Разбор сложных задач ЕГЭ по алгебре: квадратные уравнения, параметры и графики функций

Вариант 1.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где t – время в секундах, амплитуда U₀=2В, частота , фаза . Датчик настроен так, что еcли напряжение в нём не ниже 1В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C=510^-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлениемR=210⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀=18кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значенияU (кВ) за время (в секундах), определяемое выражением , где а=1,1 – постоянная. Определите (в киловольтах) наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 11с.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 40см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 40 до 65см, а расстояниеd₂ от линзы до экрана – в пределах от 170 до 200 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, сила Архимеда, действующая на аппарат, будет определяться по формуле: , где р=1000кг/м³ – плотность воды, l – линейный размер аппарат в метрах, а g – ускорение свободного падения (считайте g=9,8м/с²). Каковы могут быть максимальные линейные размеры аппарата, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не будет превосходить 1225Н? Ответ выразите в метрах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h – высота в метрах, t – время в сутках, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где m- масса воды в килограммах, v – скорость движения ведёрка в м/с, L – длина верёвки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте g=10м/с²). С какой минимальной скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 0,784м? Ответ выразите в м/с.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где t – время (в секундах), прошедшее с момента открытия крана, Н₀=20м – начальная высота столба воды, - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g – ускорение свободного падения (считайте g=10 мс²) Через несколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма?

При адиабатическом сжатии поршень резко сжимает газ в сосуде, при этом объём и давление газа связаны соотношением , где р (атм.) – давление в газе, V– объём газа в литрах. Начальное давление газа в сосуде составляло 19,2 литра. Газ сжали до 0,6л, при этом его давление составило 102,4 атмосферы. Каким было первоначальное давление газа (в атмосферах)?

Вариант 2.

Для обогрева помещения, температура в котором T_n=20^oC , через радиатор пропускают горячую воду температурой T_в=100^oC . Через радиатор проходит m=0,4кг/с воды. Проходя по радиатору расстояние х=84м, вода охлаждается до температурыТ (⁰С), причём
, где - теплоёмкость воды, - коэффициент теплообмена, а а=0,7 – постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода?

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону , где m₀– начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начала распада,Т – период полураспада в часах. В лаборатории получили вещество, содержащее m₀=80мкг изотопа натрия-24, период полураспада которого Т=15ч. В течение скольких часов масса изотопа натрия-24 будет не меньше 10мкг?

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f₀=590 Гц . Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону , где с – скорость звука в воздухе (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с=300м/с. Ответ выразите в м/с.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанный с машиной, описывается формулой , где ,- постоянные параметры, х(м) – смещение камня по горизонтали, у (м) – высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

При температуре 0⁰С рельс имеет длину l₀=15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону

, где a=1,210^-5 - коэффициент теплового расширения,t⁰ – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4,5мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

6Для определения эффективной температуры звёзд используется закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела Р, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: , где - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, температура Т – в градусах Кельвина, а мощность Р – в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности , а излучаемая ею мощность Р не менее 2,2810²⁵ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

7.При адиабатическом сжатии поршень резко сжимает газ в сосуде, при этом объём и давление газа связаны соотношением , где р (атм.) – давление в газе, V – объём газа в литрах. Начальное давление газа в сосуде составляло 0,7 атмосферы. Газ сжали до объёма 2,2л, при этом его давление составило 89,6 атмосферы. Какой объём в литрах занимал газ перед началом сжатия?.

8.Два тела массой m=10кг каждое, движутся с одинаковой скоростью =5 м/с под углом 2 друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется уравнением: Q=mv²sin² .Под каким наименьшим углом 2 (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 250 джоулей?