Проектирование многоуровневой системы задач с параметром для работы в 8 классе

Построение матричной модели многоуровневых систем задач с параметром

для работы в 8 классе

Основные методы решения задач с параметрами:

Аналитический - способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры решения в задачах.

Графический - при решении данным способом рассматриваются графики в координатных плоскостях (х,у) или ( х,а).

Решение задач относительно параметра. Переменные «х» и параметр «а» принимаются равноправными, и выбирается переменная, относительно которой аналитическое решения признается более простым.

Тема 1 Линейные уравнения, неравенства и их системы

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами:ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра (КЗП) является то, при котором:

обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

значение параметра, при котором уравнение (неравенство теряет смысл)

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен контрольному значению и отличен от него.

Особым значением параметраа является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0

является контрольным значением параметра b.

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Решение линейных уравнений с параметром

ЗЗ.Решить уравнение ах=1.

Решение:

Решить уравнение с параметром – значит, для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений уравнения.

1.Если а≠0, то х=1/а.

2. Если а=0, то данное уравнение решений не имеет.

Ответ: при а=0 решений нет;

при а≠ 0,  х=1/а.

МЗ. Для каждого значения параметра а решить уравнение

(а² – 1)х = а +1.

1. Контрольное значение параметра а: а=±1.

2. Если а =1, то  уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений.

3. Если а = - 1, то  уравнение принимает вид 0х = 0, и тогда х - любое действительное число.

4. Если  а ≠ ± 1 и уравнение имеет единственное решение  х=

Ответ: при a=-1, хϵ R

при a=1решений нет;

при a ϵ (-∞; -1) х= .

НЗ. Найти все значения параметра а, при которых уравнениеимеет единственное решение

Удобно воспользоваться графической иллюстрацией на координатной плоскости (X0Y). Графиком функции является подвижный «уголок», расположенный в верхней полуплоскости, вершина которого скользит по оси абсцисс. График функции - неподвижный «уголок» с вершиной в точке (-3;-1), пересекающий ось 0X в точках (-4; 0) и (-2;0), ось 0Y – в точке (0;2)

Уравнение имеет единственное решение, если вершина подвижного «уголка» попадает в точку А(-4;0) или В(-2;0). Так как координаты точек А и В удовлетворяют уравнению , то или, откуда а=-8 или а= -4

Ответ: а= - 8 или а= - 4

Решение линейных неравенств с параметром

Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами.

Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.

ЗЗ.Для всех значений параметра a решить неравенство 3(4а-x)

12а-3х 2ах+3;

12а-3 2ах+3х;

х(2а+3) 12а-3.

Контрольное значение параметра а=-1,5

1) если а=-1,5, то неравенство примет вид 0 х -21, х R;

2) если а -1,5, х ;

3) если а -1,5, х

Ответ: при а

при а

при а=-1,5, х

МЗ.Решить неравенство при а ≠ 1.

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

–a;

;

;

Исследуем возможные случаи для параметра а:

1) при. Тогда

2) при

3) при a=0,a≠1,x-любое действительное число.

Ответ: при а (-∞; 0) (1; +∞),

при а (0; 1),

при при a=0,a≠1,x

НЗ.Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.

Решение.

Из условия следует, что правая часть неравенства ах ≥ 0.

По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство

-ах ≤ 1 + x ≤ аx.

Перепишем результат в виде системы:

.

Преобразуем к виду:

Контрольные значения параметра: 0;1;-1.

Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1):

а – 1 __ __ __+

а + 1 __ + + +

а

-1 0 1

Рис.1

1. Если а

( т.к.

2.Если -1 < а < 0, тогда

.

3. Если 0 0

( т.к. – , решений нет.

4. Если а , тогда 0

5. Если а=0,тогда система примет вид

6. Если a=-1, тогда система примет вид

7. Если а=1, тогда система примет вид решений нет.

Ответ: при а

при а );

при ;

при а ,

при а=0, х=-1;

при а=-1,

Системы  двух  линейных  уравнений  с  параметрами

   Система  уравнений       

Решениями  системы двух  линейных  уравнений являются точки пересечения двух прямых:    и     . 

 Возможны 3 случая: 

 1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е.      .  В этом случае система имеет единственное решение.  

 2.  Прямые параллельны и не совпадают.  Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны,  т.е.        .   

   В этом случае система решений не имеет .  

 3.  Прямые  совпадают.  Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают,  т.е.      .  В этом случае система имеет бесконечно много решений

ЗЗ.При каком значении  параметра   а   система  уравнений не имеет решений?    

Решение.  Система не имеет решений, если    .   

Т.е.   .

Ответ.   

МЗ. При всех значениях параметров а и b решить систему:

Выразим из первого уравнения х через а и у, получим систему, равносильную данной:

Контрольное значение параметра: ав=-1 .

1. Если ав≠-1, тогда система имеет единственное решение у =; х= a+ /

2. Если ab=-1,

3. Если ab=-1,

или

Ответ: при ab=-1,a=1,x=1-y,

при ab=-1,a=-1,x=-1+y,

при ab=-1,a≠±1, решений нет;

при ab≠-1, у =; х= a+ .

НЗ.  При всех значениях параметра  а  решить систему уравнений: 

Решение.  Система равносильна совокупности двух систем: 

Прямые параллельны, если      . 

  При этом прямые не совпадают, поэтому при        решений нет.

Если    ,  то выражая     из второго уравнения и подставляя в первое,

Ответ: при        решений нет;

при , (

Тема 2 Функции и графики

Решение задач с параметром по теме «Функции и графики»

Линейная функция

МЗ. График функции 3х + ву = с проходит через точки А(15; -7), В(-6; 2). Чему равны значения в и с

Решение. <= >

Ответ: при в=7, с=-4.

НЗ. При каком значении а графики функций 3х +5у=10 и 2х +ау=6 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?

Решение. Графики функций пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат, значит эта точка имеет координаты (0;у). Составим уравнение и выразим у.

3х +5у - 10=2х +ау-6

3х +5у – 10-2х –ау+6=0

х+(5-а)у=4

у=

Так как х=0, то у=

Приа=5, точки пересечения нет

Приа≠5, точка пересечения имеет координаты (0; )

Ответ: При а≠5, точка пересечения имеет координаты (0; )

Квадратичная функция

МЗ При каких значениях р парабола y=px²-4x+3 не имеет с осью Ох ни одной общей точки.

Решение:

Для того, чтобы парабола y=px²-4x+3 не имела с Ох ни одной общей точки,D <0.

D =16-12р<0, 16-12р<0

-12р<-16

р>4/3

Ответ: При р>4/3 парабола y=px²-4x+3 не имеет с осью Ох ни одной общей точки.

НЗ. При каких отрицательных значениях к прямая у = кх + 5 имеет с параболой y=x²-4x+14 единственную общую точку.

РЕШЕНИЕ:

Прямаяy=kx+5 имеет с параболой y=x²-4x+14 единственную общую точку тогда и только тогда, когда уравнение x²-4x+14=kx+5 имеет один корень.

х²-4x+14= kx+5

x²-4x+14-kx-5=0

x²-4x-kx+9=0

x^2-(4+к) х+9=0

Д= (4+к)²-4*9=16+8к+к²-36=к²+8к-20

к²+8к-20=0

Д= 144

К₁=2

К₂=-10

Ответ: при К=-10 прямая y=kx+5 имеет с параболой y=x²-4x+14 единственную общую точку.

Тема 3 Квадратные уравнения и неравенства

Параметрической величиной может стать любой из коэффициентов уравнения: а, в или с. Найти корни квадратного трехчлена для всякого из значений параметра – значит решить квадратное уравнение =0, перебрав каждое из возможных значений нефиксированной величины.

Назовем контрольными значениями параметра (КЗП) те его значения, при которых обращается в нуль: 1) старший коэффициент в уравнении или неравенстве; 2) знаменатель дроби; 3) дискриминант квадратного уравнения.

Если в уравнении =0 является параметром старший коэффициент а, то оно будет квадратным лишь тогда, когда а ≠0. При а =0 оно вырождается в линейное уравнение =0, имеющее один корень: x=-с/в. Поэтому проверка условия а ≠0, а =0 должна идти первым пунктом.

Квадратное уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте

D=в²-4ас. При D>0 оно имеет два различных корня, при D=0 только один. Наконец, если D<0 – корней нет.

Часто для решения задач с параметрами применяется теорема Виета. Если квадратное уравнение =0 имеет корни х₁ и x₂, то для них верна система: х₁+ x₂=-в/а, х₁· x₂=с/а. Квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице, называется приведенным: x²+т·x+п=0. Для него теорема Виета имеет упрощенный вид: х₁+ x₂=-т, х₁· x₂=п. Стоит отметить, что теорема Виета верна при наличии как одного, так и двух корней.

Те же корни, найденные с помощью теоремы Виета, можно подставить обратно в запись уравнения: x²-( х₁+ x₂)·x+ х₁· x₂=0. Не путать: здесь x - переменная, х₁ и x₂- конкретные числа.

Часто помогает при решении метод разложения на множители. Пусть уравнение=0 имеет корни х₁ и x₂. Тогда верно тождество =а(x- х₁)·(x- x₂). Если корень единственный, то можно просто сказать, что х₁= x₂, и тогда =а·(x- х₁)².

Решение квадратных уравнений с параметрами

А. Корни квадратного уравнения 

ЗЗ.Решить уравнение x² - (2p + 1)x + (p² +p - 2) = 0.

Решение.

В данном квадратном уравнении в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами.

Найдем дискриминант:

D = (2p + 1)² - 4(p² + p - 2) = (4p² + 4p + 1) - (4p² + 4p - 8) = 9

Далее

Ответ: p + 2; p - 1.

МЗ. Решить уравнение px² + (1 – p)x – 1 = 0.

Решение.

Это также уравнение с параметром p, но, в отличие от задачи базового уровня, его нельзя сразу решать по формулам нахождения корней квадратного уравнения. Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг p = 0? Тогда уравнение примет вид

0 * x² + (1 – 0)x – 1 = 0,

т.е. x – 1 = 0, откуда получаем: x = 1. Вот если точно известно, что p ≠ 0, то можно применять формулы корней квадратного уравнения:

x_1;2 = = = =

Ответ: если p = 0 или p = -1, то x = 1; если p ≠ 0 и p ≠ -1, то x₁ = 1, x₂ = - 1/p.

НЗ. Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения

ах²+x(а+4)+а+1=0 имеется ровно один отрицательный.

Решение.

1. При а=0 уравнение линейное 4х+1=0 х=- - удовлетворяет условию задачи.

2. Приа≠0 D=b²-4ac=(a+4)²-4a(a+1)=a²+8a+16-4a²-4a=-3a²+4a+16;

а) D=0-3a²+4a+16=0;3a²-4a-16=0;

a= = = .

Пусть, а= ,тогда х=

Пусть a= ,тогда х= - удовлетворяет условию задачи.

б) Уравнение имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда

ас<0, т.е. <0,a(-1;0).

в) Один из корней равен нулю, если c=0т.е.a+1=0, a=-1, тогда

-x²+3x=0, x²-3x=0,x(x-3)=0.

x₂=3- не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:(-1;0) .

Б. Соотношения между корнями квадратного уравнения. Теорема Виета

ЗЗ. При каких а сумма квадратов корней уравнения х² – 9х +а=0 равна 21?

Решение. Если х₁ и х₂ – корни уравнения, то по теореме Виетах₁ + х₂=9,х₁ х₂=а их₁²+ х₂²=

(х₁ + х₂₎² - 2 х₁ х₂=81 – 2а. Решая уравнение 81 – 2а=21, получаем а=30. Однако нельзя считать, что задача решена полностью. Надо обязательно выяснить, при каких а существуют корни уравнения. Из неравенства D ≥ 0 <=> 81 – 4а ≥ 0 следует, чтоа ≤ 20 . Так как а=30 ( ; 20 ), то .

Ответ. Значений а, удовлетворяющих условию задачи нет.

МЗ. При каких а разность корней уравнения х² – 2ах – 8 =0 равна 6?

Решение.

1 способ. Находим корни уравнения:х_1,2= - а . Вычитая из большего корня меньший, имеем х₁ - х₂ =(- а ) – (- а =2 . Решая уравнение 2 = 6, а=

2 способ. D₁= уравнение имеет 2 корня. По теореме Виета х₁ + х₂=-2а, х₁ х₂=-8. Пусть х₂> х_1.

Тогда (х₁ + х₂₎²=4а², (х₁ - х₂₎²=(х₁+ х₂₎²- 4 х₁ х₂=4а² + 32, откуда х₂ - х₁ = 2 . Далее завершается так же, как в первом способе.

НЗ. При каких значениях а оба корня уравнения х² – ах +2 = 0 лежат на интервале (0;3)?

Решение:

Ответ:.

Решение квадратных неравенств с параметрами

ЗЗ .Решить неравенство х² + 2ах + 4>0

Решение. D = 4(а² – 4).

ЕслиD < 0 (а² – 4<0 <= > а ),то неравенство справедливо для всех действительных х.

Если D> 0 (а² – 4 >0<=> а ) то корни трехчлена х_1,2= - а .

и множество решений неравенства х(- - а ) ( - а

Если D= 0, то а = ±2. При а = -2 х ),при а = 2 х ),

Ответ: При │а│< 2 х – любое действительное число;

При │а│≥ 2 х(- - а ) ( - а

МЗ.Решить неравенство х² – 2(а + 2)х + 4а< 0

Решение. Корни квадратного трехчлена х_1,2= а = (а +1) (а – 1). Пусть

х₁ = 2а, х₂ = 2

Рассмотрим следующие случаи:

х₁ = х₂, <=> а = 1.Неравенство х² - 4х + 4<0 <=> (х – 2)²<0 решений не имеет.

х₁ < х₂<=> а < 1.Множество решений неравенства х

х₂ < х₁<=> а >1. Множество решений неравенствах

Ответ: При а < 1.Множество решений неравенства х ;

при а > 1.Множество решений неравенства х

приа = 1 неравенство решений не имеет.

НЗ. Решить неравенствох² + 5ах + а²+ 3а +2 + ≤0.

Решение. Установим прежде всего ОДЗ переменных: .

Ограничения на а определим из условия <=> <=> (а – 1)²

Поэтому а=1.

Тогда данное неравенство принимает вид х²+5х +6 и без труда решается: х

Ответ: При а≠1 решений нет; при а = 1 х

Тема 4 Дробно-рациональные уравнения

Дробно рациональным называется уравнение, которое содержит кроме многочленов еще и дробно рациональные функции. В процессе решения его при помощи приведения к общему знаменателю оно заменяется целым алгебраическим уравнением. То есть решение дробно рационального уравнения в итоге сводится к решению линейного или квадратного. Главной особенностью является то, что целое уравнение по отношению к исходному является следствием и может иметь посторонние корни

Алгоритм решения:

Найти ОДЗ

Решить целое рациональное уравнение

Исключить те значения параметра, при которых найденные корни являютяс посторонними

Сформулировать ответ

Назовем контрольными значениями параметра (КЗП) те его значения, при которых обращается в нуль: 1) старший коэффициент в уравнении или неравенстве; 2) знаменатель дроби; 3) при которых уравнение теряет смысл.

ЗЗ. Для каждогоа решить уравнение

Решение. КЗП а=7, ОДЗ х≠7

При а=7 имеем , х=6 (входит в ОДЗ)

При а≠7 имеем , х=а, х=6

Ответ При а=7, х=6

При а≠7, х=а, х=6

МЗ При каком а уравнения и х-1 =0 равносильны?

Решение . 1) Решим первое уравнение КЗП а=1

При а=1 уравнение не имеет решений

При а≠1 х=1

2) Решим 2 уравнение. х=1

Ответ. Уравнения равносильны при а≠1.

НЗ Решим уравнение

(4)

 Р е ш е н и е. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х²+2 (1 — а) х +а² — 2а — 3=0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

= (1 — a)² — (a² — 2а — 3) = 4.

Находим корни уравнения (5):

х₁ =а + 1, х₂ = а — 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х₁+1=0,х₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

Если х₁+1=0, т. е. (а+1)+1=0, тоа= — 2. Таким образом, при а= — 2 х₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х₁+2=0, т. е. (а+1)+2=0, тоа= — 3. Таким образом, при а= —3 x₁ — посторонний корень уравнения (4).

Если х₂+1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х₂ — посторонний корень уравнения (4)'.

Если х₂+2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х₂ — посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

В соответствии с этой иллюстрацией приа= — 3 получаем х= — 3 — 3= — 6;

при a= — 2 х= — 2 — 3= — 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3.

Итак, можно записать

От в ет: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= — 2, то х= — 5; 3) еслиa=0, то корней нет; 4) если a= l, тох=2; 5) если а=2, то х=3;

6 ) если а≠ -3 ;

а≠ -2 ;

а≠ 0 ; то х₁ = а + 1, х₂ = а – 3.

а≠ 1 ;

а≠ 2,

Литература

Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 12-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2010.

П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 2007 год

В. Локоть. Задачи с параметрами: иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. —М.: АРКТИ, 2004.—64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов/ Под ред. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – М.: Илекса, 2007, - 320с.

Проблемы реализации ФГОС при обучении математике в основной и старшей общеобразовательной школе: монография / коллектив авторов: Иванюк М.Е., Липилина В.В., Максютин А.А. – Самара: изд-во ООО «Порто-принт», 2014 – 328 с.

Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. Серия «Математика. Проверь себя». – М.: ООО «Русское слово – учебная книга», 2003.