Свойства числовых неравенств

МОБУ СОШ с. Малиново

Конспект по теме:

«Свойства числовых неравенств»

Учитель физики и математики

Бойко Тамара Владимировна

Математика 9 класс

2016 год

Что такое чис­ло­вое нера­вен­ство.

Вспом­ним, что озна­ча­ют нера­вен­ства:   и  :

 озна­ча­ет, что  и   озна­ча­ет, что 

Вывод: число   счи­та­ет­ся боль­шим числа b, если раз­ность   яв­ля­ет­ся по­ло­жи­тель­ным чис­лом. Число   счи­та­ет­ся мень­ше числа b, если раз­ность   яв­ля­ет­ся от­ри­ца­тель­ным чис­лом.

Гео­мет­ри­че­ская ин­тер­пре­та­ция.

Если точка с ко­ор­ди­на­той   на­хо­дит­ся пра­вее, чем точка с ко­ор­ди­на­той b, зна­чит число   . И на­о­бо­рот. Не все­гда оче­вид­на ал­геб­ра­и­че­ская за­пись, по­это­му гео­мет­ри­че­ская ин­тер­пре­та­ция часто по­мо­га­ет. С по­ло­жи­тель­ны­ми чис­ла­ми это оче­вид­но, а с от­ри­ца­тель­ны­ми лучше поль­зо­вать­ся рас­по­ло­же­ни­ем этих чисел на чис­ло­вой оси.

Свой­ства чис­ло­вых нера­венств.

 Свойство неравенств №1

Если  , то 

До­ка­за­тель­ство: По­сколь­ку по усло­вию  , то раз­ни­цы  и   яв­ля­ют­ся по­ло­жи­тель­ны­ми чис­ла­ми. Тогда по­ло­жи­тель­ной будет и их сумма   Имеем:  .Таким об­ра­зом, раз­ни­ца   – по­ло­жи­тель­ное число, и от­сю­да сле­ду­ет, что  .

 Свойство неравенств №2

Если   и с – любое число, то  .

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим раз­ность  Имеем:  . По­сколь­ку по усло­вию  , то раз­ность   – по­ло­жи­тель­ное число и  . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 4. Свойство неравенств №3

Если   и c – по­ло­жи­тель­ное число, то  . И если   и c – от­ри­ца­тель­ное число, то  .

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим раз­ность  Имеем: . По­сколь­ку по усло­вию  , то раз­ность   – по­ло­жи­тель­ное число. Если   , то про­из­ве­де­ние   – по­ло­жи­тель­ное число, и раз­ность   по­ло­жи­тель­ная , т. е. .

Если   , то про­из­ве­де­ние   – от­ри­ца­тель­ное число, и раз­ность   от­ри­ца­тель­ная, т. е.  

При­мер:  , умно­жим обе части нера­вен­ства на 2 и по­лу­чим  , но если обе части нера­вен­ства умно­жить на -2, то знак нера­вен­ства по­ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ный:  .

 Действия с неравенствами

Свой­ство 4.

.Т. е. любые нера­вен­ства од­но­го знака можно скла­ды­вать.

Свой­ство 5.

Рас­смот­рим пе­ре­мно­же­ние нера­венств.

Если все числа по­ло­жи­тель­ные, то их можно пе­ре­мно­жить, и по­лу­чим  . Если умно­жать на от­ри­ца­тель­ное число, то знак нера­вен­ства ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ный.

Свой­ство 6.

Рас­смот­рим воз­ве­де­ние в сте­пень нера­венств.

и  тогда  .

 Пример №1

Даны два по­ло­жи­тель­ных числа  и  .И  . До­ка­зать, что их об­рат­ные ве­ли­чи­ны свя­за­ны про­ти­во­по­лож­ным нера­вен­ством: 

Ре­ше­ние. Пе­ре­не­сем в одну сто­ро­ну и вы­пол­ним необ­хо­ди­мые дей­ствия.

Так как даны по­ло­жи­тель­ные числа  и  то нужно убе­дить­ся, что   . Чтобы дробь была от­ри­ца­тель­ным чис­лом, надо, чтобы зна­ме­на­тель был от­ри­ца­тель­ным чис­лом. Умно­жа­ем   на -1 и по­лу­ча­ем  .

 Пример №2

Дано:  

а) Оце­нить число 

Ре­ше­ние: Обе части нера­вен­ства умно­жа­ем на 2. Тогда  . За­да­ча ре­ше­на.

б) Оце­нить число -3

Ре­ше­ние:  будет ме­нять­ся в пре­де­лах  . Умно­жа­ем нера­вен­ство на 3. По­лу­ча­ем  ; 

в) Oце­нить раз­ность 

Ре­ше­ние:   . Нера­вен­ства од­но­го знака можно скла­ды­вать. По­лу­ча­ем:

Ответ: 

 Пример №3

Дано: 

Ре­ше­ние: Пе­ре­но­сим все в одну сто­ро­ну. . При­во­дим к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:  Зна­ме­на­тель по усло­вию  , зна­чит и чис­ли­тель дол­жен быть по­ло­жи­тель­ным чис­лом, т. е.  . Квад­рат числа все­гда равен по­ло­жи­тель­но­му числу, кроме, если а=1. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/203412-svojstva-chislovyh-neravenstv