Методическое пособие по решению задач. Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник

Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник .

Основные понятия

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являютсядополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180^.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вертикальные углы равны.

Угол, равный 90^, называется прямым углом. Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

Через каждую точку на прямой можно провести и притом только одну, перпендикулярную прямую.

Через каждую точку, не лежащую на прямой можно провести и притом только одну, перпендикулярную прямую.

Угол, меньший 90^, называется острым. Угол больший 90^, называется тупым.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Свойства биссектрисы угла:

любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла;

любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла.

Теоремы (признаки) о параллельности и перпендикулярности прямых:

две прямые, параллельные третьей – параллельны;

если при пересечении двух прямых третьей, внутренние (внешние) накрест лежащие углы равны, или внутренние (внешние) односторонние углы в сумме равны 180^, то эти прямые параллельны;

если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние и внешние накрест лежащие углы равны, и внутренние и внешние односторонние углы в сумме равны 180^;

две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой – параллельны;

прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй.

Свойства серединного перпендикуляра отрезка:

точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов отрезка;

любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Признаки равенства треугольников.

по двум сторонам и углу между ними;

по стороне и двум прилегающим к ней углам;

по трем сторонам.

Треугольник называют равнобедренным,если у него две стороны равны.

Медианойтреугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.

Высотатреугольника – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.

Свойства равнобедренного треугольника:

в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;

если в треугольнике медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведенная из какой-либо вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

(Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.

Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющей ее концы.

Внешним угломтреугольникаABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называютсякатетами.

Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:

углы, противолежащие катетам – острые;

гипотенуза больше любого из катетов;

сумма катетов больше гипотенузы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

по катету и острому углу;

по двум катетам;

по гипотенузе и катету;

по гипотенузе и острому углу.

Сумма внутренних углов треугольника:

сумма любых двух углов треугольника меньше180^;

в каждом треугольнике два угла острые;

внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним;

сумма углов треугольника равна 180^;

внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним;

сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^.

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

по острому углу;

по пропорциональным катетам;

по пропорциональным катету и гипотенузе.

Прямоугольный треугольник.

a,b – катеты; c – гипотенуза; a_c,b_c – проекции катетов на гипотенузу:

Теорема Пифагора: .

Р ешение прямоугольных треугольников:

sin = a/c, cos = b/c, tg = a/b

.

_{Основное тригонометрическое тождество}:_;

= 90⁰ -  sin(90⁰ - ) = cos, cos(90⁰ - ) = sin, tg(90⁰ - ) = ctg

Виды треугольников

еслиc² < a² + b², то треугольник – остроугольный

еслиc² = a² + b², то треугольник – прямоугольный

еслиc² > a² + b², то треугольник – тупоугольный

Пример 1. «Тригонометрический тренажер». Выразить sin,cos,tg из треугольников MPH, РНN и MPN.

Решение.

Пример 2. Какое из следующих утверждений верно?

Если угол равен 45⁰, то вертикальный с ним угол равен 45⁰.

Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение.

Верно, т. к. вертикальные углы равны: 1 = 2; 3 = 4.

Не верно, т.к. прямые могут быть параллельными (ни одной общей точки), могут совпадать (бесконечное число общих точек), могут пересекаться (одна общая точка).

Не верно, т.к. возможны два случая:

а) когда одна из точек не лежит на прямой, на которой находятся две другие точки;

б) когда все три точки лежат на одной прямой.

Не верно, т.к. перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Ответ 1.

Пример 3. Какое из следующих утверждений верно?

Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65⁰, то эти две прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65⁰ и 45⁰ то эти две прямые параллельны.

Через любую точку проходит не более одной прямой.

Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение.

Верно, т.к. если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны (1 = 5; 8 = 4; 7 = 3; 2 = 6;), то прямые параллельны.

Не верно, см п.1

Не верно, т.к. через одну точку можно провести бесконечное число прямых (см. рисунок).

Не верно, см. решение примера 1 п.3

Ответ 1.

Пример 4. Какие из следующих утверждений верны?

Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90⁰, то эти две прямые параллельны.

Если угол равен 60⁰, то смежный с ним равен 120⁰.

Если при пересечении двух прямых секущей внутренние односторонние углы равны 70⁰ и 110⁰, то эти две прямые параллельны.

Через любые три точки проходит не более одной прямой.

1) 1 и 2 2) 2 и 3 3) 2 и 4 4) 3 и 4

Решение.

Не верно, т.к. если при пересечении двух прямых секущей сумма накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Верно, т.к. сумма смежных углов равна 180⁰.

Верно, т.к. если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны.

Не верно, см. решение примера 1 п.3

Ответ2.

Пример 5. Какие из следующих утверждений верны?

В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона.

Если один угол треугольника больше 120⁰, то два других его угла меньше 30⁰.

Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90⁰.

1) 3 и 4 2) только 4 3) только 3 4) все верны

Решение.

Не верно, т.к. втреугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Не верно, т.к. сумма углов треугольника равна 180⁰.

Верно, т.к. перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой

наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Не верно, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

Ответ3.

Пример 6. Какие из следующих утверждений не верны?

В треугольнике АВС, для которого угол А = 50⁰,угол В = 60⁰, угол С = 70⁰, сторона ВС — наименьшая.

В треугольнике АВС, для которого АВ = 4,ВС = 5, АС = 6, угол В — наибольший.

Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.

Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.

1) 2 и 3 2) только 3 3) 3 и 4 4) все верны

Решение.

Верно, т.к.втреугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона.

Верно, т.к.в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Не верно, т.к. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежным с ним.

Верно, т.к. каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, а у нас 3 = 2 + 1.

Ответ 2.

Пример 7. Мальчик прошел от дома по направлению на запад 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

1) 1400 2) 1000 3) 200 4) другой ответ

Решение. По теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС² = 800² + 600² = 640 000 + 360 000 = 1000 000 м²; АВ = 1000 м.

Ответ2.

Пример 8. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка – 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 минут?

1) 6,25 2) 7 3) 2,5 4) другой ответ

Решение.30 мин = 0,5 ч. По теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС² = (3 ·0,5)² + (4·0,5)² = 2,25 + 4= 6,25 км²; АВ = 2,5 км.

Ответ 3.

Пример 9. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа?

1) 50 2) 2500 3) 35 4) другой ответ

Решение. По теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС² = (15 · 2)² + (20·2)² = 900 + 1600 = 25 00 км²; АВ = 50 км.

Ответ 1.

Пример 10. В 24 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 30 м, а другой — 12 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

1) другой ответ 2) 18 3) 30 4) 50

Решение. Надо найти КВ -?

1- й способ:

Рассмотрим подобные треугольники ΔАВСиΔАКМ:

АС = 2,5 АМ = 2,5(АС – 24); АС = 2,5АС – 60; 1,5АС = 60; АС = 40 м.

АМ = АС – МС = 40 – 24 = 16 м.

По теореме Пифагора в ΔАКМ:

АК² = АМ² + КМ² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400 м²; АК = 20 м.

По теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС² = 40² + 30² = 1600 + 900 = 2500 м²; АВ = 50 м.

Тогда КВ = АВ – АК = 50 – 20 = 30 м.

2-й способ:

Проведем перпендикуляр к ВС – отрезок КН.

По теореме Пифагора (учитывая, что НВ = ВС – НС = 30 – 12 = 18 м):

КВ² = КН² + ВН² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900 м²; КВ = 30 м.

Ответ3.

Пример 11. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

1) другой ответ 2) 6 3) 3,6 4) 18

Решение. Надо найти АМ -?

Рассмотрим подобные треугольники ΔАВСиΔАКМ:

АС = 3 АМ = 3(АС – 12); АС = 3АС – 36; 2АС = 36; АС = 18 м.

АМ = АС – МС = 18 – 12 = 6 м.

Ответ 2.

Пример 12. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

1) 40 2) 50 3) 90 4) другой ответ

Р ешение.

Ответ 2.

Пример 13. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 30⁰ . Найдите площадь треугольника.

Решение.

Ответ503.

Пример 14. В треугольнике ABC угол C равен 90,AB=10,BC=8. Найдите cosA.

Решение.

, где АС– прилежащий катет, АВ – гипотенуза.

Вычислим катет АС. Для этого применим теорему Пифагора:, тогда, тогда.

Окончательно получаем .

Ответ: 0.6

Пример 15. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны 10 и 12 см, соответственно. Найти длину основания.

Р ешение. В ABC имеем AB=BC,BDAC,AEDC,BD=10 см и AE=12 см. Пусть АС = х, АВ = ВС = у. Прямоугольные треугольники AECиBDC подобны (угол C общий); следовательно, ВС : АС = ВД : АЕ или у:х =5:6.

Применяя теорему Пифагора к BDC, имеем ВС² = ВD² + DС², т.е. у² = 100 + х²/4.

В итоге, мы получили систему уравнений:

Решая эту систему, получим х = 15 см. Итак, AC=15 см.

Ответ: 15.

Пример 16. В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.

Дано: ∆ ABC – прямоугольный, AC = 15, CB = 10

Найти:

Решение.

∆ ADE ~ ∆ ACB (ﮮA – общий,ﮮADE = ﮮACB = 90°)

ПустьDE = DC = X,тогдаAD = 15 – X

15·X = 10(15 – X)

15·X = 150 – 10 ·X

25 · X = 150

X = 6

DE = DC = 6

S_кв. = 6 · 6 = 36

Ответ: 36.

Пример 17. В прямоугольном треугольнике найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей, если отношение катетов равно 2:3.

Решение.Обозначим катеты треугольника 2а и 3а, тогда его гипотенуза равна Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру. Учитывая, что площадь равна половине произведения катетов, найдем r:

Ответ: 2.

Пример 18. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 10 см, а радиус описанной окружности 13 см. Найти расстояние от вершины меньшего угла до медианы, проведенной к большему катету.

Решение.

Найдем длины катетов. Пусть АВ = х,АС = у. Как известно, радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, следовательно,ВС = 213. Тогда для х и у можно составить систему уравнений:

.

Поскольку в качестве х выбран больший катет, будем считать, что АВ = 6,АС = 4.

Проведем медиану CN и опустим на ее продолжение перпендикулярВО, длину которого нужно найти. Прямоугольные треугольники BONиCNA подобны, так как их углы при вершине N равны как вертикальные. Следовательно,

Найдем медиану NC как гипотенузу прямоугольного треугольникаCNA:

Ответ: 1,8 см.

Пример 19. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен5 м. Найдите больший катет треугольника.

Решение.

AC = 2r = 10 м

ПустьAM = AK = x,MC = CL = y

По теореме Пифагора:

x+ y = 10

(x + 2)² + (y + 2)² = (x + y)²

y = 10 – x

(x + 2)² + (10 – x + 2)² = (x + 10 – x)²

(x + 2)² + (12 – x)² = 100

x² + 4x + 4 +144 – 24x + x² = 100

2x² – 20x + 148 = 100

2x² – 20x + 48 = 0

x² – 10x + 24 = 0

x₁ = 6, x₂ = 4

y = 10 – x

x = 6x = 4

y = 4y = 6

Так как нужно найти больший катет, то беремy = 6.

BC = 2 + 6 = 8 м

Ответ:BС = 8 м.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/99040-metodicheskoe-posobie-po-resheniju-zadach-ugl