Программно-методическое обеспечение внеурочной деятельности учащихся по математике

Ответ: 1 кучка- 22 спички; 2 кучка- 14 спичек; 3 кучка- 12 спичек.

Дополнительные задачи:

Задача 1:

Трое мужчин пришли к парикмахеру. Побрив первого парикмахера сказал: «Посмотри сколько денег в ящике стало, положи еще столько и возьми 20 рублей сдачи». Тоже сказал парикмахер и второму и третьему. После того как трое ушло, оказалось, что в классе нет денег. Сколько денег было в кассе, перед тем как заплатил первый мужчина?

Решение:

Третий клиент взял 20 рублей и после этого в классе не осталось денег. Значит до него в классе была половина этой суммы, т.е. 10 рублей. Тогда перед тем, как сдачу взял 2-й клиент, в кассе было 30 рублей, половину из которых внес этот клиент, значит до него в кассе было 15 рублей. Эта сумма осталась после того, как 20 рублей взял сдачу в классе было 35 рублей. Но половину этой суммы внес клиент, т.е. первоначально в кассе было 17 рублей 50 копеек.

Ответ: 17 рублей 50 копеек.

Задача 2:

В корзине находятся сливы. Если старшему сыну мать отдаст половину всех слов и еще одну, среднему сыну - половину от оставшегося и еще две сливы, младшему - половину от нового остатка и еще три сливы, то слив в корзине не останется. Сколько слив в корзине .

Ответ: 34 сливы.

Задача 3:

У трех мальчиков есть яблоки. Первый из них отдает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет, в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было первоначально?

Ответ: у 1- го было – 13 яблок; у 2 -го – 7 яблок; у 3- го – 4 яблока.

Задача 4:

В кладовке лежал моток бечевки. Половину взяла мать, чтобы обвязать пачки с макулатурой. Половину того, что осталось взял дед, чтобы подвязать цветы к колышкам. Из того, что осталось, отец взял половину для того чтобы перевязать лыжи, а после дочь взяла оставшегося, чтобы связать веник. Осталось всего - навсего 20 см. Какую длину имела бечевка первоначально?

Ответ: 4 метра.

Занятие 13: защита исследовательских работ «старинные меры длины и веса»

Занятие 14: Задачи на движение

Игра: «Математическая рыбалка»

Решение задач на движение

Задача 1:

Старший браг идет от дома до школы 30 минут, а младший - 40 минут. Через сколько минут старший брат догонит младшего, если тот вы­шел на 5 минут раньше?

Решение:

Обозначим расстояние от дома до школы за 1, тогда скорость старшего брата 1/30, а младшего 1/40. За 5 минут младший брат прошел 5/40 - 1/8 часть пути. "Скорость сближения" братьев 1/30 - 1/40 =1/120. Старший брат догонит младшего через 1/8 : 1/120 = 120/8 = 15минут.

Ответ: через 15 минут.

Задача 2:

Два шарика оттолкнулись друг от друга и покатились по круглому желобу длиной 12 метров. Через сколько секунд они столкнутся, если скорость первого шарика I м/сек, а второго – 0,5 м/сек.

Решение:

Расстояние между шарами 12 метров, их «скорость сближения» 1 + 0,5 = 1,5 м/сек. Встретятся они через 12: 3/2=8 секунд.

Ответ: через 8 секунд.

Задача 3:

Две стрелки насажены на одну ось и в некоторый момент времени совмещены. Одна из стрелок описывает круг за 12 часов, а другая за 16 часов. За какое время стрелки совместятся опять?

Решение:

За один час первая стрелка совершит 1/12 полного оборота, а вторая стрелка 1/16 полного оборота, и отставание второй стрелки составит 1/12 - 1/16 = 1/48 часть оборота. За каждый час вторая стрел­ка будет отставать на 1/48 часть оборота, и через 48 часов отставание составит 1 оборот, т. е. стрелки совместятся.

Ответ:через 48 часов.

Задача 4:

Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Решение:

1 способ.

Пусть расстояние между городами равно S км. Тогда первый путешественник за 1 день проходит 1/10 S, а второй - 1/ 15 S. За один день они сближаются на

км.

Значит, встретятся они через 6 дней.

2 способ.

За 30 дней путешественники проходят 30:10+30:15 = 3+2 = 5 рассто­яний между городами. Следовательно, они сойдутся через 30 : 5 =6

Ответ: через 6 дней.

Задача 5:

Незнайка очень торопился и первую половину пути пробежал со скоростью 7 км/час, но затем он устал и оставшуюся часть прошел со скоростью 3 км/час. Найдите среднею скорость Незнайки.

Решение:

Пусть расстояние равно S км. Незнайка преодолел его за

часов

Тогда средняя скорость V = S: (5/21 S) = 21/5 = = 4,2(км/час).

Ответ: средняя скорость 4,2 км/час.

Занятие 15: Логические задачи

Решение задач на переливание

Ход занятия:

I. Игра со спичками.

 Положите 6 спичек так, чтобы образовался квадрат.

 При помощи двух спичек, не ломая их и не разрезая их, образовать квадрат.

Решение:

2)

1 )

(надо две спички надломить)

Вам, очевидно, приходилось слышать такие выражения: «В его рассуждении нет логики», «Он не умеет логически мыслить: Что бы это значило? А это означает, что человек не владеет правилами науки, о законах мышления, называемой логикой. Другими словами, он не умеет мыслить последовательно, связано, доказательно, т.е. мыслить логически.

В копилке народной мудрости немало логических задач, передававшихся из поколения в поколение.

На наших занятиях кружка мы займемся решением таких задач, т.е. будем учиться рассуждать, сравнивать, делать выводы. Часто в условии логической задачи имеется такое обилие фактов, что удержать их все в памяти нелегко. Тогда прибегают к составлению схем, таблиц, выполнению рисунков и чертежей.

Задачи на переливание:

 Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5 литров, набрать из водопроводного крана 4 литра воды?

Решение:

Задачи на переливание можно решать путем проб.

Ответ: можно набрать 4 литра

 Можно ли, с помощью этих же сосудов набрать 1 л воды?

Решение:

Ответ: можно.

 Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров кваса, находящегося в 12-ти литровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8 и 3-х литровым.

Решение:

 Бидон, емкостью 10 литров, наполнен керосином. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литра. Как разделить керосин в два сосуда по 5 литра в каждый?

Решение:

Занятие 16: Решение задач на переливание

Ход занятия:

Геометрическая задача.

Часто знает и дошкольник,

Что такое треугольник,

А уж вам-то как не знать,

Но совсем другое дело-

Быстро, точно и умело

Треугольники считать,

Например, в фигуре этой

Сколько разных? Рассмотри!

Все внимательно исследуй

И по краю, и внутри!

Ответ: 18 треугольников.

Решение задач на переливание:

Задача 1:

Имеются два сосуда. Емкость одного из них 9 литров, а другого 4 литра. Как с помощью этих, сосудов набрать из бака 6 литров некоторой жидкости? (Жидкость можно сливать обратно в бак).

Решение:

Задача 2:

Имеются 3 сосуда вместимостью 8, 5, 3 литра. Первый из них наполнен водой. Как разлить воду в два из этих сосудов так, чтобы в каждом было по 4 литра.

Решение:

Задача 3:

Некто имеет 12 литров сока и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 литров, а есть два сосуда в 8 и 5 литров. Каким образом можно налить 6 литров в сосуд емкостью 8 литров?

Решение:

Занятие 17: Конкурс знатоков

I. Разминка:

 В древне Руси деньгами служили серебряные бруски - их называли гривнами. Если вещь стоила меньше всего бруска, то отрубали половину. Тоже деньги! Внимание, вопрос! Как называлось отрубленная часть серебряного бруска?

Ответ: Ее называли рублем. Отсюда и пошло название денежной единицы- рубль.

 Какие часы показывают верное время только два раза в сутки?

Ответ: Часы, которые остановились.

 Поздно вечером два мальчика катаются на велосипедах. У одного велосипед с большими колесами, а у другого- с маленькими. Мальчики едут с равными скоростями. Внимание, вопрос! У кого из мальчиков ярче горит фонарь, работающий от одинаково установленных динамо- машин на ободе колеса?

Ответ: Яркость фонарей одинаковая, т.е. скорости велосипедов равны.

 Назовите ближайшую к Земле звезду. Эта звезда видна в дневные часы.

Ответ: Солнце.

 Во время грозы мы нередко видим вспышку молнии, а затем через несколько секунд слышим раскаты грома. Вопрос! Почему раскаты грома мы слышим позже, чем видим вспышку молнии?

Ответ:Скорость света во много раз больше скорости звука.

 Внимание, вопрос! В какой стране самое большое население?

Ответ:В Китае, там живут свыше миллиарда человек.

 Если цифру перевернуть, то число уменьшится на 3. Какая это цифра?

Ответ: 6.

 Когда в году бывает столько же дней, сколько глаз у человека?

Ответ: 2 января.

 В одной семье два отца и два сына. Сколько это человек?

Ответ: 3

 Чему равно произведение последовательных чисел от 0 до 99999?

Ответ: 0.

II. Игра «математический бой»:

Задачи для игры

ЗАДАНИЯ

5 -6 класс

1. Петя разбрасывает игрушки со скоростью 36 игрушек в минуту, а убирает со скоростью 3 игрушки в час. Сколько суток Петя будет убирать игрушки, если всего 10 минуток их поразбрасывает?

2. Василиса Премудрая наварила 60 литров варенья и разлила его в банки по 3 и 5 литров. Всего получилось 18 полных банок. Сколько трехлитровых банок заполнила Василиса?

3. На каждом из нескольких квадратов в углах написали цифры 1, 2, 3, 4. Квадраты сложили стопкой. Оказалось, что сумма чисел, находящихся в каждом углу стопки, равна 60. Сколько всего было квадратов?

4. Запишите наименьшее одиннадцатизначное натуральное число, в котором есть все цифры.

ЗАДАНИЯ

5-6 класс

1. Найдите три последовательных числа, сумма которых равна 72. В ответ запишите большее из этих чисел.

2. В арифметическом примере 414159+288726=695185 Незнайка перепутал местами две цифры. Найдите, какой правильный ответ должен был получиться у Незнайки.

3. В 8 часов утра группа туристов отправилась пешком с турбазы в город со скоростью 6 км в час, а в 11 часов вслед за ними выехала другая группа туристов на велосипедах со скоростью 12 км в час. Определите расстояние в километрах от турбазы до города, если обе группы прибыли в город одновременно.

4. Имеется пять карточек, на каждой записано по одной цифре: 1; 3; 4; 2; 8. Сколько пятизначных нечетных чисел можно составить из этих карточек?

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ

5 -6класс

1. Петя разбрасывает игрушки со скоростью 36 игрушек в минуту, а убирает со скоростью 3 игрушки в час. Сколько суток Петя будет убирать игрушки, если всего 10 минуток их поразбрасывает?

Решение: Петя разбросал ровно 36 * 10 = 360 игрушек. Убирать их он будет 360 / 3 = 120 часов, то есть 120 / 24 = 5 дней.

Ответ: 5 суток

2. Василиса Премудрая наварила 60 литров варенья и разлила его в банки по 3 и 5 литров. Всего получилось 18 полных банок. Сколько трехлитровых банок заполнила Василиса?

Решение: Пусть все 18 банок были пятилитровые, тогда Василиса сварила 5 * 18 = 90 литров варенья. Но сварено было 60 литров, значит, 30 лишних литров. Тогда банок меньшего объема, то есть трехлитровых, 30 / (5 – 3) = 15.

Ответ: 15 банок

3. На каждом из нескольких квадратов в углах написали цифры 1, 2, 3, 4. Квадраты сложили стопкой. Оказалось, что сумма чисел, находящихся в каждом углу стопки, равна 60. Сколько всего было квадратов?

Решение:Сумма чисел в углах каждого квадрата равна 10, а сумма всех чисел равна 60∙4=240. Значит, квадратов 240:10=24.

Ответ: 24

4. Запишите наименьшее одиннадцатизначное натуральное число, в котором есть все цифры.

Решение: На первом месте числа не может стоять цифра 0, а следующая наименьшая цифра 1, ставим ее (при иной цифре уже получим число большее). Далее на каждое следующее место будем ставить наименьшую возможную цифру, так чтобы оставшееся число цифр было не меньше числа еще не использованных, тем самым гарантированно получаем наименьшее число (можно поразрядно сравнивать наше число с другими и доказать его минимальность). Тогда итоговое число 10023456789.

Ответ:10023456789

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ

5-6 класс.

1. Найдите три последовательных числа, сумма которых равна 72. В ответ запишите большее из этих чисел.

Решение: Пусть среднее число равно х. Тогда сумма трех чисел, где данное среднее, равна (х-1) + х + (х + 1) = 3х и по условию равна 72. Значит, х = 72/3 = 24. Тогда большее число равно 24 + 1 = 25.

Ответ: 25

2. В арифметическом примере 414159+288726=695185 Незнайка перепутал местами две цифры. Найдите, какой правильный ответ должен был получиться у Незнайки.

Решение. Перепутаны цифры во втором слагаемом и сумме. Должно быть 414159+281726=695885.

Ответ: 695885

3. В 8 часов утра группа туристов отправилась пешком с турбазы в город со скоростью 6 км в час, а в 11 часов вслед за ними выехала другая группа туристов на велосипедах со скоростью 12 км в час. Определите расстояние в километрах от турбазы до города, если обе группы прибыли в город одновременно.

Решение: Так как группы прибыли в город одновременно, то вторая группа нагнала первую в городе, и мы можем посчитать за какое время: Расстояние между группами было (11 – 8) * 6 = 18 км, значит, вторая группа нагнала первую за 18 / (12 – 6)= 3 часа. Тогда расстояние между турбазой и городом можно вычислить как путь второй группы, то есть 3 * 12 = 36км

Ответ:36км

4. Имеется пять карточек, на каждой записано по одной цифре: 1; 3; 4; 2; 8. Сколько пятизначных нечетных чисел можно составить из этих карточек?

Решение: У нечетного числа последняя цифра нечетна: таких карточек у нас всего две, а именно 1 и 3. Значит, на последнее место в искомых числах у нас 2 варианта поставить карточку. После выбора последней карточки мы можем ставить их в любом порядке, а значит остается 4 (первое место) * 3 (второе место) * 2 (третье место) * 1 (четвертое место) = 24 варианта. Всего 24 * 2 = 48 чисел.

Ответ: 48 чисел

Занятие 18: Решение логических задач, методом предположений

Ход занятия:

Задача со спичками:

В«изгороди», изображенной на рисунке слева, надо переложить 14 спичек так, чтобы получилось 3 квадрата.

Решение:

Решение логических задач методом предположения

Данный метод еще называют способом здравого рассуждения, т.е. рассуждения, анализирующего каждую из возможных ситуации и отбрасывая неподходящие, мы и приходим к решению задачи.

Задача 1:

Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу.

Кто испачкал скатерть? – спросила бабушка.

Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша. Это сделал Боря.

Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря. А Алеше не пачкал скатерть.

Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась бабушка.

Ну, а какой твой ответ? – спросила она Витю.

Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог это сделать. А я сегодня не готовил уроки, - сказал Витя.

Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто на скатерть поставил кляксу?

Решение:

Возможны 3 ситуации: кляксу мог посадить либо Алеша, либо Боря, либо Витя.

А) Предполагаем, что кляксу посадил Алеша. Тогда он в одном из своих заявлений сказал правду, а в другом - неправду. Но это противоречит условию, т.е. Алеша не виноват.

Б) Предположим, что виноват Боря. Тогда оба Алешиных заявления истинных, а у Бори одно истинно, другое ложно. Последнее не возможно, т.е. Боря не пачкал скатерть.

В) Если кляксу поставил Витя, то оба Алешиных заявления ложны, а Боря и Витя в каждом из двух своих заявлений сказали правду (то, что Витя не делал урока, еще не означает, что он не мог поставить кляксу).

Ответ: кляксу поставил Витя.

Задача 2:

Три артиста, стоящие в ряд, изображают бога правды (всегда говорящего правду), бога лжи (всего лгущего), бога хитрости (он может сказать правду, может и солгать). На вопрос: «Кем является бог, стоящий в центре?» правый ответил: «Богом правды», левый: «Богом лжи», а сам он: «Богом хитрости». Какого бога изображает каждый артист?

Решение:

Пусть в центре стоит бы хитрости, но тогда или левый или правый- бог правды, что невозможно.

Бог правды в центре стоять тоже не может, т.е. он не сможет назвать себя богом хитрости. Следовательно, в центре стоит бог лжи, но тогда, но тогда справа бог хитрости (в этот раз он сказал неправду), а слева - бог правды.

Задача 3:

В школе после занятий было разбито стекло. Это мог сделать кто-то из трех учеников: Иванов, Петров, Сидоров. Когда стали выяснить, кто же из них виноват, то получили следующие ответы:

Иванов: «Это сделал Петров».

Петров: «Это работа Сидорова».

Сидоров: «Это сделал я».

В последствии стало известно, что из учеников сказал правду один, а двое - ложь. Кто разбил стекло?

Ответ:

Занятие 19: «Решение логических задач методом предположений»

Ход занятия:

Задача на переливание:

Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, набрать из водоема 3 литра воды?

Решение:

Решение логических задач методом предположений:

Задача 1:

Четыре мальчика - Игорь, Сережа, Миша и Юра- играли во дворе в футбол и разбили окно.

Кто разбил окно? – спросила тетя Даша.

Окно разбил или ваш Юра, или Миша, - сказал Сережа.

Я окно не разбил, - возразил Юра,

Ни я, ни Сережа не могли это сделать, - воскликнул Игорь.

Нет, Игорь, ты ошибся, - заметил Миша.

Ну, что, задали они тебе задачу? – сказал дядя Вася, наблюдавший эту беседу. Могу еще сказать, что трое из этих футболистов всегда говорят только правду. А вот 4-го плохо знаю. Кто разбил окно? С кем из мальчиков дядя Вася был мало знаком?

Решение:

Предположим, что стекло разбил Игорь, тогда получается, что Сережа лжет, Юра - говорит правду, Игорь - лжет, Миша- говорит правду. Но это невозможно.

Предположим, что разбил Сережа. Сережа - лжет, Юра- прав, Игорь- лжет, Миша- прав, но это невозможно.

Предположим, что разбил Миша. Сережа - прав, Юра- прав, Игорь- прав, Миша- лжет. Это возможно.

Предположим, что разбил Юра. Сережа - прав, Юра- лжет, Игорь- прав, Миша- лжет, но это невозможно.

Ответ: Стекло разбил Миша, с ним же был плохо знаком дядя Вася.

Задача 2:

Написав контрольную работу по математике, сестры сообщили родителям:

Света: «На этот раз я написала на 5».

Люда: «Я написала не на 3».

Ирина: « Я написала не на 5».

После проверки работ оказалось, что сестры получили разные положенные оценки, а из утверждении сестер одно верное, остальные ошибочные. Какую оценку получила каждая из сестер?

Решение:

Предположим Света написала на «5», тогда Люда на «3», Ирина на «5», но это невозможно.

Предположим верно то, что Люда написала не на «3» т.е. на 4 или 5, тогда света на 3 или 5, Ирина – на «5» т.е. Люда- «4», Света «3», Ирина- «5».

Предположим верно, что Ирина не на «5» т.е. на «3» или «4», Света- на «3» или «4», Люда- на «3», но это невозможно.

Ответ: Света- 3; Люда- 4; Ирина- 5.

Задача 3:

В соревновании по бегу участвовали три бегуна: Авдеев, Васильев, Семенов. Перед забегом один зритель сказал, что первым придет Авдеев, второй сказал, что Семенов не будет последним, а третий, что Васильев не придет первым. После забега оказалось, что один зритель угадал, а двое ошиблись. Как закончились соревнования?

Занятие 20: Решение логических задач методом квадратов

Ход занятия:

Решите задачу: (устно)

Прошу подумать в тишине,

Учтите случай редкий:

Сидела белка на сосне,

На самой средней ветке.

Потом вскочила вверх на пять,

Потом спустилась на семь.

(Вы все должны запоминать,

Как на уроке в классе).

Затем проворно белка вновь

Вскочила на четыре,

Потом еще на девять

И уселась на вершине.

Сидит и смотрит с высоты

На пне березки и кусты.

А сколько веток у сосны,

Мы с вами вычислить должны.

А сегодня мы рассмотрим еще один способ решения логических задач, который назовем методом квадратов.

Задача 1:

Встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Интересно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжеволосый, но ни у одного нет волос того цвета, на который указывает его фамилия» – заметил брюнет. «Ты прав» – сказал Белов. Какой цвет волос у художника.

Решение:

Результаты рассуждений будем оформлять в виде таблицы:

А теперь работаем с таблицей т.к. Белов не может быть блондином и брюнетом, значит он рыжеволосый, ставим «+». Если Белов - рыжеволосый, значит такого цвета волос ни у кого нет, ставим «-». Тогда Чернов может быть только блондином, ставим «+», а Рыжову «-», т.е. Рыжов - Брюнет.

Ответ: Художник Рыжов- брюнет.

Задача 2:

Вася, Петя и Гриша- неразлучные друзья. Их фамилия: Лепешкин, Ватрушкин, Горбушкин. Однажды Вася и Гриша пришли к Пете домой. «Давайте решать шахматные задачи», - предложил Вася. Только приятели расставили фигуры, в дверь постучали. Вошел почтальон: «Ватрушкину письмо», - сказал он. Нам еще известно, что Лепешкин, решая шахматную задачу, предложим пожертвовать ладьей, с чем Вася не согласился и чуть не поссорился с ним. Но Пете удалось примерить товарищей. Назовите фамилии мальчиков.

Решение:

Т.к. Лепешкин не Вася и не Петя , то он Гриша, ставим «+», и соответственно тогда Гриша не может быть Ватрушкиным и Горбушкиным.

Вася - Горбушкин.

Ответ: Гриша – Лепешкин.

Петя – Ватрушкин

Вася – Горбушкин

Задача 3:

В междугороднем автобусе едут шесть пассажиров: Агеев, Боков, Власов, Громов, Дубов, Елисеев; живут они в разных городах: в Москве, Ленинграде, Туле, Киеве, Риге и Одессе. Известно, что:

А) Агеев и москвич - врачи, Дубов и ленинградец- учителя, Власов и туляк- инженеры.

Б) Боков и Елисеев –участники Великой Отечественной войны, а туляк в армии никогда не служил.

В) Рижанин старше Агеева, а одессит старше Власова.

Г) Боков и москвич выйдут в Киев, а Власов и рижанин намерены выйти в Виннице.

Определите фамилию, профессию и место жительства каждого пассажира.

Задача 4:

В одном городе живут пятеро друзей: Иванов, Петренко, Сидорчук, Гришин и Алексеев. Один из них – маляр, другой – мельник, третий плотник, четвертый – почтальон, пятый – парикмахер.

А) Петренко и Гришин никогда не пользовались малярной кистью.

Б) Иванов и Гришин были в гостях у мельника.

В) Петренко и Алексеев живут в одном доме с почтальоном.

Г) Сидорочкук ходил на свадьбу к Петренко и дочери своего друга, парикмахера.

Д) Иванов и Петренко часто играют с плотником и маляром в домино.

Е) Гришин и Алексеев ходят бриться в парикмахерскую к другу, а почтальон бреется сам.

Кто из друзей какую профессию имеет?

Занятие 21: Решение логических задач методом квадратов

Ход занятия:

Задача со спичками:

А) Переложите 7 спичек так, чтобы получилось 5 равных четырехугольников.

Б) Переложите 8 спичек в этой «стреле» так чтобы получилось 8 равных треугольников.

Р

Б)

А )

Решение логических задач:

 Познакомимся с тремя людьми: Алешиным, Беляевым и Белкиным. Один из них архитектор, другой – бухгалтер, третий – археолог. Один живет в Белгороде, другой – в Брянске, третий – в Астрахани. Требуется узнать кто где живет и у кого какая профессия?

Известно:

А) Белкин бывает в Белгороде лишь наездами, хотя все его родственники постоянно живут в этом городе.

Б) У двух из этих людей названия профессий и городов, в которых они живут, начинаются с той же буквы, что и их имена.

В) Жена архитектора доводится Белкину младшей сестрой.

Решение:

Задача 2:

В забеге шести спортсменов Андрей отстал от Бориса и еще от двух спортсменов. Виктор финишировал после Дмитрия, но ранее Геннадия. Дмитрий опередил Бориса, но все же пришел после Евгения. Какое место занял каждый спортсмен?

Андрей отстал от Бориса и еще 2-х спортсменов, значит Андрей был 4-м , а Борис не может быть 4-м, 5-м, 6-м; 4-м уже никто не может быть.

Виктор финалист после Дмитрия, но ранее Геннадия, значит Виктор не может быть 1-м и 6-м Дмитрий не 6-ой, а Геннадий не 1-ый и не 2-й.

Дмитрий опередил Бориса, но пришел после Евгения, значит Борис не 1-й и не 2-й, Дмитрий не 1-ый, значит Евгений не 6-й т.е. Борис- 3-й, тогда 3-м уже никто не может быть.

Из таблицы видим, что 1-м больше никто не будет, 6-м будет Геннадий.

Еще раз к усл. (2), значит Виктор 5-й, а Дмитрий 2-й.

Ответ:

I. - Евгений

II. - Дмитрий

III. - Борис

IV. - Андрей

V. - Виктор

VI. – Геннадий

Занятие 22: Решение логических задач методом Эйлера (или диаграмма Венна)

Ход занятия:

Логическая задача, решаемая методом предположений:

Кросс осенний вспоминая,

Спорят белки два часа:

Победил в забеге заяц,

А второй была лиса!

Нет, - твердит другая белка, -

Ты мне эти шутки брось,

Заяц был вторым, конечно,

Первым был, я помню, - лось!

Я, промолвил филин важный, -

В спор чужой не стану лезть,

Но у вас, в словах у каждой

По одной ошибке есть!

Белки фыркнули сердито,

Неприятно стало им,

Вы же взвесив все, найдете,

Кто был первым, кто вторым.

Ответ: 1 – лось; 2- лиса.

Решение задач методом кругов Эйлера

Задача 1:

В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят – не посещают кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение:

Изобразим множества учащимися кругами:

В общей части кругов, обозначенной буквами МБ, окажутся те самые биологи-математики. Всего 35 ребят, 10 не посещают кружки, значит

35-10= 25 человек посещают кружки.

25-20= 5 биологов, не посещают кружки, значит 11-5=6 биологов посещают математический кружок.

Ответ: 6

Рисунки, подобные приведенному в решении, обычно называют кругами «Эйлера». Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер за свою жизнь (1707-1783) написал боли 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. Эйлер писал тогда, «Что они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Задача 2:

В
пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают и драмкружках и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Удобно перевести задачу на язык теории множеств. Основным множеством является множество всех пионеров. Оно состоит из 70 элементов.

Д- 27; Х- 32; С- 22 ДХ- 10; ДХС- 3

Вычитая из общего числа, элементов множества 70 сумму чисел в квадратных рамочках, получается 10 т.е. 10 ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке.

Тема: Круги Эйлера

Задача 1:

В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 — в хоккей, 18—в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта— баскетболом и хоккеем — чет­веро, баскетболом и волейбо­лом — трое, волейболом и хок­кеем — пятеро. Трое не увле­каются ни баскетболом, ни хок­кеем, ни волейболом.

б) Сколько ребят увлекает­ся лишь одним из этих видов спорта?

Обсуждение. Восполь­зуемся кругами Эйлера. Множе­ство всех учащихся класса изобразим большим кругом, внутри которого поместим три меньших круга, изображающих мно­жество баскетболистов Б, множество хоккеистов Хи множество во­лейболистов В. Число элементов множества БХВ обозначим через z.Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что числа элементов множеств Б,Хи В равны соответственно 16 — (4 + z + 3) = 9 - z, 8 -z и 10 -z. Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на непересекающиеся подмножества, количества элементов которых указаны на схеме:

38 = 3 + (9 -z) + (8 -z) + (10 -z) + 4 + 3 + 5 + z,

откуда z=2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта. Складывая количества элементов непересекающих­ся множеств Б,Хи В,

т. е. 9 - 2= 7, 8 - 2 = 6 и 10 – 2 = 8, найдем ответ на второй вопрос задачи: 21 человек.

Задача 2:

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике — 17 человек и по физи­ке — 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку — 4 человека, по математике — 4 человека и по физике — 11 человек. Семь человек имеют «тройки» и по мате­матике, и по физике, из них пятеро имеют «тройки» и по русскому языку.

а) Сколько человек учатся без «троек»?

б) Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение. Воспользуемся кругами Эйлера. Внутри большого круга, изображающего множество учеников класса, поместим три меньших круга, изображающих подмножество М учеников, имеющих «тройки» по математике,Р — по русскому языку и Ф — по физи­ке. Дальнейшие расчеты не представляют труда. Ответ на первый вопрос задачи: 4 человека; на второй вопрос — 12 че­ловек.

Задача 2:

Удивительный класс. В этом классе учатся 35 человек, и все они либо играют на скрипке, либо разводят хомяков, либо пла­вают в бассейне «Москва». Многие успевают заниматься и тем, и другим. Больше всего пловцов - хомяководов — 25, пятеро из них еще и на скрипке играют. Чемпион класса по плаванию на скрипке не играет и хомяков не разводит, а два его друга - хомяковода пла­вать не умеют, зато скрипачи превосходные. Среди скрипачей есть семеро, которые не плавают и хомяков не разводят.

а) Сколько в классе скрипачей?

б) Сколько человек посещают бассейн «Москва»?

в) Сколько хомяководов не увлекаются ни плаванием, ни му­зыкой?

Решение. Изобразим данные задачи при помощи кругов Эйлера: круг С изображает множество скрипачей, круг Х — хомяководов, круг П — пловцов. Число ре­бят, о которых рассказывается в условии задачи, равно 25 + 1 + 2 + 7 == 35, и они со­ставляют весь класс, так как по условию в классе 35 чело­век. Теперь нетрудно ответить на вопросы задачи: в классе 14 скрипачей, 26 ребят посещают бассейн «Москва», а хомяково­дов, не плавающих и не играю­щих на скрипке, вообще нет — множество их пусто

Занятие 23: Решение логических задач методом кругов Эйлера

Ход занятия:

Задача на переливание:

Как, пользуясь двумя сосудами – семи – и двенадцатилитровым, получить 1 литр воды?

Решение:

Решение логических задач методом кругов Эйлера.

З адача 1:

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским- 28, французским- 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

1) Всеми 3 языками владеют 3 человека.

Англичанам и французам языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким, следовательно, только английским и французским

10-3=7 человек .

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+5+2= 10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецким владеют 20 человек.

Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским- 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3= 80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком.

Задача 2:

В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6- морковь, 5- горох, 4- капусту и морковь, 3- капусту и горох, 2- морковь и горох, 1-й капусту, и морковь, и горох. Сколько было детей в семье?

Решение:

1+6+3= 10 (чел) было в семье.

Занятие 24: Задачи, решаемые при помощи графов

Ход занятий: