Числа в музыке

Тема: Числа в музыке

Бекеева Алма Каиргалиевна

Преподователь математики и информатики

Музыкальный колледж им. Курмангазы

Западно-Казахстанская область, г. Уральск

Музыка - это радость души, которая вычисляет, сама того не замечая.

Г. Лейбниц

Если что есть приятное в музыке, говорит анонимный автор средневекового трактата, то это от числа зависит; то же и в ритмах, как музыкальных, так и иных. Звуки быстро проходят, числа же, телесным существом звуков и движений украшенные, останутся".

Математика и музыка - два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства».Генрих Нейгауз

«Музыка – величайшая сила. Она может заставить человека любить и ненавидеть, прощать и убивать». Пифагор

В основе музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита.

Известно открытие Пифагора в области теории музыки. Необычность его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Монохорд

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд - полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Архит428 -365 до н.э.

Архит родился в г. Таренте, был учеником пифагорейца Филолая, который сумел внушить ему интерес к научным проблемам своей школы. Судьба Архита сложилась счастливо: он семь раз избирался стратегом, при этом, как полководец, не проиграл ни одного сражения. Но самое главное он был разносторонним учёным, механиком, математиком. Он много занимался арифметикой натуральных чисел, далеко продвинул теорию несоизмеримых величин. Архит считается самым крупным теоретиком музыки античности.

Основой музыкальной шкалы - гаммы пифагорейцев был интервал - октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим.

1.Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l. f= a / l, (а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны).

2. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n/(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

Эти интервалы – «совершенные консонансы», и их интервальные коэффициенты получили названия:

Октава l₂/l₁ =1/2 Квинта l₂/l₁ =2/3 Кварта l₂/l₁ =3/4

Деление струны монохорда на части, образующие с ней совершенные консонансы

Квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l₁ и октавы l₂

l₃ =2l₁l₂/(l₁+l₂)

Октава есть произведение квинты на кварту илиl₂/l₃ = l₄/l₁

Кварта есть среднее арифметическое длин струн основного тона l₁ и октавы l₂

l₄ = (l₁+l₂)/2

Звуки

Частоты

Построение музыкальной гаммы обладает такой особенностью: двигаясь по квинтам вверх и вниз, не получится точного октавного повторения исходного звука. Лишь 12 квинт приближенно равны 7 октавам, а разделяющий их интервал называется пифагоровой коммой. Несмотря на свою малость, пифагорова комма на протяжении столетий "резала ухо" музыкантам. Взяв отношение (3/2)12:27, можно найти численное значение пифагоровой коммы (1,0136).

Простой математический анализ многих музыкальных шедевров позволяет совершенно иными глазами взглянуть на них, увидеть их скрытую внутреннюю математическую красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение.

При взгляде на математические схемы музыкальных произведений… невольно приходишь в священный трепет перед гениальностью мастера, воплотившего силой художественной чуткости до такой степени точности законы природного творчества.Розенов

Гармоническая пропорция

Три числа образуют гармоническую пропорцию, если обратные им числа удовлетворяют непрерывной арифметической пропорции. Оказывается, длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн образуют непрерывную арифметическую пропорцию. Следовательно, числа предшествуют гармонии, так как их неизменные законы управляют всеми гармоническими пропорциями. Пифагорейский музыкальный строй, определивший на столетия судьбу европейской музыки, это математика.

Принцип золотого сечениия в музыке

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. По мнению Л.Мазеля, число подобных восьмитактов необычайно велико. Их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.

Интервалы и гармонии сфер

В пифагорейской концепции музыки сфер интервал между Землей и сферой неподвижных звезд рассматривался в качестве диапазона - наиболее совершенного гармонического интервала. Наиболее принятым порядком музыкальных интервалов планет между сферой Земли и сферой неподвижных звезд является такой: от сферы Земли до сферы Луны - один тон; от сферы Луны до сферы Меркурия - полтона; от Меркурия до Венеры - полтона; от Венеры до Солнца - полтора тона; от Солнца до Марса - один тон; от Марса до Юпитера - полтона; от Юпитера до Сатурна - полтона; от Сатурна до неподвижных звезд - полтона. Сумма этих интервалов равна шести тонам октавы.

Итак, гармония космоса была воплощена пифагорейцами в сфере музыки. Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи. В первой половине XVII в. И.Кеплер установил семь основных гармонических интервалов: октаву - 2/1, большую сексту - 5/3, малую сексту - 8/5, чистую квинту - 3/2, чистую кварту - 4/3, большую терцию - 5/4 и малую терцию - 6/5. С помощью этих интервалов он выводит весь звукоряд как мажорного, так и минорного наклонения. После долгих поисков гармоничных отношений "на небе", проделав огромную вычислительную работу, И.Кеплер установил, что отношения экстремальных углов скоростей для некоторых планет близки к гармоническим: Марс - 3/2, Юпитер - 6/5, Сатурн - 5/4.

Нумерология, музыка и цветовая гамма

Между музыкой и числом рождения также существует вполне определенная связь, которую изучает нумерология.

Поскольку Пифагор не оставил после себя рукописей, средние века уловили только эхо его учения. Но этого было достаточно для того, чтобы числа вновь обрели не только математический смысл, и возникла наука об их магическом значении - нумерология. Когда в XV веке в Европе вошли в обиход так называемые арабские числа (которыми мы пользуемся и поныне), связь между числами и буквами стала менее явной, а наука ещё более тайной.

Обрывки средневековой нумерологии долетели до наших дней. В современном варианте она больше напоминает игру. Можно, например, взять и высчитать число своего имени. Хотя наш теперешний алфавит не относится к тому, где буквы и цифры обозначались одинаково (в древнерусском языке так было), для русских букв тоже существуют числовые эквиваленты.

Возьмём, например, имя Фёкла. Букве "Ф" соответствует в таблице число 4; букве "ё" - 7; "к" - 3; "л" - 4; "а" - 1. Складываем: 4+7+3+4+1=19. Эта сумма не укладывается в ряд простых чисел. Поэтому складываем ещё единицу и девятку. Получаем 10. 1+0=1. Стало быть, число имени Фёкла - единица. Согласно науке о числах, его должна носить энергичная особа с далеко идущими планами.

Подобную процедуру можно проделать с любым именем.

Имя с точки зрения нумерологии - это не просто то, на что мы откликаемся. Это волшебный набор звуков, который либо помогает человеку жить (если имя соответствует характеру), либо мешает, если имя выбрано неправильно. Иногда бывает, что под собственным именем не удаётся добиться намеченной цели. Тогда выбирают псевдоним. Как правило, это делается без оглядки на Пифагора. Но если рассмотреть псевдонимы в нумерологическом ракурсе, получаются интересные вещи. Скажем, Анна Горенко с числом имени 2 могла бы просто быть человеком с неуравновешенным характером и писать стихи "в стол". Но она, начиная свой путь в поэзии, взяла себе псевдоним Ахматова. Обсчитав имя Анна Ахматова, получаем 12. 1+2=3. Тройка у пифагорейцев - число гармонии и мудрости, за которые и ценят стихи Ахматовой.

1- число человека, который "сам себе режиссёр". Ему нужно много и желательно - сразу. Ради этого он готов действовать (а думает иногда уже потом). Поскольку единицу в нумерологии обычно "добывают" из десятки, совершенного числа пифагорейцев (1+0=1), такой человек не любит, когда ему возражают, а любит, когда его считают важной персоной. Имя или псевдоним, соответствующие единице, хорошо выбирать в тех случаях, когда надо быстро достичь намеченной цели. Окружающие, называя тебя таким именем, хотят видеть в тебе личность энергичную и на многое способную. Если у тебя совсем другой характер, вряд ли ты будешь любить этот вариант своего имени.

2- число созерцателя. Потому что, когда не можешь выбрать из двух, проще не выбирать ничего. Для того чтобы человек с соответствующим именем узрел смысл в деятельности, ему надо противопоставить что-нибудь во внешнем мире, какой-нибудь кнут или пряник. Двойка как число имени вовсе не означает, что он будет получать двойки, но если уж получит, то не станет исправлять, если не посулить ему нечто приятное, или не пригрозить, скажем, гневом директора школы.

3- число человека, желающего "вписаться" в коллектив. Оно указывает на способность соответствовать. Тот, кто стремится к популярности, может попытаться подобрать себе псевдоним, число которого - тройка. 3 - идеально для школьника; пифагорейцы считали его числом знаний.

4 - удобно для домашнего имени или прозвища, типа "птичка", "зайчик", а также просто "заяц". Человеку с числом имени 4 милы четыре угла его родной комнаты. Четвёрка намекает на солидность натуры и нежелание рисковать.

5 - подходит человеку, который способен творчески преобразовывать окружающую действительность и даже отчасти её создавать. Когда-то знаменитый клоун Юрий Никулин (обладатель именно такого числа имени) жонглировал на арене яблоками, поочерёдно откусывая от каждого по кусочку и, в конце концов, съедая свой "реквизит". Как человек творческий, он даже в столь обычном деле, как поедание яблок, усмотрел возможность придумать остроумный цирковой номер. Впрочем, пятёрка сгодится и для эгоиста, который считает, что весь мир - для него одного.

6 - число человека, обладающего чувством меры. Он не берётся не за своё дело. Он честно работает, не требуя взамен больше того, что ему причитается. Проникая в твою жизнь под видом числа домашнего имени или прозвища, шестёрка может служить намёком на то, что тебя призывают к бескорыстному созидательному труду. Не исключено, впрочем, что в тебе видят идеал: Пифагор считал число 6 совершенным числом. Наталья Николаевна Гончарова, чью красоту современники считали совершенной, прославилась под именем Натали, число которого - 6.

7- подойдёт тому, кто хочет выделиться из толпы своей оригинальностью (или просто обращать на себя внимание, сам того не желая). Возможности у него большие, но и испытания могут быть не меньше. Кроме того, семёрка похожа на качели: с одной стороны тройка и с другой стороны тройка, а между ними - единица: 3+1+3=7. Опытный в обращении с качелями человек знает, что качаться на них в одиночку хорошо тогда, когда стоишь на середине, то есть соблюдаешь равновесие. Если же вспрыгнуть с краю, то для плавности движения понадобится кто-то ещё, второй. Чтобы чувствовать себя самостоятельным, человеку с числом имени 7 надо стараться избегать перекосов.

8- к лицу тому, кто любит делать ремонт, или переставлять мебель в целях обновления жизни. Восьмёрка неплоха также для бизнесмена или для того, кто желает приобщаться к тайнам, будь то любитель детективов или поклонник астрологии. Но ему придётся постоянно помнить о "законе бумеранга": сколько хорошего или дурного посылаешь в пространство, столько же получаешь в ответ: 8=4+4. Остальным может казаться странным такой вариант своего имени, который в сумме образует восьмёрку.

9 - может относиться к тому, кто талантлив, но не развивает свой талант, ссылаясь на неблагоприятные обстоятельства, - или, наоборот, развивает его вопреки всему. Девять - это 3+3+3. Страшно даже подумать, какое количество знаний способен вобрать в себя человек, обладающий таким числом имени!

*Люди числа 1, как правило, предпочитают маршевую, воодушевляющую музыку. Она, как никакая другая, соответствует их личности.

*Люди, родившиеся под числами 2 и 7, предпочитают легкие духовые инструменты, такие как флейта, кларнет, волынка, а так же звучание струйных инструментов — скрипки, виолончели, арфы, гитары.

*Люди чисел 3 и 9, как и люди числа 1, предпочитают, как правило, энергичную, бравурную музыку маршевого характера.

*Люди чисел 4 и 8, если у них есть вообще музыкальные способности или склонность к музыке, тяготеют к органу и часто бывают отличными хоровыми певцами, но в их музыке всегда на зад нем плане присутствуют меланхолические нотки, религиозный пыл или фанатизм.

* Люди числа 5 склонны или к чрезвычайно оригинальной, или необычной музыке, лежащей вне разработанных музыкальных традиций.

*Люди числа 6 любят романтическую, нежную музыку всех видов, имеющую мелодию и ритм.

В 1665 году И. Ньютон, занимаясь изучением солнечного света, разложил его с помощью призмы и получил цветовую дорожку. Именно он сравнил синусы углов преломления выделенных им семи цветов с отношениями семи тонов в октаве. По Ньютону, нота «до» — красная, «ре» — фиолетовая, «ми» — синяя, «фа» — голубая, «соль» — зеленая, «ля» — желтая, «си» — оранжевая. Такой подход явно чисто механический, но он дает уже точное установление высоты, или темперацию цветового ряда. Однако многие, в том числе Гёте и Бюффон, не соглашались с концепцией Ньютона. Они считали его аналогии случайными, и утверждали, что и в самой природе, и для человеческих opганов чувств звук и свет выступают как независимые явления. Тем не менее, после того как А. Кирхер изобрел первый в мире проекционный аппарат, включающий источник света, диапозитив, оптическую систему и экран, идея аналогии цвета и звука была воспринята современниками и последователями.

До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя, а еще - своеобразная тайна чисел, постичь которую порой невозможно. Слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом...

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/114451-chisla-v-muzyke