Конспект урока по теме: «Неравенства с модулем»

Конспект урока: Неравенства с модулем

Алгебра, 9 класс. Продолжительность: 45 минут.

Тип урока: открытие и применение способа решения неравенств с модулем.

Педагогические технологии: Проблемно-диалогическая технология; обучение в сотрудничестве; технология формирующего оценивания; дифференцированное обучение; визуализация математических отношений на числовой прямой.

Место урока в теме

Урок проводится после изучения линейных неравенств и свойств модуля числа. В рамках темы рассматриваются неравенства вида |ax+b|<c, |ax+b|≤c, |ax+b|>c, |ax+b|≥c при c>0; более сложные неравенства, где модуль сравнивается с выражением, остаются за рамками основного содержания урока.

Цель и планируемые результаты

Цель: к концу урока ученик решает неравенства вида |ax+b|<c, |ax+b|≤c, |ax+b|>c, |ax+b|≥c при c>0, выбирая и обосновывая переход к двойному неравенству или совокупности неравенств, и записывает ответ в виде промежутка или объединения промежутков.

Предметные результаты

• Объяснять геометрический смысл |A| как расстояния от числа A до нуля.

• Применять равносильные переходы: |A|<c равносильно -c<A<c; |A|≤c равносильно -c≤A≤c; |A|>c равносильно A>c или A<-c; |A|≥c равносильно A≥c или A≤-c.

• Решать полученные линейные двойные неравенства и совокупности, корректно оформлять границы и ответ.

• Проверять ответ подстановкой контрольных значений и оценивать его на числовой прямой.

Метапредметные результаты

• Познавательные: выбирать способ решения по структуре неравенства, выявлять и исправлять ошибку в рассуждении, соотносить алгебраическую запись с числовой прямой.

• Коммуникативные: объяснять ход решения партнеру, задавать уточняющие вопросы, аргументированно согласовывать общий ответ.

• Регулятивные: планировать последовательность преобразований, сверять результат с критериями и корректировать решение.

Ключевые понятия и содержание

• Модуль числа как расстояние до нуля; расстояние между числами a и b выражается как |a-b|.

• Неравенство с модулем; двойное неравенство; совокупность неравенств.

• При |A|<c или |A|≤c число A находится внутри интервала от -c до c; при |A|>c или |A|≥c — вне этого интервала.

• Для строгого неравенства границы не включаются; для нестрогого — включаются.

Оборудование и ресурсы: доска или экран, карточки с заданиями, тетради, линейка или готовая числовая прямая. Предварительные знания: решение линейных неравенств, правила раскрытия скобок и переноса слагаемых.

Ход урока

1. Вход в урок и постановка учебной задачи — 3 минуты

2. Актуализация знаний — 5 минут

3. Открытие способа и фиксация алгоритма — 5 минут

4. Совместная отработка с выбором способа — 12 минут

5. Парная работа: анализ и аргументация — 10 минут

6. Индивидуальная проверка достижения цели — 7 минут

7. Рефлексия и подведение итогов — 3 минуты

Формирующее оценивание и критерии успешности

Оценивание проводится через устные ответы, наблюдение за парной работой, взаимопроверку и индивидуальное задание C. В ходе урока учитель фиксирует не только итог, но и выбранный способ, знаки строгих/нестрогих границ и качество аргументации.

• Базовый критерий: ученик правильно выбирает двойное неравенство для |A|<c или |A|≤c и совокупность для |A|>c или |A|≥c.

• Критерий выполнения: равносильно преобразует условие и верно решает полученное линейное неравенство или систему условий.

• Критерий записи: корректно указывает скобки и объединяет промежутки; для задания C отдельно перечисляет целые решения.

• Критерий объяснения: может обосновать границы через смысл расстояния и обнаружить типичную ошибку.

• Ориентир для задания C: 3 балла — верный переход, промежуток и множество целых решений; 2 балла — верный способ, но одна вычислительная или оформительская ошибка; 1 балл — начало верного рассуждения без завершенного ответа.

Дифференциация

• Поддержка при затруднении: предложить числовую прямую с отмеченными -c, 0, c; дать рамку «-c≤A≤c» или «A≤-c или A≥c»; разрешить решить отдельно каждую границу, затем объединить условия.

• Поддержка при вычислительной ошибке: сначала заменить A конкретным выражением, не раскрывая модуль; отдельно решить каждое полученное линейное неравенство; проверить один внутренний и один внешний тестовый пример.

• Усложнение для подготовленных учеников: решить |2x+1|<5 и |x-2|≥1 одновременно, то есть найти пересечение множеств решений; объяснить ответ на общей числовой прямой.

• Дополнительный вопрос высокого уровня: придумать неравенство вида |ax+b|<c, решением которого будет заданный интервал, и обосновать выбор a, b и c.

Домашнее задание

• Обязательная часть: решить |4x-1|<7; |5-2x|≥3; |3x+2|≤8. Ответы записать промежутками и изобразить на числовой прямой.

• Задание на аргументацию: ученик утверждает, что |2x-4|>6 равносильно -6<2x-4<6. Укажите ошибку и запишите верное условие.

• По желанию: придумать одно неравенство с модулем, решение которого состоит из двух лучей, и объяснить, почему концы лучей включаются или не включаются.

Материалы для учителя: ответы и ориентиры проверки

Ответы к заданиям урока

Ответы к домашнему заданию

• |4x-1|<7: -7<4x-1<7, откуда -3/2<x<2; ответ (-3/2;2).

• |5-2x|≥3: 5-2x≥3 или 5-2x≤-3; x≤1 или x≥4; ответ (-∞;1]∪[4;+∞).

• |3x+2|≤8: -8≤3x+2≤8, откуда -10/3≤x≤2; ответ [-10/3;2].

• В задании на аргументацию перепутан случай «больше»: верно 2x-4>6 или 2x-4<-6. Решение: x>5 или x<-1; ответ (-∞;-1)∪(5;+∞).

Педагогические ориентиры

• Если ученик записывает |A|>c как одно двойное неравенство, вернуться к образу расстояния: искомое число лежит вне центрального интервала, поэтому нужны два луча и связка «или».

• Если ученик неверно определяет границы, попросить проверить равенство при нестрогом знаке и исключение границы при строгом знаке.

• При обсуждении ошибки в паре оценивать точность объяснения, а не скорость решения; дать возможность автору первоначального решения самостоятельно внести исправление.

• Фиксировать индивидуальный результат задания C по критериям, а не по сравнению учеников между собой.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/648789-konspekt-uroka-po-teme-neravenstva-s-modulem