Применение методов доказательства неравенств (решение олимпиадных задач)

Применение методов доказательства неравенств (решение олимпиадных задач).

Умение доказывать неравенства является одним из признаков успеха решения конкурсных, олимпиадных задач. Различные способы доказательства неравенств развивают мыслительную деятельность, способствуют воспитанию устойчивого интереса к изучению математики. Ведь нахождение оригинальных способов доказательства неравенств нередко является результатом длительной и кропотливой работы.

Пример1. Использование определения понятия «больше» и «меньше» .

Неравенства, выполняющиеся для всех х из некоторого числового множества Х, называются тождественными на этом множестве. Для доказательства неравенства Р(х) ≥ Q(x) рассматривают разность между левой и правой частями данного неравенства. Доказательство тождественности неравенств сводится обычно к использованию основных свойств неравенств и того, что х² ≥ 0 для всех х R. При этом доказываемое неравенство Р(х) ≤ Q(x) полезно переписать в виде

Q(x) - Р(х) ≥ 0.

Доказать неравенство:

Доказательство:

Для любых a,b,c выражение , значит и исходное неравенство истинно.

Пример 2. II этап Республиканской олимпиады школьников

2003-2004 уч. г. 10 класс.

Применение производной к доказательству неравенств.

Если известно, что функция f определена и монотонна на отрезке [a;b] или имеет внутри отрезка один экстремум, то в случае минимума наибольшее ее значение достигается в концах отрезка, а в случае максимума наименьшее значение достигается в концах отрезка. Это очевидное свойство функции можно применять к доказательству некоторых нестандартных неравенств.

Доказать неравенство: , где a, b, c- стороны треугольника, периметр которого равен 2.

Доказательство: Если a,b, c-стороны треугольника, то a<b+c=2-a;b<a+c=2-b;c<a+b=2-c; 2a<2; a<1, также b<1, c<1 , надо доказать: .

Поэтому рассмотрим функцию f(x)= , где

f(x)=2x+2bc>0 для x

f(x) возрастает на наибольшего значения функция достигает на концах промежутка:

f(1)=-2+2bc+1+b²+c²=-1+(b+c)²=0,т.к. b+c=2-a, a=1 b+c=2-1=1

Значит, для всех остальных а<1, значениеf(a)<0, .

Доказать, что если неравенство

Доказательство: для доказательства исходного неравенства надо доказать, Рассмотрим функцию так как Следовательно, сама функция убывает на рассматриваемом промежутке и достигает максимального значения в х = 0: для всех остальных значений х > 0 < 0. Таким образом, доказано, что для всех х ≥0. Равенство достигается при х = 0.

Пример 3. Олимпиада 2004-2005 уч. г, проводимая школой «Дарын».

Доказать:при

Доказательство: Рассмотрим f(x)=, где .

Н

20

f(x) возрастает на [0;1], поэтому наибольшее значение функции f(x) достигает на концах отрезка [0;1]

f(1)=

Рассмотрим функцию f(y)=.

Найдем f′(y)= на [0;1]

f(x) возрастает и своего наибольшего значения достигает при y=1

f(1)=.

Рассмотрим функцию f(z)=, где z

f(z)= на [0;1]

f(z) возрастает и достигает своего наибольшего значения при z=1. f(1)=

При всех остальных значениях x,y,z<1 значения функции f(x,z,y)<0 поэтому

и значит ч.т.д.

Пример 4. II этап Республиканской олимпиады школьников, 2003-2004 уч. г. 10 класс

Доказать, что если a+b+c и , то

Доказательство: ; .

S_min=. Все остальные суммы, составленные из множителей a,b,c и попарно будут больше S_min.

S_minч.т.д.

При доказательстве этого неравенства использовали следующий метод оценки:

Если а ≤ b ≤ c,x ≤ y ≤ z, то сумма произведений сz + by + ax будет принимать максимальное значение из всех сумм, составленных из произведений множителей a, b,c и x, y,z, а сумма az + by + cx, будет принимать минимальное значение из всех таких возможных сумм. Это можно объяснить на следующем примере: пусть a,b,c – количество покупаемых товаров трех видов, a x,y,z – цена имеющихся товаров трех видов, тогда любая сумма, составленная из произведений количества товара на цену, дает стоимость покупки.

Стоимость покупки будет максимальной, если купить наибольшие количество товара по наибольшей цене и наименьшее количество товара по наименьшей цене, то есть:

S_max =cz + by + ax.

Стоимость покупки будет минимальной, если купить минимальное количество товара по наибольшей цене и максимальное количество товара по минимальной цене:

S_min =az + by + cx.

Все остальные суммы дают стоимость покупки большую, чем минимальная, но меньшую, чем максимальная.

Пример 5. Олимпиада, посвященная 60-летию Великой Победы, КарГТУ , 2005 г. 9 класс.

Метод математической индукции позволяет доказывать различные тождества и неравенства, одна или обе и частей которых зависят от натурального числаn.

Вместо того чтобы сразу доказывать данное утверждение, которое мы обозначим P (n), доказывают два утверждения: сначала P(1), т.е. справедливость данного утверждения при n = 1, а потом утверждение «для любого натурального k из справедливости P(k) вытекает справедливость P(k+1)».

Из справедливости этих двух утверждений вытекает справедливость утверждения P(n).

Доказать неравенство:

Докажем более общее неравенство методом математической индукции:

проверим истинность неравенства приn=1

1 верно.

Пусть неравенство верно при n=k:

Докажем, что при n=k+1 неравенство тоже истинно, т.е.

, и значит

>

, ч.т.д.

Пример 6. Доказать, что

Доказательство:

тогда , ч.т.д.

Пример 7.Доказать:, где a+b=1.

Доказательство: a+b=1, то b=1-a,

Надо доказать, что 1-3a+3a²

f(a) принимает наименьшее значение

все остальные значения функции , ч.т.д.

Пример 8.Олимпиада по математике среди школьников, КарГу им. Е. А. Букетова, 200411 класс.

Пусть x, y вещественные неотрицательные числа, такие, x+y = 2.

Доказать, что

Доказательство: Известно, что . Так как x, y вещественные неотрицательные числа, то , по условию x+y = 2, ,

,

, так как

Пример 9:

Для любых положительных чисел a,b,c доказать, что

Доказательство:

Пусть тогда левая часть данного неравенства примет вид:а так как то ч.т.д

Пример 10.II этап Республиканской олимпиады школьников, 2005 год 10 - 11 класс

Для любых натуральных чисел m, n>1 докажите неравенство .

Доказательство: Используем неравенство о том, что среднее арифметическое неотрицательных чисел a₁,a₂,a₃….an, равное ,не меньше среднего геометрического этих же чисел, равногот.е.

Докажем, что ,.

Рассмотрим p чисел: 1+x, , тогда причем равенство достигается если , значит в нашем случае при будет только неравенство, ч.т.д.

Тогда имеем , ч.т.д

Пример 11.II этап Республиканской олимпиады школьников, 2003-2004 уч. Г, 9 класс

Доказать неравенство:

причем равенство достигается при х = у.

Поэтому верно при любых х, у >0.

Значит, и исходное, равносильное ему, неравенство тоже верно.

Пример 12. При доказательстве неравенств можно использовать следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть функция gи f непрерывны на некотором интервале [a;b]и всюду на [a;b]удовлетворяют неравенствуf(x)g(x). Тогда при x[a;b]

Если дополнительно известно, что для какого - либо x₀ из [а;b] имеет место строгое неравенство f(x₀)<g(x₀), то при x>x₀, также имеет место строгое неравенство

Проверить: (1) (2) (3),

Пользуясь известным неравенством и теоремой 1 имеем:

; , т.е. , неравенство (1) доказано.

Пользуясь известным неравенством (1) и и теоремой 1 имеем:

, отсюда следует, что и неравенство (2) верно. Из соотношения (2) следует:

, то есть получаем неравенство (3).

Проверить: (4)

Вычислим Учитывая что , легко обнаружить, что на отрезке , эта функция удовлетворяет неравенствам . Используя теорему 1, интегрируем в пределах от 0 до x, , отсюда или иначе: ,откуда следует неравенство (4).

Учитель математики Гудовщикова Д.С.

КГУ «ОШ № 3 акимата г. Шахтинск» Карагандинской области.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/84663-primenenie-metodov-dokazatelstva-neravenstv-r