Решение тригонометрических уравнений: от простейших до однородных и квадратных

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Вступление

Методы решения уравнений:

Замена переменной;

Разложение на множители;

Функционально-графический.

Деление на группы:

Разминка.

Установить соответствие.

Исправить ошибки.

Найти уравнение, которое не имеет решений.

I группа (соответствие)

II группа (найти ошибки)

III группа (не имеет решения)

1. cos²x = 0,

2. cos2x = 2,

3. 2cos2x = 0,

4. sin²x+2 = 4,

5. tg³x = 3,

6. 1+sin2x = 3,

7. cos²x = 1/y.

Решают уравнение на доске все.

2tg²3x-tg3x-1 = 0,

tg3x = y,

2y²-y-1 = 0,

D=9,

y₁ = 1, y₂ = -1/2,

tg3x = 1, tg3x = -1/2,

3x = П/4+Пn, 3x = -arctg1/2+Пn,

x = П/12+Пn/3 x = -1/3arctg1/2+Пn/3

Решают на местах (самостоятельно).

1гр. 2гр. 3гр.

1 ученик решает у доски:

2tg²3x-|tg3x|-1 = 0,

Пусть tg3x≥0, тогда:

2tg²3x-tg3x-1 = 0,

tg3x = y,

2y²-y-1 = 0,

D=9,

y₁ = 1,

y₂ = -1/2 – не удовлетворяет условию, так как tg3x≥0,

tg3x = 1,

3x = П/4+Пn,

x = П/12+Пn/3,nєZ.

Пусть tg3x˂0, тогда:

y₁ = -1,

y₂ = 1/2 – не удовлетворяет условию, так как tg3x˂0,

tg3x = -1,

3x = -П/4+Пn,

x = -П/12+Пn/3.

Историческое сведение.

1пр. secx = -0,5 имеет ли решение это уравнение?

2пр. чему равен tg11П/2? (не существует)

3пр. sin1 – какой знак имеет это выражение?

Работа по карточкам (устно).

задание у доски 1 ученик:

4sin²x/3-sinx/3*cosx/3+cos²x/3 = 2,

4sin²x/3- sinx/3*cosx/3+cos²x/3-2sin²x/3- 2cos²x/3 = 0,

2sin²x/3- sinx/3*cosx/3-cos²x/3 = 0| : cos²x/3,

2tg²x/3- tgx/3-1 = 0,

tgx/3 = 0,

2a²- a-1 = 0,

D=1+8=0,

a=(1±3)/4,

a₁ = 1, a₂ = -1/2,

tgx/3 = 1, tgx/3 = -1/2,

x/3 = П/4+2Пn, x/3 = -arctg1/2+Пn,

x = 3П/4+6Пn x = -3arctg1/2+3Пn

Решить дома:

sin³x+ sin²x*cosx+ sinx*cos²x-cos³x = 2sinx,

sin³x+ sin²x*cosx+ sinx*cos²x-cos³x = 2(sin²x+ cos²x)sinx

Решает уравнение 1 ученик с каждой группы (различными способами)

sin2x+3cos2x = 1

Итог урока!