Приемы устных вычислений на уроках математики и во внеурочной деятельности в основной общеобразовательной школе

Приемы устных вычислений на уроках математики в основной общеобразовательной школе.

Использование специальных приемов устных вычислений - работа творческая, основанная на хорошем видении чисел, их свойств, понимании закономерностей изменяемости результатов при изменении компонентов действий, умение находить рациональные приемы вычислений. Опыт показывает, что много ошибок ученики допускают при выполнении действий с нулем и единицей. Поэтому на этапе закрепления следует чаще включать эти случаи в устные упражнения. Тем более, что эти упражнения можно сделать интересными.

Приведу примеры.

Найти значения выражений.

759145×8˗759145×7=759145×(8-7)=759145

874453×1+997836×0=874453+0=874453

0×(854201-746599)=0

0꞉(763024+697996)=0

Совершение навыков устных вычислений зависит не только от методики организации занятий, но во многом от того, на сколько сами учащиеся проявляют интерес к этой работе. Интерес можно вызвать, показав красоту и изящество устных вычислений, для чего использовать необычные вычислительные приемы. Иногда простой иллюстрации приема достаточно, чтобы он остался в памяти учащихся и использовался в дальнейшем. Так быстро запоминается правило возведения в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5: надо число десятков умножить на следующее за ним натуральное число и к результату приписать права 25.

Например, 65²=4225

Число десятков (6) умножить на число, на единицу больше (7)

6×7 и к результату справа приписать 25.

Оригинален прием умножения двух двузначных чисел, близких к 100.

Например, 98×93

Найдем дополнения каждого числа до 100; (2 и 7)

Из 100 вычтем сумму дополнений, запишем результат 100-(2+7)=91.

Умножим дополнения (2×7) и припишем полученное произведение справа к предыдущему результату 98×93=9114

Аналогично перемножаются числа, близкие к 1000

978×992=970176

1000-(22+8)=970

Приписали справа результат умножения 22×8=176

Быстро можно умножать многозначные числа на 5,50,500 и т.д. Для этого к половине числа соответственно приписать один нуль, два нуля, три нуля и т.д. Этот прием эффективен при умножении на 5,50,500 и т.д. четных чисел.

Например, 2468×5=(1234×2)×5=12340

84×50=42×100=4200

Чтобы устно умножить число на 25, можно разделить его на 4 и умножить на 100, т.к 25=100:4

3648×25=91200

2436×25=60900

4836×25=120900

В этих приемах используется известное учащимся сочетательное свойство умножения.

При умножении на 5,50,500 и т.д. нечетных чисел можно воспользоваться предыдущим приемом, представив число в виде суммы (или разности) четного числа и единицы и затем применив распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания).

Например, 47×50=(46+1)×50=46×50+1×50=2300+50=2350

При делении чисел на 5,50,500 и т.д. все надо выполнить в обратном порядке: удвоить делимое и отбросить один, два, три и т.д. нуля соответственно.

Например, 2150꞉50=4300꞉100=43

При делении чисел на 25 также следует все выполнить в обратном порядке: делимое умножить на 4 (или 2 раза на 2) и отбросить два нуля.

Например, 225꞉25; (225×2)×2=900

Отбросим два нуля. Получим ответ: 9.

Устный прием умножения на 25 можно применить к умножению на 26 и 24.

Например, 48×26=48×(25+1)=48×25+48×1=1200+48=1248

48×24=48×(25-1)=48×25-48×1=1200-48=1152

Учитывая, что 125×8=1000, можно устно вычислить произведение вида 32×125= (32꞉8)×1000=4000

Часто приходится умножать числа, близкие к разрядной единице.

Например, на 9,99,999 и т.д. В этом случае удобно представить эти числа в виде 10-1; 100-1; 1000-1 и т.д., а потом использовать распределительное свойство умножения относительно вычитания

Например, 146×9=146×(10-1)=1460-146=1314.

637×99=637×(100-1)=63700-637=63063.

Традиционно при устном умножении числа на 15 применяется распределительное свойство умножения. Следует подчеркнуть, что при умножении четного числа на 15 удобно применять следующий прием: к данному четному числу прибавить его половину и к результату справа приписать нуль.

Например, 14×15

14+7=21

Приписываем справа к результату нуль.

Ответ: 14×15=210

При умножении на 150 можно умножить данное число на 15, а затем умножить на 10.

Прием округления

599+326=600+325=925

497+196+299=492+200+300=992

196+199+197=200×3-8=592

652-298=654-300=354

143+27+38+29=150+20+37+30=237

597꞉4=(600-4)꞉4=150-1=149

Прием, основанный на зависимости результата от изменения компонентов действий.

56-38=60-42=18

225꞉75=450꞉150=3

440꞉55=880꞉110=8

364꞉6+118꞉3=364꞉6+236꞉6=(364+236)꞉6=600꞉6=100

Приемы умножения на 11, 101, 1001.

Умножение двузначного числа на 11.

26×11=286, т.к. 26×11=26×(10+1)=260+26=286

37×11=407, т.к. 37×11=37×(10+1)=370+37=407

Прием: между цифрами первого множителя вписываем сумму этих цифр.

Умножение двузначного числа на 101.

73×101=7373, т.к. 73×101=73×(100+1)=7300+73=7373

Умножение трехзначного числа на 101.

125×101=12625

348×101=35148

Прием: увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя. Этот прием дети легко усваивают при умножении в столбик.

Умножение трехзначного числа на 1001.

629×1001=629629, т.к. 629×1001=629×(1000+1)=629000+629=629629

Желательно, чтобы учащиеся сначала пользовались приемами устных вычислений, а затем проверяли результат, выполняя вычисления письменно.

Использование формул сокращенного умножения.

59²=(60-1)²=3600-120+1=3481

На внеклассных занятиях можно показать приемы, основанные на знании некоторых свойств чисел.

Порекомендовать учащимся записать в «копилку интересных чисел» и запомнить следующие факты:

3×37=111

7×11×13=1001 (число Шехерезады)

Это поможет легко вычислять произведения вида:

3×9×37=9×111=999

7×11×13×754=1001×754=754754

Обратить внимание, что 10²+11²+12²=365 и 13²+14²=365

Предложить вычислить значение выражения (10²+11²+12²+13²+14²)꞉365=((10²+11²+12²)+(13²+14²))꞉365=(365+365)꞉365=2

Наблюдая примеры

1+3=4=2×2

1+3+5=9=3×3

1+3+5+7=16=4×4,

……….

можно сделать вывод, что сумма любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1, равна произведению числа, выражающего количество слагаемых на это же число.

Можно легко находить сумму любого количества последовательных натуральных чисел, заметив, что сумма крайних из них, равна сумме двух других, равноудаленных от начала и конца, слагаемых (Задача юного Гаусса)

4+5+6+7+8+9+10+11+12=16×3+8=56

На внеклассных занятиях для «Состязаний в устном счете» можно использовать задания вида:

Найдите простой прием вычислений и вычислите значение выражения устно или полуписьменно, записывая промежуточные результаты

1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+1/(4×5)+1/(5×6)+1/(6×7)+1/(7×8)+1/(8×9)+1/(9×10)

Решение

Перепишем данную сумму в виде:

(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/9-1/10)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10=9/10

1/(10×11)+1/(11×12)+1/(12×13)+1/(13×14)+1/(14×15)+…+1/(98×99)+1/(99×100)

Решение

1/10-1/11+1/11-1/12+1/12-1/13+…-1/98+1/98-1/99+1/99-1/100=1/10-1/100=9/100

99-97+95-93+91-89+…+7-5+3-1

1000000-(1000000-(1000000-(1000000-(1000000-999999))))

Ответ:1

Все рассмотренные приемы устных вычислений имеют математическое обоснование, понятны школьникам. Они помогут учителю в организации устного счета на уроке, сделают более интересными и полезными внеклассные занятия по математике, повысят интерес учащихся к устным вычислениям и будут способствовать формированию прочных вычислительных навыков.

Список использованной литературы

Я.И. Перельман «Занимательная арифметика». Триада-Литера. Москва, 1994

Г.А. Стальков «Устный счет» Учпедгиз Москва,1955

А.Я. Котов «Вечера занимательной арифметики» Просвещение Москва, 1967

Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Просвещение Москва, 1988

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/25349-priemy-ustnyh-vychislenij-na-urokah-matematik