меньше |a|, тем шире.

Группа 3

Исследует функции:

Вопросы

1. Как изменяется положение вершины?

2. Что происходит с осью симметрии?

3. Как сдвигается парабола?

Ожидаемый вывод

Парабола может сдвигаться вправо, влево, вверх или вниз. Вершина и ось симметрии меняют положение.

Представление результатов

Каждая группа кратко озвучивает вывод.

Учитель фиксирует общий вывод на доске:

Квадратичная функция имеет график-параболу. Её вид зависит от коэффициентов a, b, c. Знак a определяет направление ветвей, а вершина определяет положение параболы на координатной плоскости.

VIII. Алгоритм построения графика квадратичной функции — 4 минуты

Учитель совместно с учащимися составляет алгоритм.

Алгоритм построения графика функции

1. Определить коэффициенты a, b, c.

2. Определить направление ветвей параболы по знаку a.

3. Найти абсциссу вершины:

4. Найти ординату вершины:

5. Записать вершину:

6. Провести ось симметрии:

7. Составить таблицу значений, выбирая точки симметрично относительно

8. Найти нули функции (точки пересечения графика с ОХ), решив уравнение

9. Построить точки на координатной плоскости.

10. Провести плавную линию — параболу.

11. Описать свойства функции.

IX. Самостоятельная работа с самопроверкой — 5 минут

Задание

Для функции выполнить задания:

1. Определить коэффициенты a, b, c.

2. Найти координаты вершины.

3. Указать ось симметрии.

4. Определить направление ветвей.

5. Указать область значений.

6. Указать промежутки возрастания и убывания.

7. Найти нули функции.

8. Построить график функции.

Выполнение

Учащиеся работают самостоятельно в тетрадях.

Самопроверка

На экране появляется решение.

Самооценка

Учащиеся ставят себе отметку в листе самооценки:

X. Рефлексия учебной деятельности — 3 минуты

Приём «Закончи предложение»

Учащимся предлагается продолжить фразы:

1. Сегодня на уроке я узнал, что...

2. Теперь я умею...

3. Самым трудным для меня было...

4. Мне нужно ещё потренироваться в...

5. Я понял, что квадратичная функция важна, потому что...

Возможные ответы:

• Сегодня я узнал, что графиком квадратичной функции является парабола.

• Теперь я умею находить вершину параболы.

• Самым трудным было определять промежутки возрастания и убывания.

• Мне нужно потренироваться строить графики.

• Квадратичная функция важна, потому что описывает реальные процессы.

Итоговое слово учителя

Сегодня мы познакомились с квадратичной функцией, её графиком и основными свойствами. На следующих уроках мы будем подробнее учиться строить параболы и применять свойства квадратичной функции при решении задач.

XI. Домашнее задание — 2 минуты

Обязательный уровень

1. Выучить определение квадратичной функции.

2. Записать в тетрадь алгоритм построения графика квадратичной функции.

3. Для функций ; найти вершину, ось симметрии, направление ветвей и область значений.

Повышенный уровень

Построить график функции: и описать её свойства.

Творческое задание по желанию

Найти в окружающем мире примеры объектов или процессов, форма которых напоминает параболу. Подготовить короткое сообщение или рисунок.

7. Дифференциация обучения

На уроке предусмотрена дифференциация:

Для учащихся, испытывающих трудности

• работа по готовому алгоритму;

• карточки с подсказками;

• выбор простых функций с коэффициентами a=1 или a=-1;

• возможность работать в паре с более сильным учеником.

Для учащихся с высоким уровнем подготовки

• задания повышенного уровня;

• исследование влияния коэффициентов на вид графика;

• построение графиков без подробной таблицы значений;

• творческое домашнее задание.

8. Возможные затруднения учащихся и способы их преодоления

Приложение 1

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/648788-konspekt-uroka-po-teme-kvadratichnaja-funkcij