Конспект урока на тему: «Применение производной к построению графиков функций»

Тема урока: «Применение производной к построению графиков функций»

Тип урока: изучение нового материала.

Цели: Образовательные:

- обобщить знания, полученные при изучении темы «Производная и её применение к построению графиков функций»;

- формировать конкретные математические знания и компетентности, необходимые для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Развивающие:

- развивать умение исследовать функцию, строить графики, анализировать, устанавливать причинно-следственные связи, необходимые соответствия и делать выводы;

Воспитательные:

- формировать коммуникативные умения: слушать, представлять результат исследований и поиска, аргументировать, работать с различными цифровыми ресурсами.

Задачи: - научить применять производную для реализации схемы исследования функции;

- научить строить график функции на основе проведённого исследования.

Оборудование и раздаточный материал:  таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Ход и содержание урока:

Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, настраивает на работу. Предлагает проверить готовность рабочего места.

Ученики: приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку.

Актуализация знаний:

Учитель: Перед вами график  функции  y = f (x). Какие свойства функции можно определить по графику? Назовите их.

Ученики дают ответы на поставленные вопросы (D(f) = R;  функция непрерывна

3) Функция возрастает  на отрезке [-2; 0,5] и на промежутке  [3; +∞), а значит,  f '(x) > 0  на  (-2; 0,5) и на (3; +∞). Убывает на (-∞; -2] и на  [0,5; 3], а,  значит, f '(x) < 0   на (-∞; -2) и на  (0,5; 3); точки минимума:  x = -2    x = 3; наибольшее значение функции не существует, наименьшее равно-2 при = 3; E(f) = [-2; +∞).)

Учитель:Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f(x), заданной аналитически.

Ученики: Учащиеся формулируют: алгоритм:

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

Выявление затруднений, проблемы :

Учитель: А теперь исследуйте функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Ученики: работают в тетрадях.

D(f) = R,  f(x) непрерывна на D

Функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

Точки пересечения с осью х:  (0; 0) и (-3; 0), т. к. f(x) = 0, т. е. ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x (x² + 6 x + 9) = 0;  ⅓x (х + 3)² = 0;  х = 0; х = -3 с осью у: (0; 0).

Производная функции: f '(x) = x² + 4х + 3,  D(f '(x)) =R

критические точки: f '(x) = 0 при х = -3, х = -1.

Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках:

  f '(x) > 0   на (-∞; -3) и на (-1; +∞); f '(x) < 0 на  (-3; -1), значит, f(x)  возрастает  на (-∞; -3] и на  [-1; +∞), убывает на  [-3; -1].

fmax = 0 при х = -3, fmin = -4 при х = -1

           4) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

           5) E(f) = R

     Учитель:вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя результаты исследования, построить график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.                  .

Ученики: выполняют задание. Ответы учащихся.

Учитель : предлагает нескольким учащимся озвучить затруднения.

 Какое задание вы должны были выполнить? 

Почему у вас возникли затруднения?

 - Что вы используете для исследования функции?

Ученики: Используя данные исследования, построить график функции.

Не знаем способа построения графиков по данным исследования функции

Производную.

Изучение нового материала:

Учитель: Сформулируйте цель вашей деятельности.

Ученики: Узнать способ построения графика, используя исследование функций с помощью производной.

Учитель: Сформулируйте тему урока.

Ученики: Применение производной для построения графиков функций.

Учитель: Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графиков функций?

Ученики: Таблицы с некоторыми точками, принадлежащими графику.

 Учитель: Но часто точки не дают объективной картинки графика. И теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу?

Ученики: Нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график.

Учитель: Давайте заполним таблицу.

Ученики: выполняют заполнение:

Учитель:Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.

Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график?

Ученики: Можно найти несколько дополнительных точек, принадлежащих графику функции.

Первичное закрепление приобретенных знаний:

 Учитель:Что теперь необходимо сделать?

Ученики: надо научиться использовать алгоритм для построения графиков).

     Учитель:Постройте теперь график функции  . f(x) = х + .

      Ученики  Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях: D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞),  f(x) непрерывна на D (f); производная функции:f '(x) = 1 – 4/ x²; D(f ') = (-∞; 0) U (0; + ∞); критические точки: = 0 при х = 2 и х = -2, точек, в которых f'() не существует – нет.

Таблица:

  Дополнительные точки:

 Строят график функции.

Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу:

Учитель: А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм. Раздаются карточки с заданиями.

Ученики:выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом.

Включение в систему знаний и повторение:

Учитель: Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.

Решаются задания из КИМов.

Итог урока:

Учитель: Что нового вы сегодня узнали?

Ученики:Мы узнали, как можно построить график функции с помощью производной.

Учитель: Что вы создали?

Ученики:Мы создали алгоритм построения графика.

Учитель: Оценивает работу и записывает домашнее задание.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/232479-konspekt-uroka-na-temu-primenenie-proizvodnoj