Учебно-методическое пособие «Производная» (профильный уровень)

Учебно-методическое пособие:

Производная (физико-математический профиль)

Автор: Масленникова Светлана Александровна

ПРОИЗВОДНАЯ

(физико-математический профиль)

СТАНДАРТ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ (ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ)

Изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:

- формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

- овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

- развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

- воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ (НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА)

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к графику функции.

Производные суммы, разности, произведения и частного.

Производные основных элементарных функций.

Производные сложной и обратной функций.

Вторая производная.

Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

Использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ (НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА)

В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен уметь:

- вычислять производные функций, применяя правила вычисления производных, используя справочные материалы;

- исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

- решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

- решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Темы, изученные учащимися:

Тригонометрические функции

Предел и непрерывность

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Производная и её смысл (19 ч)

Приращение функции -1 ч

Производная - 2 ч

Правила дифференцирования – 2 ч

Производная степенной функции – 2 ч

Производные тригонометрических функций – 1 ч

Производная сложной и обратной функций – 2 ч

Физический смысл производной -1 ч

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции – 3 ч

Экономический (химический, биологический) смысл производной – 2 ч

Заключительный урок – 1 ч

Контрольная работа – 2 ч

Применение производной к исследованию функции (19 ч)

Возрастание и убывание функций – 3 ч

Экстремумы функций – 2 ч

Вторая производная, производные высших порядков -1 ч

Выпуклость графика функции, точки перегиба – 1 ч

Применение производной к построению графиков функций – 3 ч

Наибольшее и наименьшее значение функции значения функции – 4 ч

Заключительный урок – 3 ч

Контрольная работа – 2 ч

Резерв – 2 ч

ИТОГО: 40 ч

ПРИМЕРНОЕ ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Производная и её смысл (19)

1. Приращение функции.

2. Определение производной. Нахождение производной по определению.

3. Производные тригонометрических функций.

4. Правила дифференцирования. Производная степенной функции.

5. Решение упражнений.

6. Самостоятельная работа.

7. Производная сложной функций.

8. Производная обратной функций

9. Решение упражнений

10. Самостоятельная работа.

11. Физический смысл производной.

12. Геометрический смысл производной.

13. Уравнение касательной к графику функции.

14. Решение задач.

15. Экономический (химический, биологический) смысл производной.

16. Решение задач.

17. Подготовка к контрольной работе.

18 – 19. Контрольная работа.

Применение производной к исследованию функции (19)

20. Возрастание и убывание функций.

21. Нахождение промежутков возрастания и убывания функций.

22. Решение задач.

23. Экстремумы функции.

24. Нахождение точек экстремума функции.

25. Вторая производная, производные высших порядков.

26. Выпуклость графика функции, точки перегиба.

27. Применение производной построению графиков функций.

28 – 29. Построение графиков функций с помощью производной.

30. Наибольшее и наименьшее значение функции значения функции на отрезке.

31. Наибольшее и наименьшее значение функции значения функции на интервале.

32 - 33. Решение задач.

34 - 35. Использование производной при решении различных задач.

36. Подготовка к контрольной работе.

37 – 38. Контрольная работа

Резерв – 2 ч

Производная

Цель: в ходе изучения элементов высшей математики научить учащихся применять аппарат математического анализа к решению задач.

Задачи:

научить учащихся:

- вычислять производные функций, применяя правила вычисления производных;

- исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

- решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

- решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Производная и её смысл

Цель: научить учащихся:

- вычислять производные функций, применяя правила вычисления производных;

- писать уравнение касательной к графику функции в заданной точке;

- решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

показать применение производной в различных областях научного знания, таких как физика, экономика, химия, биология и научить учащихся использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач.

Урок 1

Тема: Приращение функции

Цель: Ввести понятия «приращение аргумента», «приращение функции» и научить учащихся находить приращение функции.

Методы: рассказ.

Оборудование: Доска, карточки с заданиями, компьютер (возможно).

Определения: Приращение аргумента, приращение функции.

План проведения урока:

1. Организационный момент (1 минута).

2. Введение нового материала (10 минут).

3. Решение упражнений (10 минут).

4. Самостоятельная работа (20 минуты).

5. Подведение итогов урока (3 минуты).

6. Домашнее задание (1 минута).

Ход урока:

Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание.

Введение нового материала.

Пустьy=f(x)- функция, х и х₀ - два значения независимой переменной из D(f); тогда разность х - х_о называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) и обозначается ∆ x(читается «дельта икс»). Таким образом, ∆ x = х - х_о(1).

Из равенства(1) следует, что х = х_о + ∆x(2), т.е. первоначальное значениепеременной получило приращение ∆ x.Соответственно значение функции изменится на величину

f (х) — f (х₀)=f (х₀ + ∆x) — f (х₀).(3)

Разность между новым значением функции f (х₀ + ∆x)и первоначальным ее значением f (х₀)называется приращением функции в точке х₀ и обозначается символом ∆f (х₀)(читается «дельта эф в точке х₀»), т. е. ∆f (х₀) = f (х₀ + ∆x) — f (х₀).(4)

Приращение функции f в данной точке х₀кратко обозначают через ∆f или ∆y.

ПримерДля функции у=х²найти ∆y, если x = 2,5, х₀ = 2.

Решение. Имеем ∆y=y (х₀ + ∆x) — y (х₀)= у(2,5) - у(2)= 6,25 — 4 = 2,25.

Решение упражнений

1. Найти приращения ∆х и ∆y в точке х₀, если у=х² , х₀ = 2 и

а) x = 1,9; б) х= 2,1. (Ответ: а) -0,39; б) 0,41)

2. Дана функция у = х²+ 2х – 4. Найти приращение ∆y при х = 2и∆x = 0,5. (Ответ: 3,25)

3. Дана функция у = 1/х. Найти приращение ∆y при х = 1 и ∆x = 0,2. (Ответ: -1/6)

4. Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Най­дите приращения его периметра и площади, если: 1) меньшую его сторону увеличили на 0,11 м ; 2) боль­шую его сторону увеличили на 0,2 м.

Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа выполняется учащимися в рабочих тетрадях в одном варианте, задание выдаётся на карточках.

Дана функцияу=2х+5, найдите:

1) x и ∆y, еслих₀= 3 и ∆x = 0,2; 2) x и ∆y, если х₀= 4 и ∆x = 0,06; 3) ∆y,если х₀= 4 и ∆x = 0,1; 4) ∆y,если х₀= 7 и ∆x = 0,01.

Дана функцияу=х², найдите ∆xи ∆y,если: 1) x = 2,5 и х₀=2; 2) x = 3,9 и х₀ = 3,75; 3) x = -1,2 и х₀ = -1; 4) x = - 2,7 и х₀= -2,5.

Даны функции: 1); 2) ; 3) . Найдите приращение ∆yпри x = 2 и ∆x= 0,8.

Даны функции: 1); 2) . Найдите приращение ∆yпри x = 1 и ∆x= 0,2.

Ответы:

1.1)3,2; 0,4; 3) 0,2.

2.1) 0,5; 2,25; 2) 0,15; 1,1475; 4) -0,2; 1,04.

3.1) 3/7; -1/14; 3) -33/35.

4. 1) 0,135; 2) 0,06.

Подведение итогов урока.

Ученики меняются тетрадями с соседями по парте и проверяют решения и сверяют ответ с учителем. Учителем, может быть, уже вынесены на доску верные ответы, но временно закрыты от учащихся, возможно, ответы обнародованы с помощью мультимедийных средств (компьютера).

Учитель с учениками обсуждают полученные результаты.

Вопросы для самопроверки:

1)Что называется приращением аргумента?

2)Что называется приращение функции?

Отметить учащихся, активно работавших на уроке.

Домашнее задание.

1. Найти приращение аргумента и функции, если 1) ,х₀ = ,x = ;

2) ,х₀= 2,5, x = 2,6.

2. а) Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, до­пущенную при вычислении его площади, если погреш­ность при измерении длины радиуса равна: 1) 0,2 см; 2) ∆R; 3) 0,1 см; 4) h.

б) Ребро куба х получило приращение ∆ х. Найдите приращение площади полной поверхности куба.

2) Придумать самостоятельно и решить по два примера на эту тему в тетрадях для домашних работ, а условия примеров выписать на листочек.

3) Тренажер № 1 (см.Приложение к уроку 1)

Приложение к уроку 1

Тренажёр №1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИРАЩЕНИЙ ФУНКЦИИ

Вычислить приращение функции y=f(x)на промежутке [a;b]:

f(x)= 4х+3, а = 0, b=0,2;

f(x)= х² – 3х , а = 2, b= 3;

f(x)=, а = 1, b= 1,5;

f(x)=, а = 2, b= 2,5;

f(x)=, а = -1 , b= - 8.

Вычислить приращение функции y=f(x)на промежутке [х; х + ∆х]:

f(x)= 2х+3, х =1,5, ∆х= 2,5;

f(x)= 3х² – 2х+1, х = 0, ∆х= 2;

f(x)= х³–- 2х² + х, х = -1, ∆х= 1;

f(x)=, х =2, ∆х=5;

f(x)=, х = -2, ∆х=1.

Урок 2

Тема: Производная функции. Нахождение производной по определению.

Цель: Ввести понятия «производная функции», научить учащихся находить производную функции в точке по определению.

Методы: рассказ.

Определения: Производная функции в точке, производная функции, дифференцирование.

План проведения урока:

1. Организационный момент (2 минуты).

2. Проверка домашнего задания. Проверочная работа (10 минут).

3. Введение нового материала (10 минут)

4. Решение упражнений (17 минут).

5. Домашнее задание (1 минута).

6. Подведение итогов урока (5 минут).

Ход урока:

Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание.

Проверка домашнего задания. Проверочная работа.

Собрать тетради для домашних работ и собрать листочки с придуманными примерами и раздать их ученикам так, чтобы автору примера не достался его пример. Учащимся даётся 7-8 минут на решение примеров. Если количество листочков с примерами окажется меньше, чем учеников в классе (это может произойти, если кто-то не сделал домашнее задание), в этом случае учитель может заранее изготовить резервные карточки с примерами или отдать ученику 2-3 тетради с выполненным домашним заданием (желательно, чтобы это были тетради не сильных учеников) и предложить ему проверить их, а потом проверяя тетрадь, оценить насколько качественно была осуществлена проверка тетради учеником.

Введение нового материала.

Пусть функцияy=f(x) определена на промежутке [a;b]. Точка x [a;b]. В точке x функция y=f(x) имеет значение f(x).Точка(x+∆x)[a;b]. В точке (x+∆x) функция y=f(x) имеет значение f(x+∆x). Разность (x+∆х – x) - приращение аргумента. Обозначается ∆x.

Р азностьf(x+∆x) – f(x)- приращение функции. Обозначается ∆y, т.е.

∆y = f(x+∆x) – f(x).

Составим отношение

.

Если ∆x0, то

.

Этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x.

Определение: Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают производную : f'(x)или или. Обычно, если данная функция обозначена буквой у, то ее про­изводная может быть обозначена у', читать: «производная функции у» или, читать: «производная функции у по х». Если данная функция обозначена символомf(x),то ее производная может быть обозначена f '(х), читать: «производная функции f(x)».

Определение: Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция y=f(x), которая имеет производную в точке x, называется дифференцируемой в этой точке. Функция y=f(x), которая имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Общее правило дифференцирования (нахождения про­изводной) следующее:

1) найти приращение∆yфункции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента х+ ∆xиx;

2) найти отношение∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;

3) найти предел отношения ∆y/∆xпри ∆x →0.

Еще Софья Ковалевская говорила : “Математик должен быть поэтом в душе”. Приведу стихотворение (из учительского фольклора) о производной с использованием таблицы алгоритмического поиска производной.

Пример 1. (Учитель на доске, ученики записывают в тетрадь) Найти производную функции у = х³ + 1 в любой точке x.

Решение. 1) ∆y = (x + ∆x)³ + 1 — (х³ + 1).

По выполнении действий:

∆y = Зx²∆x+Зx∆x ²+∆x ³;

2) ∆y/∆x=3x² + Зx∆x+∆x ²;

3) у'=lim(3x²+3x∆x+∆x ² )= 3x²+3x0+0 = 3x².

∆x→0

Пример 2. (учитель с классом) Найти производную функции .

Решение: Составим отношение:

Значит, .

Пример 3. (Учитель с классом) Найти производную функции f(x)=x

Решение:

(x)'=1

Пример 4. (Учитель с классом) Найти производную функции f(x)=5x+7.

Решение:Составим отношение:

. Но

Значит, (5x+7)'=5.

Пример 5. (Ученики выполняют самостоятельно в тетрадях) Найти производную функцииf(x)=ax+b.

Решение: Составим отношение:

(ax+b)'=a.

Замечание: Заметим, что производная линейной функции у=kx+bесть величина постоянная, равная k.

Пример 6. (Один ученик у доски, остальные – в тетрадях) Найти производную функцииf(x)=C (Const)

Решение:

Таким образом, (C)'=0

Решение упражнений

Вычислите ∆y/∆x в точке х₀, если: а) у=2х²,х₀= 1,∆xравно 0,5; 0,1; 0,01; б)у=х²,х₀= 1,∆xравно 0,5; 0,1; 0,01.

К какому числу стремится отношение ∆y/∆xпри ∆x→0, если

а) ∆y/∆x=8 х₀ +4 ∆ х, х₀ равно 2; -1;

б) ∆y/∆x=3 х₀²+3 х₀∆ х +(∆ х) ²,х₀ равно 1; -21;

в) ∆y/∆x= -2 х₀ + ∆ х, х₀ равно 1; 3?

Пользуясь определением производной, найдите значения производной функции у, если:

а) у = х²- 3х в точках -1; 2;

б)у=2х³ в точках 0; 1;

в) у =4 - х²в точках 3;0.

Учитель с учениками обсуждают полученные результаты.

Домашнее задание.

1. Пользуясь определением производной, найти значения производной функции у в точке, если:

у =х²- 3х +7 в точках-3; 4; 7;

у =х²- 9х - 18 в точках-1;2;

у =4 – 6х +х² в точках -2; 2;

у=2х³- 29х - 18 в точках -1; 3;

у=2х³ +4х²- 11х - 13 в точках 0;1;

у=-3х³ -42х²-24х - 1 в точках1; 4,

, в точке 1.

2. Пользуясь определением производной, найти производную функции у, если:

,

,

у = 5 − 6x ,

у= 4 − 7x,

,

,

у =2х²- 13х +3,

у=-3x²-13x,

у=7x²+3x,

у =4 – 5х + 2х²,

у =3х²- 2х – 8,

у=х³- 9х – 4,

у=3х³ - 4х²- 8х – 4,

у =-2х³ -4х²-4х,

у =,

у = ,

Подведение итогов урока.

Вопросы:

1) Что называется приращением аргумента?

2) Что называется приращение функции?

3) Что называется производной функции y = f(x) в точке x?

4) Как называется операция нахождение производной?

5) Какая функция называется дифференцируемой в точке?

6) Какая функция называется дифференцируемой на отрезке?

Отметить учащихся, активно работавших на уроке.

Урок 3

Тема: Производные тригонометрических функций.

Цель: Проверить знание алгоритма нахождения производной в точке и умение его применять. Вывести производные тригонометрических функций.

План проведения урока:

1. Организационный момент (2 минуты).

2. Проверка домашнего задания. (15 минут).

3. Проверочная работа (15 минут).

4. Введение нового материала (10 минут).

5. Домашнее задание (3 минуты).

Ход урока:

Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание. Собрать тренажёр № 1 на проверку.

2. Проверка домашнего задания.

Те, примеры, которые не получились из текущего домашнего задания, учащиеся выписывают на доску и разбираются вместе с учителем.

3. Проверочная работа (на доске, в двух вариантах)

Вариант I.

1. Найдите ∆ х, если х₀ = 4, х = 3,8.

2. Найдите ∆y, если y(х₀) = 7,2; y = 3,8.

3. Найдите приращение функции y(х) = 3х - 1, еслих₀ = 1, х= 1,2.

4. Найдите производную функции у =х⁴.

5. Найдите f '(х), если f (х) = (3х - 4)³.

Вариант II.

1. Найдите ∆ х, если х₀ = 6, х=5,7.

2. Найдите ∆y, если y(х₀) = 4,5; y = 10,1.

3. Найдите приращение функции y(х) = 2х+3, еслих₀ = 1, х= 1,2.

4. Найдите производную функции у =х⁵.

5. Найдите f '(х), если f (х) = (2 - 7х)³.

4. Введение нового материала

Докажем, что . Доказательство проводит учитель.

Теперь докажем, что . Доказательство проводят ученики самостоятельно.

5. Домашнее задание.

1. Тем, кто в проверочной работе делал I (II) вариант, выполнить II (I) (учитель выдаёт карточки с заданием);

2. Пользуясь определением производной, найдите производную функции

а) ,

б) ;

3. Выучить доказательство производных тригонометрических функций.

Урок 4

Тема: Правила дифференцирования.Производная степенной функции.

Цель: Сформулировать основные правила дифференцирования, доказать их и показать учащимся находить производные функций с помощью правил дифференцирования. Вывести производную степенной функции.

План проведения урока:

1. Организационный момент (3 минуты).

2. Анализ проверочной работы, проверка домашнего задания. (10 минут).

3. Введение нового материала (27 минут) (учитель с учениками).

4. Подведение итогов урока (4 минуты).

5. Домашнее задание (1 минута).

Ход урока:

Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание. Выдать тетради для тренажёров. Сообщить отметки за проверочную работу.

Анализ проверочной работы, проверка домашнего задания.

После сообщения отметок, учитель подводит итог проведенной проверочной работы, говорит с какими заданиями справились все(почти все) учащиеся, какие были типичные ошибки, если были такие задания, с которыми никто (почти все) не справились, то учитель разбирает его со всем классом, а потом вызывает к доске ученика на аналогичное задание из домашней работы.

Вопросы, возникшие в домашней работе, разбираются всем классом, особенно второе задание.

Вопросы для повторения:

1) Что называется производной функции y = f(x) в точке x?

2) Как называется операция нахождение производной функции?

Введение нового материала.

Теорема 1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Доказательство (доказательство проводит учитель):

Есть функции u(x) и v(x); и.

Нужно доказать, что (u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x).

Пусть u(x) + v(x) = f(x).

Значит, (u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x). ЧТД

Замечание 1: Аналогично можно доказать, что (u(x)-v(x))'=u'(x)-v'(x).

Замечание 2: Можно доказать справедливость теоремы 1 для суммы любого конечного числа дифференцируемых функций, т.е.

Задача 1: Найти производную функции f(x)=x²+x – 7.

Вычислить f (-1), f (0), f (3)

Решение

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой.

Доказательство (доказательство проводит учитель):

Есть функции u(x) и v(x); и.

Нужно доказать, что .

Пусть

Множители ине зависят от . Функция v(x) имеет производную, поэтому она непрерывна и .

Имеем:

Мы доказали, что.

Эта формула называется формулой Лейбница.

Замечание: Можно доказать, что производная произведения любого конечного числа множителей равна сумме произведений производной каждого из них на все остальные.

Следствие 1. (доказательство проводят ученики самостоятельно)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной. .

Доказательство:

По теореме 2 имеем:

Но , поэтому

Следствие 2. Производная функции f(x)=xⁿ, где равна произведению показателя n на степень.

Доказательство (доказательство проводят ученики самостоятельно):

Но ,,а число слагаемых равно числу множителей n, поэтому имеем .

Эта формула верна любого n.

Таким образом, производная степной функции:

Задача 2. Найти производную функции f(x)=x³(x-1)

Решение:

Учитель обращает внимание на то, что ранее мы искали производную, используя только определение, теперь же, зная правила дифференцирования, процесс отыскания производной стал гораздо проще.

Теорема 3. Производную частного двух дифференцируемых функций можно найти по формуле:

, где

Доказательство (доказательство проводится совместно учителем и учениками) :

Есть функции u(x) и v(x); и

Нужно доказать, что .

Пусть .

Умножим обе части равенства на v(x) и найдем производную от обеих частей равенства.

Получим или.

Но . Тогда

или.

Мы доказали, что.

Задача 3: Найти производную функции

Решение:

;

Задача 4: Доказать, что

Решение:

Доказательство:

Задача 5: Доказать, что (самостоятельно)

Подведение итогов урока.

Вопросы для самопроверки:

1) Верно ли, что:

а) если функцииf(x) и g(x) дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируема и функция?

б) если функцияf(x)=v(x)+u(x) дифференцируема в точке ,то функции u(x) и v(x) тоже дифференцируемы в этой точке.

2) Чему равна производная функции f(x) в точке , если, и функции u(x) и v(x) дифференцируемы в этой точке?

3) Чему равна производная функции f(x) в точке , если и функции u(x) и v(x) дифференцируемы в этой точке?

Отметить учащихся, активно работавших на уроке.

Домашнее задание.

Доказать, что (u(x)-v(x))'=u'(x)-v'(x),

Выучить правила дифференцирования с доказательствами,

Сделать работу над ошибками по тренажёру №1.

Урок 5

Тема: Решение упражнений.

Цель: Научить учащихся находить производные функций с помощью применения табличных формул и правил дифференцирования.

План проведения урока:

1. Организационный момент (2 минуты).

2. Проверочная работа (20 минут).

3. Решение упражнений (20 минут).

4. Подведение итогов урока (2 минуты).

5. Домашнее задание (1 минута).

Ход урока:

Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание.

Проверочная работа

Вариант 1

Найдите производную функции y = c

Найдите производную функции у = kx+c

Найдите производную функции y =

(сtg

Производная суммы двух дифференцируемых функций (с доказательством)

Производная произведения двух дифференцируемых функций (с доказательством)

Докажите 4)

Докажите 5)

Вариант 2

1) Найдите производную функции y = c

2) Найдите производную функции у = kx+c

3) Найдите производную функции y =

4)

5) (tg

6) Производная разности двух дифференцируемых функций (с доказательством)

7) Производная частного двух дифференцируемых функций (с доказательством)

8) Докажите 4)

9) Докажите 5)

Критерии отметки:

“5” - девять верных ответов;

“4” – семь-восемь верных ответов;

“3” - шесть верных ответов или семь верных, но без доказательств.

3. Решение упражнений.

1. Найти производные степенных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19)

2. Найти производные функций

у = sin х+

у = sin х

у =

Домашнее задание.

Тренажер№ 2 (см.приложение к уроку 5)

Приложение к уроку 5

Тренажёр №2. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ.

Найдите производную функции

Урок 6

Тема: Самостоятельная работа.

Цель: Проверить умения применять правила дифференцирования, формулы вычисления производной линейной, степенной, тригонометрических функций.

План проведения урока:

1. Организационный момент (1 минута).

2. Самостоятельная работа (43 минуты).

3. Домашнее задание (1 минута).

Ход урока:

Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к самостоятельной работе, мобилизовать внимание. Собрать рабочие тетради и тетради для тренажёров. (Пока учащиеся пишут работу, проверить все тетради)

Самостоятельная работа (В двух вариантах, в трёх частях)

Часть А (с выбором ответа)

Ответы к тестам

I вариант: 1.В 2.А 3.А 4.В 5.Б 6.А 7.Б 8.В

II вариант: 1.Б 2.В 3.В 4.В 5.А 6.Б 7.В 8.А.

Часть Б (без выбора ответа, требуется дать только ответ(без решения))

Часть В (без выбора ответа, требуется дать ответ и решение)

ЧастьА

Вычислить y’

Вариант 1 Вариант 2

Часть Б

Вычислить y’

Вариант 1 Вариант 2

Часть В

Вычислить

Вариант 1 Вариант 2

Ответы:

Вариант 1.

1) ,

2) ,

3) ,

4)

Вариант 2.

1) ,

2)

3) ,

4) .

Домашнее задание (В двух вариантах).

В клетках таблицы в беспорядке записаны функции и их производные. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие номеров клеток. Например: 1-9.

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

И схематически построить их графики.

Урок 7

Тема: Производная сложной функций.

Цель: Доказать теорему о дифференцируемости сложной функции и показать учащимся как с помощью неё находить производные сложных функций.

План проведения урока:

1. Организационный момент (2 минуты).

2. Проверка домашнего задания. (10 минут).

3. Проверочная работа (5 минут).

4. Введение нового материала (10 минут).

5. Решение упражнений (15 минут).

6. Подведение итогов урока (2минуты)

7. Домашнее задание (1 минута).

Ход урока:

Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся ставят себе самооценку за домашнее задание, а потом вместе с учителем обсуждают получившиеся результаты, учитель должен обратить внимание на то, что возможны разные варианты пар.

Проверочная работа (на карточках, в двух вариантах)

Карточки с вариантами для проверочной работы в приложении к уроку 7

4. Введение нового материала

Учитель даёт задание ученикам: Найдите производную функции . Учащиеся возводят в квадрат квадратный трехчлен, получают многочлен четвёртой степени, а потом вычисляют производную с помощью правил дифференцирования. Учитель сообщает, что производную этой функции, можно было, вычислить иным способом, как производную сложной функции.

Есть функцияy=f(z), где . Функция, заданная формулой , называется сложной функцией.

Пример: функция- сложная

Есть функциядифференцируема в точке x, а функция f(z) дифференцируема в точке , то сложная функция тоже дифференцируема и справедлива теорема:

Теорема:Производную сложной функции можно найти по формуле: .

Доказательство:

Пусть x имеет приращение . Тогда имеет приращение z, а имеет приращение y.

Если , то .

Если x 0, то z 0 и

, но т.к. , то

Задача. Найти производную функции .

Решение:

Пусть , тогда .

По теореме о производной сложной функции.

Тогда

5. Решение упражнений

Найти производную функции:

1)

2)

3)

4) y=sin(x/2),

5)y=sin3(2x³),

6) ,

7) ,

8) .

6. Подведение итогов урока

Учитель задаёт вопросу классу:

Дать определение производной функции.

Назовите правила вычисления производных.

Какая функция является сложной?

Назовите формулу нахождения производной сложной функции

7. Домашнее задание.

Тренажёр № 3 (см. Приложение к уроку 7)

Приложение к уроку 7

Вариант 1

Установите соответствие между функцией, записанной в столбце А, ее схематическим графиком, изображенным в столбце Б ,производной функции в столбце В и графиком производной в столбце Г. Например: 1А-5Б-6В-7Г

Вариант 2

Установите соответствие между функцией, записанной в столбце А, ее схематическим графиком, изображенным в столбце Б ,производной функции в столбце В и графиком производной в столбце Г. Например: 1А-5Б-6В-7Г

Тренажёр № 3 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Урок 8

Тема: Производная обратной функций

Цель: Доказать теорему о дифференцируемости обратной функции и показать учащимся как с помощью неё находить производные обратных тригонометрических функций.

План проведения урока:

1. Организационный момент (1 минута).

2. Введение нового материала (20 минут).

3. Решение упражнений (20 минут).

4. Подведение итогов урока (3 минуты).

5. Домашнее задание (1 минута).

Ход урока:

1. Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание. Сообщить отметки за проверочную работу.

2. Введение нового материала.

Перед введением нового материала учитель проводит повторение ранее изученного материала в форме фронтального опроса. Вопросы для повторения:

1) Что называется функцией?

2) Что называется областью определения функции?

3) Что называется областью изменения функции?

4) Какая функция называется обратной?

5) Признак обратимости функции.

6) Имеет ли функцияобратную? На каком промежутке?

7) Имеет ли функцияобратную? На каком промежутке?

8) Имеет ли функцияобратную? На каком промежутке?

9) Имеет ли функцияобратную? На каком промежутке?

Непосредственное введение нового материала.

Пусть функцияy=f(x) непрерывная, и возвращающая на [a; b].Значит, на этом промежутке она имеет обратную функцию .

Теорема. Если функция y=f(x) определена, непрерывна и монотонна на [a; b] и в точке из [a; b] имеет производную , то обратная функция имеет производную в точке , которую можно найти по формуле , т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции (без доказательства).

Найдём производную для функции .

Из равенстваследует. По теореме о производной обратной функции имеем

Значит,

Задача 1. Найти производную функции

Решение: Пусть , тогда .

Найдём производную для функции .

Из равенстваследует

По теореме о производной обратной функции имеем

Значит,

Задача 2. Найти производную функции

Решение: Пусть , тогда .

3. Решение упражнений

1.Доказать, что

2. Доказать, что

3.Найти производную функции:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) y = ,

6) ,

7)

4. Подведение итогов урока

Учитель задаёт вопросу классу:

Дать определение производной функции.

Назовите правила вычисления производных.

Какая функция является обратной?

Назовите формулу нахождения производной обратной функции

5. Домашнее задание

Найти производную данной функции

у = (х²– 3х + 1)³ ,

у = (1 + х – 2х²)¹⁰ ,

у = (+ 2)²,

у = (2 – )² ,

y = 2x + 3,6 sin5(p - x),

y = sin (2x² – 3),

y = (1 + sin3x) cos3x,

y = tg x (tg x – 1).

Урок 9

Тема: Решение упражнений

Цель: Закрепить и проверить умения учащихся применять формулы и правила вычисления производных.

План проведения урока:

1. Организационный момент (1 минута).

2. Решение упражнений (40 минут).

3. Домашнее задание (1 минута).

4. Подведение итогов урока (3 минуты).

Ход урока:

1. Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание. Собрать тренажёр № 3. Взять три тетрадки из класса и проверить домашнюю работу. Разбить класс на три разноуровневые группы (причем ребята сами оценивают свои знания и выбирают группу).

Эпиграфом к будут слова Ньютона “При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила” и слова Ломоносова “Примеры

учат больше, чем теория”.

2. Решение упражнений

Каждой группе учащихся выдаётся карточка с заданием, на решение примеров отводиться 20 мин, после этого учитель вызывает по одному из учеников из каждой команды (трое одновременно), они представляют своё решение с объяснениями.

Карточка №1 (уровень А).

1. Найдите производную функции:

у = 5 – 7х

у = 4х⁴ - х⁵ + х² -3х

у = (х – 5)(2х – 5)

у =

у =

у = cos x + ctg x

у = sin5x

у = (х + 4)³

2. Вычислите у ' , если у(х) = ctgx – tgx.

3. Решите уравнение:f '(x) = 0, если f (x) = х⁴ - 2х² + 1.

Карточка №2 (уровень В).

1. Найдите производную функции:

у = (х³ – 2х² + 5)⁶;

у = tg(2 – 5х)

у = cos(х³-3)

y = 5 sin 3x

у = cos3x

у =

у = -

у = sin (2х² + 3)

у =

2. Вычислите у ' (600), еслиу(х) =

3. Решите уравнение:f ' (x) = 0, если f (x) = -

Дополнительно. Решить уравнение | х + 2 | + | х – 3 | = 5.

Карточка №3 (уровень С).

Найдите производную функции:

y = 4x⁵ + tg 3x – cos 2x,

у = ,

у = sin³ 5x ,

y = ,

y = ,

у = arcsin2,х

у = (х² + 6)

у =

у = arctg 2x

2. Вычислите у ' , если у(х) = sin x · cos² x ,

3. Решите уравнение:f ' (x) = 0, если f (x) = x – tg x,

Дополнительно. Решить неравенство у ' > 0, если у(х) = (3х – 1)¹⁰ · (2х + 5)⁷.

3. Домашнее задание

Найти производную

у = 4х³ – 2х² + х – 5,

у = (х² -5х + 8)⁶,

у = sin (4х – 1),

у = ,

у = tg x – x,

у = arccos x,

у = (х³ – 1)(х² + х + 1),

у = ,

у = sin²,

у = ,

у = arcsin 2x,

у = ,

у = ,

у = ,

у = ,

у = arctg(2x² – 5),

у = sin² x · cos x.

4. Подведение итогов урока

Учащиеся отвечают на вопросы письменно:

1.1.Узнал(а) ли я сегодня что-то новое для себя;

1.2. Выполнил(а) ли программу урока полностью;

1.3. Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения;

1.4. В каких знаниях уверен.

2.1. Кто, по-вашему мнению, внес наибольший вклад;

2.2. Кому, над чем следовало бы еще поработать.

Работа класса оценивается учителем.

Урок 9

Тема: Самостоятельная работа

Цель: Проверить умения учащихся применять формулы и правила вычисления производных.

План проведения урока:

1. Организационный момент (1 минута).

2. Самостоятельная работа(43 минуты).

3. Домашнее задание (1 минута).

Ход урока:

1. Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к самостоятельной работе, мобилизовать внимание. Выдать тетрадь для тренажёров

Самостоятельная работа (в двух вариантах, в двух частях)

Первая часть по вариантам, а вторая – общая.

Часть I.

Вариант 1

1.Для функции y = x² найдите приращение ∆y, если x₀=1 ,∆x=0,6.

2.Найдите производную функции:

а) f(x) = x³+x²+2x;

б)f(x) =

в) g(x) = ;

г) g(x) =

д) g(x) = 4sinx и вычислите g′ ;

е) g(x) = 2tgx и вычислите g′ ;

ж) h(x) = и вычислите h′ (-1);

з) h(x) = и вычислите h′ ( - 2).

3.Решите уравнение

а) f′ (x)g′ (x) = 0, если f(x) = x^{3 –} 6x², g(x)=;

б) если f(x) =

Вариант 2

1.Для функцииy = 0,5x² найдите приращение ∆y, если x₀=1 ,∆x=0,8.

2. Найдите производную функции:

а) f(x) = - x³+2x²-x;

б) f(x)=-

в) g(x) = +x;

г) g(x) =

д) g(x) = 3cosx и вычислите g′ ;

е) g(x) = 4ctgx и вычислите g′

ж) h(x)= и вычислите h′ (1);

з) h(x) = (3x+4)/(x-3) и вычислите h′ (4).

3.Решите уравнение

а) если f(x) =- 18x, g(x) =2 ;

б) f′ (x)g′ (x) = 0, если f(x) = x³-3x²,g(x) =

Часть II.

Вычислить производную

1..

2..

3..

4..

5..

6..

7..

8..

9..

10..

Домашнее задание.

Выполнить работу над ошибками по тренажёру №3.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/89006-uchebno-metodicheskoe-posobie-proizvodnaja-pr