Величины и их измерения

Величины

Величины – это особые свойства реальных объектов или явлений. Например, свойство предметов иметь протяженность называется длиной. Это же слово мы употребляем, когда говорим о протяженности конкретных  объектов.

Величины бывают однородные и разнородные. Однородные  величины выражают одно и тоже свойство объектов некоторого множества. Например, длина дома и длина пути. Разнородные выражают различные свойства предметов. Например, длина комнаты и площадь комнаты.

Величины обладают следующими свойствами:

1.      В пределах системы всех однородных величин устанавливается отношение неравенства: две величины  а  и  b одного и того же рода или совпадают   (a = b),   или первая меньше второй  (a < b),  или вторая меньше первой  (b > a).  Например, длина гипотенузы больше длины катета, масса одного апельсина меньше массы одного арбуза, площадь детской комнаты равна площади спальни и т.д.

2.      Величины одного и того же рода можно складывать. В результате  получается величина того же рода:   a + b = c,   где сназывают суммой величин.  Например,   S S =S           S            S             

3.      Величину можно умножать на действительное число, получая величину того же рода: b = x   a, где величина bназывается произведением. Например, длину отрезка АВ = а умножим на 5. Получим новый отрезок        АС = 5а.

4.       Величины   одного и того же  рода  вычитают: с = а – b, т.е. с  такая величина, что а = b + с. Например, масса яблок и груш равна а, масса яблок – b , тогда масса груш определится как а – b = с.

5.      Величины одного и того же рода делят:  с = а : b, где с – частное, т.е.  с   такая величина, что  а = b   c.   Например, отношение длины отрезка    АВ = а   к  длине   отрезка   АС = с   равно  2.

6. Некоторые величины разного рода умножают и делят, получая в результате величину третьего рода. Например,   S = v   t,   S =  a   h.

Измерение величин

Измерение  заключается  в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения  величина получает определенное численное значение при выбранной единице. Если дана величина а и выбрана единица величины е, то в результате  измерения величины а находят такое действительное  число  х,  что а = хе. Это число  х  называют численным значением величины при единице е:    х = m (а).

Например, 5 кг = 5g1кг,  10 м = 10 g1м.

При этом считают, что 1) равным величинам при одной и той же величине соответствуют равные числовые значения;  2)  большей величине соответствует большее числовое значение при одной и  той же единице  е; 3) числовое значение суммы величин при одной и той же единице   е   равно сумме числовых значений слагаемых величин.

Используя определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.

Например,   ч  =    1ч,  а  1ч = 60 мин. Следовательно,  
ч  =   g 60 мин = 5 мин.

Операции над величинами

Операции над величинами сводятся к операциям над числами.

1.  Если величины а и b
измерены при помощи единицы величины е, то отношения между величинами а и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями: а = b   m (a) = m (b)

а  <  b       m (a)  <  m (b)                 а  >  b       m (a)  >  m (b).

Например, 9 м  >  5 м, так как  9 > 5.

2. Если величины  а и b  таковы, что  b = ха,  где  х – положительное число и величина а  измерена при помощи единицы  е,  то чтобы найти численное значение величины  b   при единице е,   достаточно число  х   умножить на число  m (a): b = ха     m (b) = х g m (a).

  Например, если масса   b  в 3 раза больше массы а, т.е.  b = 3а   и   а = 5 кг, то   b = 3а = 3 g (5кг)
= (3 g 5) кг = 15 кг.

3. Если величины а  и  b  измерены при помощи единицы   е,  то чтобы найти численное значение суммы  а + b, достаточно сложить численные значения а  и  b: а + b = с   m (a + b)  =  m (a) + m (b).

Например,  а = 10 см, b = 20 см,  тогда   а + b = 10 см + 20 см =  (10 + 20) см  = 30 см.

Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Если отрезок а состоит из р отрезков, равных е (а = р е), а отрезок е состоит из q отрезков равных е     (е = q е), то мера отрезка а при единице длины е будет равна р q.          Таким образом, умножение натуральных чисел как мер отрезков отражает переход к новой (более мелкой) единице длины (рис. 22).

Действительно, число частей отрезка а, равных отрезку е, выражается так:  р + р + р + … + р  =  р q. Значит, а = (р q)   е .  

Пусть отрезок b состоит из m отрезков, равных е (b = me), а отрезок е состоит из n отрезков, равных е (е = ne). Тогда мера отрезка b при единице е будет равна m : n. Действительно, если е = ne, то е = е: n. Тогда b    = me = m(е: n) = (m : n)  е  (рис. 23).

Таким образом, деление натуральных чисел, рассматриваемых как значения длин отрезков, отражает переход к новой              (более крупной)  единице  длины.

Объясним смысл произведения 4 3, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 – мера измерения величины Х при единице е, а 3 – мера измерения величины е при единице е , т.е. е – первоначальная единица величины, е - новая единица величины. Тогда 4 3 – это численной значение величины Х при единице е  (рис. 23). Пусть Х – длина отрезка а. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то      Х = 4е. Если е  -  новая единица длины, такая, что е = 3е , то Х = 4е =   4  (3 е) =      (4 3)   е = 12 е .

Объясним смысл частного 8 : 2, если 8 и 2 – числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 8 – мера измерения величины Х при единице е, а 2 – мера измерения величины е при единице е. Тогда 8 : 2 – это численное значение величины Х при единице е  (рис.24). Пусть Х –длина отрезка b. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то Х = 8 е. Если      е - новая единица длины. Такая, что е  = 2е, то Х = 8е = 8  (е : 2) =            (8 : 2)  е  = 4 е .

Задача. В буфете было 5 банок сока, по 3 л в каждой банке. Сколько всего сока в этих банках? Обоснуем выбор способа действия при решении данной задачи.

весь сок

1банка

1л

Решение. В задаче идет речь о двух единицах объема, занимаемого соком, - банках и литрах. Сначала он измерен банками, а затем его надо измерить новой единицей – литром, причем известно, что в старой единице (банке) содержится 3 новые единицы (3 литра) (рис. 24). Значит,  5   1б = 5   (3 л) = 5   (3   1 л) = (5   3)   1 л = 15 л. 

Таким образом, мы получили измерения объема сока в более мелкой единице – литрах.

Ответ: в буфете было 15 л сока.

Задача. Решим задачу и обоснуем выбор действий: «12 кг варенья надо разложить в банки, по 3 кг в каждую. Сколько банок потребуется?».

Р ешение. В задаче рассматривается две единицы измерения – килограмм и банка. В условии масса варенья измерена килограммами. 

Так как в задаче требуется выразить результат измерения массы варенья в банках, т.е. в новой единице, и известно, что в новой единице содержится три старых (1 банка = 3 кг), то рассуждения, связанные с поиском численного значения массы при единице «банка» можно представить в таком виде:     12 кг = 12   1 кг = 12     б. = 12   ( 1 б.) = (12    )   1 б.  =(12 : 3)   1 б. = 4   1 б. = 4 банки (рис 25).

 Следовательно, задача решается делением, поскольку нужно перейти от одной единицы величины к более крупной другой: 12 кг : 3 кг = 4 банки.

Ответ: потребуется 4 банки.

Единицы измерения длины

Единицы измерения длины: сантиметр, дециметр, метр, километр, миллиметр.

Площадью фигуры называют положительную величину, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. равные фигуры имеют равные площади,

2. если фигура разбивается на части, то площадь этой фигуры равна сумме площадей этих частей.

Площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина – на множестве отрезков, а площадь – на множестве плоских фигур. Условимся обозначать площадь S(F).

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, это площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку е: S = eЕдиницы измерения длины. Например, если длина стороны единичного квадрата а, то его площадь аЕдиницы измерения длины.

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата eЕдиницы измерения длины. Результатом этого сравнения является такое число х , что S(F)=x eЕдиницы измерения длины. Число х называют численным значением площади при выбранной единице площади.

Например, площадь квадрата со стороной 4 единицы равна 4Единицы измерения длины=16 единиц квадратных, если единицей площади является смЕдиницы измерения длины, то площадь фигуры равна 4 смЕдиницы измерения длины.

Рассмотрим некоторые приемы измерения площадей фигур.

Единицы измерения длиныЕдиницы измерения длиныЕдиницы измерения длиныЕдиницы измерения длины

S(F) = S(F1) + S(F2) + S(F3)

Натуральное число как значение длины отрезка. Смысл суммы и разности

Считают, что отрезок а состоит из отрезков а , а , …, а , если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

Е сли отрезок а состоит из n отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число n называют численным значением длины данного отрезка а при единице е: а = n е.Например, численным значением длины отрезка а, изображенного на рис. 17, при единице еявляется число 6:  а= 6е. Если в качестве единицы выбрать другой отрезок,  например е, то длина отрезка а будет состоять из 3 отрезков е :    а = 3 е .

Таким образом, натуральное число как численное значение длины отрезка а показывает, из скольких единичных отрезков е слагается отрезок а. При выбранной единице е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

1. При переходе к другой единице длины численное значение длины заданно отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е (рис.16), то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3 Е .

2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у – из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин.

Пусть отрезок а состоит из отрезков b и с и b = mе, с = nе, где m и n – натуральные числа. Тогда отрезок b разбивается наm частей, каждая из которых равна единичному отрезку е, а отрезок с – на n таких частей. Весь отрезок а разбивается на m + nтаких частей. Тогда сумму натуральных чисел m и n можно рассматривать как значение длины отрезка а, состоящего из отрезков b и с, длины которых выражаются натуральными числами m и n:     а =  b + c = m (b) + n (c) = (m + n)e.

Например, числа 3 и 8 являются результатами измерения длин отрезков b и с при помощи единицы е, т.е. b = 3e, c = 8e, и отрезок а состоит из отрезков b и с. Тогда а = b + с = 3е + 8е = (3 + 8)е = 11е.

Если отрезок а состоит из отрезков b и с, и длины отрезков а и b выражаются натуральными числами m и n при выбранной единице е, то длина отрезка с выражается как разность отрезков а и b и равна разности значений длин этих отрезков m – n. Т.е.разность натуральных чисел m и n можно рассматривать как значение длины отрезка с, являющегося разностью отрезков а и b, длины которых выражены натуральными числами m и n соответственно: с = а – b = m (a) –  n (b) =  (m – n)e.

Например, если отрезок а = 7е и состоит из отрезков b и с, причем        b = 5е, то с = а – b = 7е – 5е = (7 – 5)е = 2е.

Такой подход к сложению и вычитанию натуральных чисел связан не только с измерением длин отрезков, но и с измерением других величин.

Обоснуем выбор действия задачи: « Купили 5 кг картофеля и 2 кг моркови. Сколько килограммов  овощей купили?»

Решение. Изобразим массу картофеля в виде отрезка с, а массу моркови – в виде отрезка b. Тогда массу купленных овощей можно изобразить в виде отрезка, состоящего из отрезков b и с (рис.18). 

Т ак как численное значение отрезка а равно сумме численных значений отрезков с и b, то массу купленных овощей можно найти действием сложения: а =  с + b  = n (c) + m (b) = (n + m)e = 5кг + 2кг  = 5 1кг + 2 1кг =              (5 + 2) 1кг = 7  1кг = 7кг.

Ответ: купили 7 кг овощей.

Рассмотрим другую задачу. Сестре 7 лет, а брат на 2 года старше сестры. Сколько лет брату? Решите задачу, обосновав выбор действий.

Р ешение. Изобразим возраст сестры с помощью отрезка а. Тогда возраст брата можно изобразить при помощи отрезка АВ, равного а, и отрезка ВС, изображающего 2 года (рис.19).

Так как значение длины отрезка с = АС равно сумме значений длин слагаемых отрезков, то возраст брата можно найти сложением:  с = АВ + ВС = 7 лет + 2 года =  7 1год + 2 1год = (7 + 2)  1год =  9 лет.

Ответ: брату 9 лет.

Пример. Объясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «Купили 6 кг фруктов, из них 4 кг яблок и остальные груши. Сколько килограммов груш купили?»

Р ешение. В задаче рассматривается масса фруктов, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы яблок, численное значение которой известно, и массы груш, численное значение которой нужно найти. Изобразим массу фруктов при помощи отрезка а, который состоит из отрезков b – массы яблок и с – массы груш (рис. 20). Тогда массу груш можно получить, вычитая из всей массы фруктов массу яблок. Численное значение массы груш тогда находят действием вычитания: с = а – b = m (a) –  n (b) =  (m – n)e. Т.о. с = 6 кг – 4 кг = 6 1 кг - 4 1 кг = (6 – 4)  1 кг = 2 кг.

Ответ: купили 2 кг груш.

Рассмотрим другой пример. От ленты отрезали 5 м, а потом еще 3 метра. Сколько метров ленты отрезали? Решите задачу и обоснуйте выбор действия.

Р ешение. Изобразим первый отрезанный кусок в 5 м с помощью отрезка а, а второй кусок в 3 м – при помощи отрезка b (рис. 21). Тогда всю длину отрезанной ленты можно изобразить при помощи отрезка с = а + b. Численное значение такого отрезка будет равно сумме численных значений длин отрезанных кусков: m (с) = m (а) + n (b). Значит, задача решается сложением:      с = 5м + 3 м = 5 1м + 3 1м =  (5 + 3)  1м = 8 м.

Ответ: отрезали всего 8 м ленты.

Длина отрезка, свойства длин отрезков

Назовем длиной отрезка положительную величину такую, что

1) равные отрезки будут иметь равные длины

2) если отрезок разбить на конечное число отрезков, то его длина будет равна сумме длин этих отрезков.

Основные свойства длин отрезков:

1) При выбранной единице  длина отрезка выражается положительным действительным числом. И для каждого действительного числа существует отрезок, длина которого выражена этим числом.

2 )  Если два отрезка равны, то численные значения их длин т.ж. равны и обратно, при равенстве численных значений длин двух отрезков получаем равенство самих отрезков.

Е диницы измерения площади

Правила сравнения площадей и действий над ними

1.      Если фигуры равны, то равны и численные значения их площадей. Но если площади фигур равны, то фигуры не будут равными.

Фигуры, у которых площади равны, называют равновеликими.  

      2                   F1             F2      4

                   8                       4                S(F1) = 16e ,   S(F2) = 16e

Е сли фигура F состоит из фигур F1, F2, F3, …Fn, то численное значение площади этой фигуры S(F) = S(F1) + S(F2) + …+ S(Fn) при одной и той же единице площади. Например: пусть площадь единичного квадрата равна 
1 см . Тогда площадь данной фигуры  будет следующей: S(F) = 16 (1 cм) = 16 см ; 
S(F) = 4 S(F1) = 4  (4 cм) = 16 см; 
S(F) =  S(F1) + 3 S(F2) = 4 cм+ 3  (4 cм) = 
= 16 см.                   

2.      П ри замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой. Например: 7 см выразим в дециметрах. 1 дм = 10 см. Значит, 1 см  = 0,01 дм . Следовательно, 7 см  = 
= 7 0,01 дм = 0,07 дм .

В начальной школе Windsor понятие площади фигуры формируется на основе сравнения фигур: так как квадрат  помещается внутри  круга, то его  площадь  меньше площади  круга.

Площадь фигуры, учащиеся определяют с помощью палетки:     1) считают число квадратов, которые лежат полностью внутри фигуры; 2) считают число квадратов, через которые проходит контур фигуры. В результате получают приближенное значение площади. Если n – число целых квадратов, р – число квадратов, через которые прошел контур,  то площадь фигуры может быть представлена так:     n e < S(F) < (n + p)  e . Тогда, чтобы найти приближенное значение площади фигуры F, достаточно сложить полученные численные значения площади по недостатку и по избытку и разделить эту сумму пополам.            

     S(F)   =   =  .

Например, оказалось, что полных квадратов 12, квадратов, через которые прошел  контур  фигуры – 20. В результате получаем значение площади фигуры:  12 + 20 : 2  12 +10 = 22.     Значит S(F) = 22 см

Единицы измерения объемов

Единицы измерения объемов: 1 см = 1000 м , 1 дм = 1000 см , 1 м = 1000 дм , 1 км =1000 000000 м .

Масса – одна из основных физических величин. Вес – это сила с которой тело притягивается землей. Поэтому вес тела зависит не только от самого тела. Например, он различен на разных широтах: на полюсе тело весит на 0,5% больше, чем на экваторе. Однако при своей изменчивости вес обладает особенностью: отношения весов двух тел в любых условиях остается неизменным.

С математической точки зрения масса – это такая положительная величина, которая обладает свойствами: 1) масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах. 2) масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, вместе взятых, равна сумме их масс.

Измерение массы производится с так же помощью весов. При этом выбирается единичное тело  е,  масса которого принимается за единицу. Можно взять и доли этой массы. На одну чашу весов кладут тело, которое измеряют, на другую _ тела, выбранные в качестве единицы массы (гири). Гирь должно быть столько, чтобы они уравновешивали первую чашку весов. В результате взвешивания получается численное значение массы данного тела. Это значение приближенное. Например, m = 15 кг 240 г. Число 15240 следует рассматривать как приближенное значение массы данного тела при единице массы – грамм: 1 г = 1/1000 кг.

Если сравнивать данное выше определение массы с определения длины, площади, то увидим, что масса характеризуется теми же свойствами, что и длина и площадь, но задана она на множестве физических тел.

Для численных значений массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины. Т.е., сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над их численными значениями  при одной и той же единице массы.

Единицы измерения массы

Единицы измерения массы: 1 т = 1000 кг, 1 ц = 100 кг, 1 т = 
= 10 ц, 1 кг = 1000 г. Основная единица массы – килограмм, из нее и образуются другие единицы.

Понятие времени более сложное, чем понятие длины и массы. 
В обыденной жизни время – это то, что отделяет одно событие от другого.  В математике и физике время рассматривают как  скалярную величину, потому что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.

1) Промежутки времени можно сравнивать. Например, на один  и тот же путь пешеход затратит времени больше, чем велосипедист.

2) Промежутки времени можно складывать.  Например, лекция в вузе длится столько, сколько два урока в школе.

3) Промежутки времени можно вычитать. Так, например, можно найти разницу во времени движения лодки по течению и против течения.

4) Промежутки времени можно умножать на положительное число. Например, автомобиль проедет 60 км за 1 час, а 120 км за 2 часа 
(1 час  2).

4) Промежутки  времени  измеряют. Но процесс  измерения времени отличается от  измерения длины. Для  измерения длиныможно  многократно использовать линейку, перемещая ее от точки к точке. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Поэтому  единицей времени может быть регулярно повторяющийся процесс.  Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда.

Единицы измерения времени

Единицы измерения времени: секунда, минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век.

Рассмотрим, какие зависимости между величинами существуют.

Например, рассмотрим величины, связанные с равномерным     прямолинейным движением: время (t), скорость (V),  расстояние (S). Зависимость между ними выражается следующей формулой:  
S = V   t. Если при этом скорость принимает одно и то же значение, то зависимость между расстоянием S  и временем t прямопропорциональна. Если же не меняется расстояние, то скорость V  и время t  оказываются связанными обратно пропорционально: V = S / t   либо   
t = S / V. 

Прямопропорциональная зависимость между временем и расстоянием обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьшается) время, во столько же раз увеличивается (уменьшается) пройденное расстояние.

Обратно пропорциональная зависимость выражается так: 
во сколько раз во сколько раз увеличивается (уменьшается) время (скорость), во столько же раз уменьшается (увеличивается) скорость (время).

Многообразные зависимости существуют и между другими величинами: объемом и массой; стоимостью товара, количеством и ценой; объемом работы, временем работы и производительностью труда; количеством ткани, количеством изделий и расходом ткани на одно изделие и пр.

Рассмотрим зависимости между другими величинами.

Цена – стоимость в деньгах. Например, цена билета. Стоимость – это выраженная  в деньгах ценность чего-нибудь или величина затрат на что-нибудь. Цена отражает уровень общественно необходимых затрат труда. Стоимость определяется общественно необходимым рабочим временем. Зависимость между этими величинами может быть такой: стоимость = количество товара   на цену.

Задача. Выразить  в сантиметрах  9 дм 6 см,  8 см 79 мм: так как 1 дм = 10 см, а 1 см = 10 мм, то 9 дм 6 см = 90 см + 6 см = 96 см;  
8 см 79 мм = 8 см + 7 см + 0,9 см = 15,9 см.

Выразить метрах 2 км 300 м, 2 км 10 дм 5 мм. В 1 км содержится 1000 м, в 1 м – 10 дм, 1 м = 1000 мм, то 2 км 300 м = 2000 м + 300 м = = 2300 м;  2 км 10 дм 5 мм = 2000 м + 1 м + 0,005 м = 2001,005 м.

Выразить в килограммах: 750 г, 3 т 7 ц. Так как в 1 кг содержится 1000 г, а в 1т – 1000 кг, в 1 ц – 100 кг, то 750 г = 0,75 кг,  3 т 7 ц = 
= 3000 кг + 700 кг = 3700 кг.

Выразить в минутах: 8 ч 12 с, 4 ч 25 мин. Так как 1 ч = 60 мин, 
1 мин = 60 с, то 8 ч 12 с = 8

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/217857-velichiny-i-ih-izmerenija