Задачи для проведения математических пятиминуток в 5-7 классах

Задачи для проведения математических пятиминуток в 5-7 классах

1) В одном из четырёх ящиков лежит яблоко (остальные пустые). За один ход можно класть два яблока либо в один ящик, либо в разные. Можно ли через несколько ходов добиться того, чтобы во всех ящиках оказалось одинаковое количество яблок?

2) Найти целое число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.

3) Является ли число квадратом некоторого натурального числа (подряд выписаны все числа от 1 до 2014)?

4) Предположим, что справедливы следующие утверждения:

а) среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые не являются малярами;

б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров;

Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

5) Найдите натуральное число , если из трёх следующих утверждений два верны, а одно – неверно:

а) – точный квадрат;

б) последняя цифра числа есть единица;

в) – точный квадрат.

6) Из четырёх деталей одна отличается по массе от остальных, имеющих одинаковую массу. Как выделить её двумя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь? Можно ли при этом выяснить, легче ли она остальных?

7) Доказать, что среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5.

8) В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?

9) Подберите натуральные числа так, чтобы выполнилось равенство

10) При каких целых значениях является целым число

11) Найдите такие простые числа такие, что

12) Сто разных фишек поставлены в один ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно менять местами. Удастся ли переставить фишки в обратном порядке?

13) Представьте, что Вы пилот самолёта, который летит из Москвы в Санкт-Петербург. Известно, что:

а) в самолёте 120 посадочных мест;

б) две недели назад самолёт ремонтировали;

в) пилот старше самого младшего пассажира на 5 лет;

г) стюардесса младше пилота на 2 года;

д) самый младший пассажир младше штурмана на 10 лет;

е) пилот зарабатывает в 3 раза больше стюардессы.

Сколько лет пилоту?

14) Что больше: или ?

15) Назовём уголком фигуру, составленную из трёх квадратиков со стороной 1 в виде буквы «Г». Можно ли замостить уголками прямоугольник размером

16) На один рубль требуется купить 40 почтовых марок: 1-копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?

17) На острове стоит прожектор, освещающий отрезок моря длиной в 1км. Прожектор вращается равномерно вокруг вертикальной оси, делая один оборот в минуту. Какова наименьшая скорость, с которой должен двигаться катер, чтобы подплыть к острову незаметно?

18) В 9«Г» классе учатся три брата: Лёня, Алёша и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них получает подряд две тройки или две четвёрки, то дальше он учится кое-как и получает тройку. Если он получает подряд две пятёрки, то он совсем перестаёт учиться и получает двойку. Если же он получает две разные оценки, то следующей оценкой будет большая из полученных. В начале полугодия Лёня получил 4 и 5, Алёша – 3 и 2, Саша – 2 и 4. Какие итоговые оценки они получат за это полугодие, если учитель выставил им по 30 оценок, а итоговая оценка – ближайшее натуральное число к среднему арифметическому полученных оценок?

19) Назовём натуральное число симпатичным, если в его записи встречаются только нечётные цифры. Сколько существует восьмизначных «симпатичных» чисел?

20) Из трёх жителей K,M и P отдалённого района один является правдолюбцем (всегда говорит правду), другой – лжецом (всегда лжёт), третий – хитрецом (иногда лжёт, иногда говорит правду). Они высказали следующие утверждения:

K: я хитрец; M: это правда; P: я не хитрец.

Определить, кем в действительности являются K,M и P. Ответ обосновать.

21) В августе цена на билеты в кинотеатр составила 120 рублей. В сентябре после снижения цен на билеты количество посетителей увеличилось на 50% , а общий сбор увеличился на четверть. На сколько рублей была снижена цена на билеты в сентябре?

22) Лев съедает овцу за 1 час, медведь – за 2 часа, а волк – за 3 часа. За сколько времени съест овцу компания из льва, медведя и волка?

23) Найдите значение выражения

24) Даны числа от 1 до 33. Можно ли разбить их на группы, состоящие из трёх цифр, так, чтобы в каждой группе сумма двух чисел была равна третьему числу?

25) Каждый из людей, когда-либо живших на Земле, сделал определённое число рукопожатий. Доказать, что число людей, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно.

26) На столе стоят 7 стаканов – все вверх дном. За один ход разрешается перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

27) Найдите коэффициент при у многочлена

28) Когда добрая фея взмахивает волшебной палочкой, появляются либо 100 карамелек и 100 ирисок, либо 101 карамелька и 98 ирисок, либо 103 карамельки и 94 ириски. На детском празднике фея взмахнула палочкой несколько раз, и появилось 2943 карамельки. Сколько появилось ирисок?

29) Доказать, что число является составным.

30) Поезд идёт из Новосибирска в Омск. В поезде едут пассажиры: Иванов, Петров и Сидоров. В поездной бригаде такие же фамилии имеют соответственно машинист, кочегар и кондуктор. Известно, что:

а) пассажир Иванов живёт в Новосибирске;

б) кондуктор живёт на полпути между Омском и Новосибирском;

в) пассажир, однофамилец кондуктора, живёт в Омске;

г) ближайший по месту проживания сосед кондуктора пассажир зарабатывает в год втрое больше кондуктора;

д) пассажир Петров зарабатывает в год 20000 рублей;

е) Сидоров из бригады выиграл у кочегара партию на биллиарде.

Как фамилия машиниста?

Решение задач по математике для средних школьников.

1) Заметим, что на любом шаге количество яблок будет нечётным, следовательно, их нельзя поровну разложить по 4 имеющимся ящикам.

Ответ:нет.

2) Очевидно, это двузначное число. Запишем его в виде Тогда условие задачи можно записать так:

Ответ:35.

3) Если это полный квадрат, то квадрат чётного числа. Следовательно, данное число должно делиться на 4, что, очевидно, не имеет места.

Ответ:нет.

4) Из условия следует, что не маляры, которые купаются каждый день в бассейне, не имеют телевизоров. Следовательно, маляры, имеющие телевизоры, не купаются в бассейне каждый день. Отсюда и следует, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне.

Ответ:следует.

5) Заметим, что условие б) не совместимо с условиями а) и в), поскольку точный квадрат не может оканчиваться ни на 3, ни на 2. Следовательно, так как справедливыми должны быть два условия, необходимо исключить второе условие. Положим Можно составить уравнение:

Отсюда легко найти, например,

Ответ:

6) Положим на чашки по одной монете. Если весы останутся в равновесии, то на чашках лежали хорошие монеты. Заменим одну из этих монет одной из оставшихся, произведём второе взвешивание. Если весы останутся в равновесии, то фальшивая монета – четвёртая (оставшаяся; только в этом случае мы не сможем определить, легче она или тяжелее остальных). Если же опустится одна из чашек, то фальшивая – та монета, которую положили на чашку при втором взвешивании. Если при первом взвешивании весы не будут в равновесии, то хорошими будут две оставшиеся; при втором взвешивании заменим одну из ранее взвешивавшихся монет одной из хороших оставшихся.

7) Ясно, что при делении на 5 могут получаться ровно 5 остатков. Следовательно, если рассматривать 6 чисел, то у каких-то двух из них будут совпадать остатки при делении на 5. Именно их разность и будет делиться на 5.

8) Если предположить, что в каждом месяце дни рождения отмечают не более трёх учеников, получится, что в классе не более 36 человек. Противоречие.

Ответ:найдётся.

9) Перенося 2 в правую часть уравнения, получим, что квадрат некоторого натурального числа при делении на 3 даёт остаток 2, что невозможно.

Ответ:таких не существует.

10)

Понятно, что это число будет целым только в том случае, когда

Отсюда получается, что

Ответ:

11) Очевидно, Еслиодно решение найдено.

Поскольку может быть только нечётным, обязательно Однако, легко видеть, что в этом случае при нечётных левая часть уравнения (а значит, и ) должна делиться на 3, чего быть не может, ибо число простое.

Ответ:

12) Заметим, что при такой перестановке чётность номера фишки не изменяется, а для того чтобы фишки оказались расставленными в обратном порядке, необходимо, чтобы, например, номер 100 стал номером 1.

Ответ:нет.

13) Задача на проверку внимательности – решающему задачу необходимо назвать собственный возраст, так как ему говорят, что он – пилот. Все последующие утверждения – исключительно для отвлечения внимания.

14) представим первое число в виде

,

а второе – в виде

Ясно, что . Следовательно, второе число больше.

Ответ:второе число больше.

15) Площадь уголка равна 3, а площадь прямоугольника, очевидно, не делится на 3.

Ответ:нет.

16) Пусть 1-копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Тогда имеем соотношения:

Используя второе равенство, получим: . Тогда возможен только один вариант:

Ответ: 1-копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных.

17) Скорость катера будет наименьшей, если он будет незаметно подплывать к острову в течение 1 минуты. За это время он должен будет проплыть 1 км. Следовательно, его скорость равна 60 км/ч.

Ответ:60 км/ч.

18) Выпишем все 30 оценок каждого, учитывая указанные особенности из получения:

Лёня: 4,5,5,2,5,5,2,5,5,2,5,5,2,5,5,2,5,5,2,5,5,2,5,5,2,5,5,2,5,5;

Алёша: 3,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3;

Саша: 2,4,4,3,4,4,3,4,4,3,4,4,3,4,4,3,4,4,3,4,4,3,4,4,3,4,4,3,4,4.

Найдём средние арифметические выписанных чисел и укажем ближайшие к ним натуральные числа.

Ответ:Лёня – 4, Саша – 4, Алёша – 3.

19) Каждую цифру в «симпатичном» числе можно независимо от других выбрать пятью способами (так как нечётных цифр ровно 5). Следовательно, по известному из комбинаторики правилу произведения, всего таких чисел штук.

Ответ: штук.

20) Заметим, что К не может быть правдолюбцем, то есть К – либо лжец, либо хитрец. Предположим, что К – хитрец. Тогда получается, что М и Р оба говорят правду, следовательно, оба являются правдолюбцами, чего быть не может. Допустим, что К – лжец. Тогда М и Р – не лжецы. При этом М лжёт, а Р говорит правду. Следовательно, М – хитрец, а Р – правдолюбец.

Ответ: К – лжец, М – хитрец, Р – правдолюбец.

21) Пусть цена была понижена на рублей. Тогда новая цена. Пусть первоначально билеты купили человек. Тогда после понижения цены билеты купили человек. Первоначальная прибыль равна рублей. Прибыль после понижения цены равна рублей. По условию Отсюда находим

Ответ:цену понизили на 20 рублей.

22) Из условия ясно, что за 1 час лев съедает овцу целиком, медведь за 1 час съедает половину овцы, а волк за час – треть овцы. Значит, за 1 час все вместе они съедят овцы. Следовательно, одну овцу они съедят за часа.

Ответ: часа.

23) Перепишем выражение в виде

Ответ:

24) Если бы это было возможно, то сумма трёх чисел в каждой группе была бы чётной, а значит, сумма всех 33 чисел была бы чётной, что неверно.

Ответ:нет.

25) Человек жмёт руку, находясь в паре с другим человеком. Поэтому, естественно, число таких людей чётно.

26) Заметим, что на любом шаге число стаканов, стоящих вверх дном, нечётно. Следовательно, невозможно добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно.

Ответ:нет.

27) Ясно, что произведение равно нулю, ибо присутствует скобка , так как от последовательно отнимаются все буквы латинского алфавита. Значит и соответствующий коэффициент будет равен нулю.

Ответ:0.

28) Нетрудно видеть, что фея взмахнула палочкой ровно 29 раз. Далее, разность между числом 2900 и искомым числом ирисок вдвое больше разности (2943 – 2900).

Ответ:2814 ирисок.

29) Нетрудно проверить, что

30) Подобно задаче 13): в условии ясно говорится о том, что фамилия машиниста – Иванов.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/236387-zadachi-dlja-provedenija-matematicheskih-pjat