Исследовательская работа по теме: «Эффективность использования нестандартных способов вычислений в обучении школьников». 5 класс

Казеева Светлана Владимировна

МБОУ СОШ №8

учитель математики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №8

Районная научно-практическая конференция

Донская академия наук юных исследователей

Автор:

Ерофицкая Светлана Ивановна,

учащаяся 5 «А» класса МБОУ СОШ №8

г.Красный Сулин Ростовскойобласти.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Эффективность использования

нестандартных способов вычислений

в обучении школьников

секция «Математика»

Руководитель: Казеева Светлана Владимировна,

учитель математикиМБОУ СОШ №8.

Адрес:346 361 Ростовская область,

г. Красный Сулин , ул.Чкалова, 19.

0000-0000 уч. год

г. Красный Сулин

Содержание

Введение

К арифметическим действиям мы привыкли настолько, что выполняем их автоматически, почти не думая о том, что мы делаем. Ведь в повседневной жизни человеку невозможно обойтись без вычислений. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными способами, которые изучаются в современной школе. Оказывается, процесс выполнения действия может быть не только важным, но и интересным занятием.

В истории математики есть много интересных событий и открытий, информация о которых не всегда доходит до нас, современных учеников. Однако, именно знания о различных нестандартных способах счета, возможно, помогут нам сберечь труд и сократить время вычислений.

Как оценить, сколько вычислительной работы сберегаем мы, пользуясь привычными или нестандартными способами вычислений? На этот вопрос предстоит нам ответить, исследуя историю развития чисел и счета.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике, содействует развитию математических способностей, так как мало кто из современных школьников знаком с различными приемами быстрого счета.

Объектомисследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Цель: выявить эффективность использования нестандартных приемов вычислений при обучении математике современных школьников.

Задачи:

раскрыть историю возникновения счета;

рассмотреть некоторые нестандартные приемы вычислений и опытно-экспериментальным путем показать преимущества их использования;

научиться применять необычные способы вычислений, помогающие развить скорость вычислений.

Распространить знания о необычных приемах вычислений среди школьников.

Гипотезой исследования является следующее предположение о том, что если изучить некоторые приемы быстрого счета и научиться применять необычные способы вычислений, то это поможет быстро выполнять арифметические действия и развить скорость вычислений.

В процессе работы были использованы следующие методы исследования:

теоретический (теоретический анализ исторических источников и печатных изданий по изучаемой теме);

эмпирический(опрос, беседа, эксперимент по применению приемов);

практический метод (выполнение вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета);

математический метод обработки и представления изученных данных.

Практическая значимость. Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях математического кружка в качестве дополнительного материала с целью появления заинтересованности к учебному предмету и пробуждения желания к изучению математики у школьников, а также для расширения их математического кругозора.

Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений.

ГлаваI. История счета

Зарождение счета.

История вычислений уходит глубокими корнями в даль веков так же, как и развитие человечества. Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Судить о первых шагах арифметики мы можем только по догадкам.

Накопление запасов, делёж добычи, обмен — все подобные действия связаны со счётом. Для подсчёта люди использовали собственные пальцы, камешки, палочки и узелки. Потребность в поиске решений всё более и более сложных задач, и, как следствие, все более сложных и длительных вычислений, поставила человека перед необходимостью находить способы, изобретать приспособления, которые могли бы ему в этом помочь. Таким образом, запросы практической деятельности человека были двигателем развития счета.

Исторически сложилось так, что в разных странах возникли собственные денежные единицы, меры веса, длины, объёмов и расстояний. Для перевода из одной системы измерения в другую требовались вычисления, которые чаще всего могли производить специально обученные люди, которых иногда приглашали из других стран. Это естественно привело к созданию изобретений, помогающих счёту.

1.2.Счетно-решающие средства до появления ЭВМ.

Одним из первых устройств (VI—V вв. до н. э.), облегчающих вычисления, можно считать специальную доску для вычислений, названную «абак». Вычисления на ней производились перемещением камешков или костей в углубления досок из бронзы, камня или слоновой кости. Со временем эти доски стали расчерчивать на несколько полос и колонок. В Греции абак существовал уже в V веке до н. э., у японцев он назывался «серобян», у китайцев — «суанпан».

В Древней Руси при счёте применялось устройство, похожее на абак, называемое «русский шот». В XVII веке этот прибор уже обрёл вид привычных русских счёт.

В начале XVII столетия, когда математика стала играть ключевую роль в науке, всё острее ощущалась необходимость в изобретении счётной машины. И в середине века молодой французский математик и физик Блез Паскаль создал «суммирующую» машину, названной Паскалиной, которая кроме сложения выполняла и вычитание.

В 1670—1680 гг. немецкий математик Готфрид Лейбниц конструировал счётную машину, которая выполняла все арифметические действия. В течение следующих двухсот лет было изобретено и построено ещё несколько подобных счётных устройств, которые, однако, из-за своих недостатков, в том числе из-за медлительности в работе, не получили широкого распространения.

В середине 19 века были предложены устройства, ориентированные на серийное производство. В этих устройствах при наборе чисел, над которыми производятся действия (сложение и вычитание), одновременно осуществляется и перенос десятков, но только в соседний разряд.

Наиболее совершенным из подобных приборов явилось устройство, изобретенное петербургским учителем музыки Куммером, предложенное в 1846 г. и серийно выпускавшееся (с различными модификациями) вплоть до 70-х годов XX века. Устройство работало на принципе реек: в прорезь вставляли штифт и передвигали рейку вверх или вниз. При этом в окошках появлялись цифры, нанесенные на поверхность рейки. В определенный момент задевался зубец соседней рейки, которая сдвигалась на одной деление, тем самым в старшем разряде прибавлялась единица.

Прибор вошел в историю вычислительной техники под названием счислителя Куммера. Сама идея была заимствована у Слонимского, однако реализация оказалась настолько удачной, что механиком И.Э. Мильком было начато промышленное производство.

В 1878 году еще один русский ученый П. Чебышёв предложил счётную машину, выполнявшую сложение и вычитание многозначных чисел. Наибольшую популярность получил тогда арифмометр, сконструированный петербургским инженером Однером в 1874 году. Конструкция прибора оказалась весьма удачной, так как позволяла довольно быстро выполнять все четыре арифметических действия.

А в 1892 году был создан прибор для умножения, использующий узкие полоски, закрепленные в футляре в виде записной книжки и передвигающиеся с помощью заостренной палочки. Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей. За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования. Однако, это было не единственное изобретение Непера, повлиявшее на развитие устройств для счета.

В 30-е годы XX столетия в нашей стране был разработан более совершенный арифмометр — «Феликс». Эти счётные устройства использовались несколько десятилетий, став основным техническим средством облегчения человеческого труда.

ГлаваII. Нетрадиционные приемы быстрого счета

Различные методы сложения и вычитания.

Существует огромное множество приемов ускоренного вычисления арифметических действий, предназначенных для бытовых вычислений. Главнейшие из них описаны на русском языке известным французским педагогом Мартелом в книге «Быстрый счет», в брошюре немецкого автора Нейхауза «Тайны быстрых вычислений». Поэтому, мы ограничимся самыми интересными приемами вычислений, которые наиболее удобоприменимы.

СЛОЖЕНИЕ

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ВЫЧИТАНИЕ

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЛА МЕНЬШЕ 100 ИЗ ЧИСЛА БОЛЬШЕ 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме.

134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

2.2.Различные методы умножения и деления.

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2.

Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

деление заканчивается, когда слева появится единица;

вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

Умножение решеткой и палочки Непера

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

В средневековой Европе был широко распространен способ умножения многозначных чисел, известный как “умножение решеткой” или “способ жалюзи”. По-видимому, он был разработан в Индии, но имел применение и в других странах Востока. Этот способ легко уяснить на примере.

Пусть необходимо умножить 456 на 97.

Рисуется табличка из трех столбцов (число 456 — трехзначное) и двух строк (97 — двузначное число), каждая клетка которой разделена диагональю так, как показано на рис. 1:

Рис. 1

Цифры чисел 456 и 97 записываются соответственно над табличкой и справа от нее (см. рис. 2).

Рис. 2

После этого в каждую клетку записывается произведение цифры, стоящей в соответствующем столбце сверху, на цифру в соответствующей строке справа, причем десятки и единицы произведения разделяются упомянутой выше диагональю — рис. 3:

Рис. 3

Теперь можно определить результат умножения. Для этого необходимо просуммировать цифры по наклонным полоскам справа налево, при необходимости перенося “в уме” в соседнюю слева полоску единицу или двойку (см. рис. 4) и записывая эти суммы так, как показано на рис. 4.

Рис. 4

Результат следует читать слева от таблички сверху вниз, а затем под табличкой слева направо – он равен 44 232.

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

Способ умножения решеткой был положен в основу счетного прибора, описанного шотландским математиком Джоном Непером (кстати — изобретателем логарифмов) в 1617 году. Это простой счетный прибор в дальнейшем получил название “палочкиНепера”, “бруски Непера”, “пластины Непера” и т.п.

Прибор представлял собой набор прямоугольных пластин (палочек), в который входили:

– палочки с результатами умножения всех чисел от 0 до 9 на числа от 0 до 9; сверху каждой палочки наносилось число от 0 до 9 (нарис. 5 справа показаны девять таких палочек). Результат умножения на палочках представлен двумя цифрами (в том числе начальным нулем), разделенными наклонной чертой;

– одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк); на рис. 5 она изображена слева.

Рис. 5

Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. На рис. 6 показан пример умножения для числа 4938. Так как в множимом могли быть одинаковые цифры, то необходимо было иметь несколько палочек с каждой цифрой.

Слева прикладывали палочку — указатель строк, по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Для умножения, например, на 3, рассматривались соответствующие строки на палочках с цифрами 4, 9, 3 и 8. Результат умножения определялся следующим образом:

– последняя цифра произведения равна 4 (цифра под чертой в крайней справа палочке);

– остальные цифры определялись суммированием цифр «по наклонной линии»: предпоследняя цифра равна 1 (2 + 9 = 11, единица переходит в старший разряд), следующая справа цифра — 8 (0 + 7, и еще 1 перешло справа), следующая — 4 (2 + 2), первая слева — 1.

Итак, результат равен 14814.

Если множитель являлся многозначным, то результаты, полученные для к аждой строки (для каждой цифры множителя), складывались между собой с учетом порядка разрядов.

Нарис. 6 показан пример умножения числа 4938 на число 385.

Рис. 6

ГлаваIII. Результаты исследования. Выводы.

В большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий, кроме таких, как умножение, сложение, вычитание столбиком и деление «уголком». Это мы проверили, проведя анкетирование среди своих сверстников. На вопрос: «Знаете ли вы старинные способы вычисления арифметических действий?» 100% опрошенных ответили отрицательно. (Приложение №1)

Мы решили проверить, насколько использование интересных старинных способов вычислений может сократить время вычислений. Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность».

Учащимся 5-х классов было предложено один и тот же пример решить двумя способами: обычным арифметическим и нестандартным способом вычисления.

Оказалось, что способ «решетка» потребует от ученика в 1,4 раза меньше элементарных операций, чем умножение столбиком. Ущерба же в правильности результата нет никакого.

Способ «решетка» требует примерно в 1,2 раза меньше времени, чем вычисления по обычным правилам. Но это еще не все.

Каждая лишняя счетная операция, каждый лишний случай сложения или умножения цифр является лишним поводом сделать ошибку. Вероятность ошибиться при умножении способом «решетка» примерно в 1,4 раза меньше, чем при обычном способе. ( Приложение №2)

Значит, сбережение труда и времени при умножении нестандартным

способом «решетка» получается, во всяком случае, больше, чем в 1,2 раза.

Таким образом, знание простых приемов оказывается практически полезным, сберегая труд и время при вычислениях. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений.

Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Изучение данной работы позволяет нам сделать определенные выводы.

Знание упрощенных устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех трудоемких вычислительных процессов.

Работа, проведенная мною, доказывает, что знания простых приемов быстрого счета и их применение особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц или калькулятора.

Заключение

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой мы обнаружили более интересные, быстрые и надежные способы вычислений, которые помогут приобрести полезные навыки быстрого счета. Научившись считать всеми представленными способами, я пришла к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе.

Но среди нестандартных способов вычислений заинтересовал метод «решетка», простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).

Своей работой мы доказали, что наша гипотеза верна. Используя некоторые из простых нестандартных методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении многих школьных предметов.

Эти приемы показывают, как красива математика, если человек открывает тайны ее закономерностей, изучает их и учится применять их на практике.

Список использованной литературы

Апокин И. А., Майстров Л. Е. История вычислительной техники - М., «Наука», 1990.

Глейзер Г.И. История математики в школе IV-VI классах. М.Просвещение 1981г.

Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

Колягина Ю.М. «Поисковые задачи по математике. 4 – 5 классы». – М.: Просвещение, 1979. – 95 с., ил.

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.-72с.

Котов А.Я. «Вечера занимательной арифметики». – М.: Просвещение, 1967. - 160 с.

Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982г.-146с.

Олехник С.Н., Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука, 1985. – 160 с.

Перельман Я.И. Занимательная арифметика.Издание: ОЛМА:2013г.-96с.

Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи. М., Просвещение, 1977г.-80с.

Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004 .

12.http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm

Приложения

Приложение №1

Результаты анкетирования

по теме «Старинные способы выполнения

арифметических действий»

Знаете ли вы старинные способы выполнения арифметических действий?

Приложение №2

Контрольная группа

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/171847-issledovatelskaja-rabota-po-temejeffektivnost