Особенности тригонометрических уравнений

С.В. Хорошилова

НГПУ им.К.Минина, г.Нижний Новгород

Студентка 5 курса

Особенности тригонометрических уравнений

Сравнительный анализ учебников по алгебре и началам анализа для 10-11 классов показал, что материал по тригонометрии в разных учебниках изложен по-разному. В учебниках А.Г.Мордковича [3] и М.И.Башмакова [2] тригонометрические функции изучаются перед тригонометрическими уравнениями, так как в них функциональная линия является главной. В учебнике же Ш.А.Алимова [1] и других сначала изучаются тригонометрические уравнения.

Во всех учебниках тема «Тригонометрические уравнения» начинается с решения простейших тригонометрических уравнений, правая часть которых представляет собой табличные значения тригонометрических функций. Затем решаются уравнения, правая часть которых уже не табличные значения. Но в учебнике А.Г.Мордковича такие уравнения были предложены ученикам еще в предыдущей главе при введении понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла. Тогда ученики не смогли их решить, и у них остались белые пятна, что создало мотивацию для введения ,,,. Ш.А.Алимов же такие уравнения предлагает только в начале данной темы, и ученики их решают с помощью графической модели – числовой окружности. А.Г.Мордкович параллельно с уравнениями изучает и тригонометрические неравенства, а Ш.А.Алимов выделяет их в отдельный параграф в конце темы. В этом плане целесообразно придерживаться точки зрения А.Г.Мордковича и изучать уравнения и неравенства совместно методом укрупнения дидактических единиц, так как это создает лучшие условия для постижения связей и переходов между сходными понятиями. Тригонометрические неравенства решаются с помощью единичной окружности. После этого авторы переходят к решению более сложных тригонометрических уравнений. Об основных методах их решения изложено в анализе задачного материала.

В результате проведенного анализа теоретического материала приходим к выводу, что в тригонометрических уравнениях заложено много особенностей, каждая из которых требует внимания, уважения, а значит и времени. Перечислим их:

в отличие от иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, где в каждом классе имеется по одному типу простейших, здесь приходится рассматривать три (а в некоторых учебниках четыре) типа простейших уравнений: ,, ( );

изучение этих типов уравнений требует введения новых символов ( );

раньше при решении уравнений учащимся встречался лишь случай конечного множества корней. Теперь же уравнение имеет бесконечно много корней;

наличие параметра в записи решений;

для каждого типа простейших тригонометрических уравнений имеется общая формула корней (особо нужно отметить формулу корней для уравнения , где содержится новая для учеников запись );

наряду с общими формулами решения приходится рассматривать многочисленные частные случаи;

при решении уравнений , следует учитывать условие , указывающее на наличие корней;

уравнения практически сразу усложнены обилием тригонометрических формул и необходимостью выполнения соответствующих преобразований;

необходимо владеть геометрическим смыслом решения тригонометрических уравнений на координатной плоскости[4], т.е. решение уравнений с помощью числовой окружности.

Список литературы.

Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2003.

Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2000.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1, Ч.2: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.

Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе. // Математика в школе. – 2002. - № 6, с. 32.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/20982-osobennosti-trigonometricheskih-uravnenij