Разработка системы уроков по теме «Квадратные уравнения» в 8 классе

Квадратное уравнение.

Урок №1

Тема:Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.

Цель:Рассмотреть все виды квадратных уравнений. Выделить полное (определение) и неполные квадратные уравнения.

Лекция.

В п.19 прочитать определение квадратного уравнения.

, где а,b – коэффициенты, с - свободный член.

Предложить учащимся, заменив а,b,с числовыми значениями, составить квадратное уравнения.

Примеры.

; ; и т.д.

Рассмотрим №505 (выполнив устно).

Вопрос.

Чем отличаются квадратные уравнения под № 505 от неполных квадратных уравнений?

Рассмотрим все возможные случаи решения квадратных уравнений от значения коэффициентов и свободного члена.

1. Пусть ,,, следовательно,

1 корень, но нет кв. уравнения

2. Пусть ,,, следовательно,

1 корень, но нет кв. уравнения

3. Пусть ,,, следовательно, ,

2 корня

4. Пусть ,,, следовательно,

если – ,2 корня

если – ,нет корней

если – ,1 корень

5. Пусть ,,, следовательно,

2 равных или один корень

6. Пусть ,,, следовательно,

при любых х, т.е. множество корней.

7. Пусть ,, (узнаем на следующих уроках).

☼ Закрепление: 509 (г – е ), 510 ( г - е ), 512 ( а - г ).

☻ Домашнее задание: п.19 + лекция, № 504, 506, 507.

Урок №2

Тема:Формула корней квадратного уравнения.

Цель: Вывод формулы и заполнение таблицы до конца (7 пункт предыдущего урока).

I этап урока:

Вывод формулы корней кв. уравнений при , где b - произвольное число (можно дать вывод формулы самостоятельно дома сильным учащимся, а в классе лишь дать формулу).

;;

II этап урока:

Выполнить задания (устно):

При каких «а» уравнение имеет 1 корень, 2 корня?

При каких «а» кв. уравнение имеет 1 корень, 2 корня?

При каких значениях «m» квадратное уравнение имеет 1 корень?

При каких значениях «m» равнение имеет 1 корень?

При каких значениях «с» квадратное уравнение имеет корень = 0?

При каких значениях «с» квадратное уравнение имеет 2 различных корня?

☼ Задания для данного урока можно взять в сборнике заданий под редакцией Галицкого М.Л.

☻ Домашнее задание: п.19 – 20, урок №3.

Урок №3

Тема:Неполные квадратные уравнения.

Цель: Повторение видов неполных квадратных уравнений и их решение.

I этап урока:

Повторение (устно): виды неполных квадратных уравнений, их решение
(1 – 6 пункты предыдущей лекции)

☼ Закрепление материала.

Устно:

При каких значениях параметра квадратное уравнение имеет:

1 корень:

2 корня:

нет корней:

Вопросы:

При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

При каких значениях а уравнение имеет 1 корень?

При каких значениях а квадратное уравнение имеет 1 корень?

Сделать выборку из первых двух уроков для ответа на вопрос.

☼ Закрепление материала.

На следующих уроках для устного (в тетрадке) рассмотрим такого вида уравнения:

Когда уравнение имеет решение?

Когда квадратное уравнение имеет решение?

При каких m квадратное уравнение имеет один корень, два корня, множество?

Урок №4

Тема:Теорема Виета.

Цель: Вывод формулы по учебнику.

I этап урока:

Объяснение нового материала. Зачитывается стихотворение, сочиненное ученицей.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теоремы Виета.

Что проще скажи постоянства такого

Умножишь ты корни и дробь уж готова.

В числителе С, в знаменателе А.

И сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь

Что за беда?

В числителе В, в знаменателе А.

( теорему Виета даю для полного квадратного уравнения)

Вывод формулы как в учебнике.

, где – вид приведенного квадратного уравнения.

☼ Для закрепления выполняем задание из учебника.

☻ Домашнее задание: п.21

Урок №5

Тема:Зависимость корней квадратного уравнения и коэффициентов свободных членов уравнения.

Цель:Рассмотреть нестандартный вид решения некоторых квадратных уравнений вида

I этап урока:

Объяснение нового материала (устно повторить т. Виета).

Пусть , то ,,

Доказательство: по теореме Виета

2. Пусть , то , ,

по теореме Виета

☼ Закрепление:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Найти корни уравнения, не решая. 1 – 4 (устно), 5 – 12 (в тетрадке с пояснениями).

Пример:

6.

, т.к.

☻ Домашнее задание: лекция. Придумать по 5 уравнений на частный случай.

Урок №6, 7

Решение уравнений (см. примеры)

Урок №8

Тема:Решение квадратных уравнений с модулем.

Цель:Рассмотреть некоторые виды квадратных уравнений, где есть модуль.

Распечатка М № 10 – 14 (см. приложение).

№ 14

Ответ: ,,.

☼ Задание к данной теме в сборнике задач Галицкого М.Л.

☻ Домашнее задание. Повторить лекции №1, 2, 3. В тетради №21 – 23 (дополнительный материал).

Урок №9

Тема:Дробно-рациональные уравнения.

(открытый урок)

Цель: Знание учащихся плана решения дробно-рациональных уравнений.

Урок – соревнование.

Повторение плана решения дробно-рациональных уравнений.

Ход урока – соревнования.

Т.к. в плане 10 пунктов, а в ряду по 10 человек, то каждый ученик на доске выполняет по одному пункту.

Раскладываем на множители каждый знаменатель, используя любой способ (группировки, сворачивание формул, вынесение общего множителя за скобку), одновременно все слагаемые переносим в левую часть равенства.

Приводим к общему знаменателю: знаменателю первой дроби при-писываем недостающие множители из других знаменателей.

Находим дополнительный множитель к каждой дроби (общий зна-менатель делим на знаменатель данной дроби).

Умножаем весь числитель дроби на дополнительный множитель.

В числителе производим упрощение многочлена. ОДЗ: дробь равна 0 тогда, и только тогда, если числитель дроби равен 0, а знаменатель дроби 0 не равен.

Находим ОДЗ, т.е. при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Решаем уравнение числителя, находим корни.

Выясним принадлежность коней к области определения.

Пишем ответ с учетом ОДЗ.

Подведение итогов соревнования (итог урока).

☼ Подбор заданий для закреплений.

1. При каких значениях а уравнения и имеют общей корень?

Пусть х - общий корень, тогда

1). 2).

следовательноследовательно

следовательно, нет корней.

Ответ: при уравнения имеют общей корень.

2. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

Если и следовательно

Если , т.е. следовательно,

Ответ: единственное решение уравнение имеет при или

3. При каких значениях параметра а уравнение

имеет более 2 корней?

1). при

Ответ: при.

4. При каких параметрах а уравнение имеет единственное решение?

1. 2. следовательно

Ответ: ,

5. Найти все значения а при которых не имеют корней?

Ответ: при нет решения.

6. При каких а уравнение имеет два различных корня?

,

Ответ: при

7. При каком значении а уравнение имеет более одного корня?

1).

бесконечное множество решений.

2).

следовательно следовательно

Ответ: при а уравнение имеет более одного корня.

8. Решите уравнениеи сравните его больший корень с числом 0, (63) (из нархоза в 1997 г.)

, т.к.

следовательно, , т.е.

, следовательно,

Ответ:,,

9. При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственный корень?

1). 2). (первый коэффициент)

или

Ответ: при , уравнение имеет единственный корень.

При каких значениях а один из корней уравнения

равен 1?

если , то , следовательно

Ответ: при уравнение имеет корень равный 1.

11. Реши уравнение

ОДЗ:

следовательно,

1.

2. т.е.

Ответ: (при и ).

12. При каких значениях а уравнение

имеет более двух корней?

Условие, когда квадратное уравнение имеет более двух корней это равенство коэффициентов и свободного члена =0.

Для решения в 8 классе.

для

если , то тогда корень

если, то

для

если , то тогда корень

Ответ: при уравнение имеет более 2-х корней.

13. При каких значениях а уравнение имеет один корень

1. первый коэф. =0 2.

следовательно

и нет корней

нет корней

Ответ: при уравнение имеет один корень.

Определение: Уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Мы же даем в геометрии понятие – определение равновеликих фигур и решаем задачи, а условия равносильности почти нигде не используются.

14. При каких значениях b уравнения

1)и 2) равносильны?

из 1-ого уравнения: следовательно , оно же является корнем и 2-ого уравнения.

Подставим во 2-е уравнение

, следовательно, решаем и

, следовательно, если существуют значения В при которых уравнения равносильны, то это , при других значениях В корень 1-ого уравнения не будет являться корнем 2-ого уравнения.

Проверим каждый из параметров:

1. 2.

равносильны

1. 2

равносильны

Ответ: при и оба уравнения являются равносильными.

15. При каких значениях а уравнения

1) и 2) равносильны?

2) , следовательно, это корень для 1) уравнения

, следовательно,

проверим

1) 2)

равносильны

1) 2)

равносильны

Ответ: при а=4 и а=3 уравнения равносильны.

16. Найти сумму квадратов всех корней уравнения

1. 2.

Ответ: сумма квадратов всех корней уравнения равна 14.

17. При каких значениях параметра b корни уравнения

равны по модулю?

По т. Виета:

тогда следовательно

, следовательно,

Ответ: при и корни уравнения равны по модулю.

18. При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение?

, следовательно, тогда , где

или тогда по ОДЗ не является решением

Если тогда,

Если тогда,

Если тогда,

Ответ: при уравнение имеет 1 корень

19. Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения

.

Найдите а и корни уравнений.

по т. Виета

Ответ: – корни 1 уравнения

4; 3 – корни 2 уравнения

После изучения темы «Неравенство»

1). Найти значение параметра m при каждом из которых уравнение

имеет два различных отрицательных корня.

2). Найти все значения параметра a, при которых корни квадратного уравнения неотрицательны.

Ответ: при корни квадратного уравнения не отрицательны.

3). Найти k, при которых уравнение имеет хотя бы один положительный корень.

Рассмотрим по т .Виета

1). Если и

2). Если и

3). Если и

1) 2) 3)

не охватывает всеиз-за суммы надо рас- если найдем это мн-во

случаи матривать 2 случая то оставшееся будет

не очень удобно искомым

Рассмотрим

два или один корни отрицательные, следовательно, то множество, где корни существуют кроме, будут корни оба «+» или хотя бы один, т.е. .

9 класс.

4
). При каких А неравенство не выполняется ни при каких действительных значениях Х?

Пусть

значит

Ответ: при не выполняется неравенство.

При каких значениях параметра А неравенство

выполняется при всех X?

Если, следовательно, , т.е. при всех X значении нет конкретного решения, следовательно, не пересекает ось ОХ.

1) 2)

I. Квадратные уравнения

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

II. Выдели полный квадрат и реши уравнение

1. 5.9.

2. 6.10.

3. 7.11.

4. 8.12.

III. Реши квадратное уравнение

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

.IV. Уравнения с буквенными коэффициентами.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/95280-razrabotka-sistemy-urokov-po-teme-kvadratnye-