Теорема о трех перпендикулярах

Время

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1я-3я мин

Организационный момент.

Приветствие, проверка готовности учащихся и кабинета к уроку.

Организация внимания школьников, мотивация учения

Подключение и настройка ЗУА. Проверка.

- «Надень наушники!»

- «Ты хорошо слышишь?»

Проверяют готовность рабочего места к уроку. 

- «Я слышу хорошо»

- «Я слышу плохо»

4я-5я мин

Постановка целей урока.

Учитель знакомит учеников с планом урока:

Устная работа

Математический диктант

Изучение новой темы

Решение задач

Знакомятся с планом урока, при необходимости задают вопросы.

6я-11я мин

Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Сначала нужно вспомнить, то что мы с вами учили. (РАБОТА ПО ЧЕРТЕЖУ)

Дайте определение:

-перпендикуляра к плоскости;

-основания перпендикуляра;

-расстояние от точки до плоскости;

-наклонной;

-основания наклонной;

-проекции наклонной.

Учащиеся дают ответы на вопросы учителя с опорой на чертёж, используют знако – символические средства.

12я-16я мин

Повторения изученного материала

1. Угол между прямыми равен 90°. Как называются такие прямые? (перпендикулярные.)

2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?» (да.)

3. Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она...» (перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости).

4. Что можно сказать о двух (трех, четырех и т.д.) прямых, перпендикулярных к одной плоскости? (Они параллельны.)

5. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, … (параллельны)

6. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? (Возможный ответ: как кратчайшее расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой)

Письменно отвечают на вопросы.

17я-24я мин

Изучение нового материала

Теорема (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Д
оказательство:

1) Через точку В проведем прямую b, параллельно АО.

2) Через параллельные прямые b и АО проведем плоскость (по определению параллельных прямых).

3) Докажем, что .

а) (по условию).

б) (по построению), (по условию), тогда .

в) Так как ,, то .

г) Так как , то (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

4) Так как .

Теорема доказана.

Высказывают свои предположения.

Записывают доказательство теоремы в тетрадь

25я-40я мин

Первичное закрепление нового материала

Учитель решает задачу у доски с комментированием

Задача 1.

Из вершины А квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что ВС перпендикулярно КВ.

Доказательство:

Задача 2.

Высота прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу, равна 9,6 см. Из вершины С прямого угла восставлен к плоскости треугольника АВС перпендикуляр СМ, причем СМ=28 см. Найти расстояние от точки М до гипотенузы АВ.

Учащиеся отвечают на поставленные вопросы учителя.

Задают вопросы, возникшие в ходе решения задачи

По желанию выходят к доске и решают задачу с комментированием.

Решение:

1) Тогда МН- наклонная к плоскости треугольника АВС, а СН- проекция этой наклонной на плоскость треугольника.

2) Так как , то по теореме о трех перпендикулярах и . Значит, длина отрезка МН равна искомому расстоянию от точки М до гипотенузы АВ.

3) Из прямоугольного треугольника МСН по теореме Пифагора находим, что

Ответ. МН=29,6 см

41я-44я мин

Подведение итогов, выставление оценок.

«Вы познакомились темой «Теорема о трех перпендикулярах». Был ли понятен данный материал? Что было в нем интересного? Где можно применить знания то данной теме?

У учеников спрашивается, понятен ли им изложенный материал, на каких учебных предметах они смогут использовать полученные знания. Выставляются оценки учащимся.

Ученики пытаются вместе с учителем сделать вывод по данному уроку, отвечают на его вопросы, задают свои, если такие есть.

45я мин

Постановка домашнего задания

Домашнее задание: №10, выучить доказательство теоремы.

Ученики записывают домашнее задание.