Методы доказательства неравенств

Доказательство неравенств

Данная статья предназначена для учеников старших классов, интересующихся математикой. Необходимы твердые базовые знания по курсу алгебры.

Доказательство неравенства подразумевает под собой последовательную цепочку тверждений, первое из которых – само неравенство, а последнее очевидно является верным. При этом каждое утверждение должно следовать из того, что иждет вслед за ним (кроме верного последнего). Следствия эти очень важны, поскольку при корректных преобразованиях из верного утверждения следует только верное, но и из ложного утверждения также можно вывести верное с помощью неравносильных переходов.

Какие преобразования неравенства являются корректными?

1. Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства или вычитание его же.

2. Умножение на положительное число с сохранением знака неравенства или на отрицательное при замене знака.

3. Прибавление верного неравенства (большая часть складывается с большей, меньшая с меньшей)

Существует ряд известных неравенств, с помощью которых при замене переменных можно доказывать неравенства.

Например,

1) Неравенство о средних:

Данное неравенство утверждает соотношение между средним квадратическим, средним арифметическим, средним геометрическим и средним гармоническим.

Неравенство верно для положительных чисел.

2) Неравенство Коши-Буняковского-Шварца (КБШ):

Это неравенство применяется для чисел любого знака. Оно удобно для оценки сумм попарных произведений, или, наоборот, сумм квадратов.

3) Неравенство Йенсена:

Пусть -- неотрицательные вещественные числа, причем . Тогда для любой выпуклой вниз функции f : (a,b) → |R и для любых имеет место неравенство:

Если функция выпукла вверх, то знак неравенства меняется на противоположный.

Если неравенство обратилось в равенство, то функция на отрезке линейна.

4) Неравенство Караматы:

Про функцию известно, что А еще набор {x_i} мажорирует набор {y_i}. Тогда верно:

5) Транснеравенство:

Для одинаково упорядоченных наборов неотрицательных чисел {a_i} и {b_i} и любой перестановки верно следующее:

6) Неравенство Чебышева:

При и верно:

7) Неравенство Седракяна:

Пусть, и . Тогда:

Также при доказательстве неравенств удобно помнить о следующих свойствах:

1) Симметрии: если неравенство симметрично, можно упорядочить переменные.

2) Однородности:F(a₁,a₂, …, a_n) называется однородной степени m, если для любого вещественного k верно: F(ka₁,ka₂, … , ka_n) =k^mF(a₁,a₂, …, a_n).Однородность позволяет делать какие-нибудь выражения равными известной константе.

Подборка неравенств на разные темы

Неравенства, в которых не нужны никакие специальные знания:

1. ,

2.

3.

4. ,

5.а)

б)

6.а)

б)

7. a)

б)

Неравенства, в которых применяется какое-либо неравенство о средних:

1.a) , б) ,

в)

г)

2. а), б) в)

3. а)

б)

в)

4. Площадь треугольника фиксирована и равна S. Какие существуют ограничения на периметр?

5.

6. Найдите максимум функции

а) б)

Неравенства, решающиеся с помощью неравенства Коши-Буняковского:

1., если

2., если и

3.

4., где переменные – стороны некоторого треугольника.

5.

6. а)

б)

7.

Неравенства, которые решаются с помощью неравенства Йенсена:

1. При найдите максимум

2. Пусть и . Докажите, что

3. Докажите, что при неравенство

4. Пусть – стороны некоторого многоугольника, а Р – его периметр. Докажите, что .

5. Для докажите неравенство: .

6. Пустьa,b,c - стороны треугольника. Докажите неравенство:

7. Пусть, причем . Докажите, что

Неравенства, решающиеся с помощью свойств симметрии и однородности:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ,где и

Неравенства, решающиеся с помощью метода математической индукции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Неравенства, решающиеся с помощью неравенства Седракяна:

1) , 2)

3) , где и (неравенство Чебышева!)

2.

3. Пусть – стороны некоторого многоугольника, а Р – его периметр. Докажите, что .

4., где , … ,

5. Рассматривается последовательность с положительными членами

Докажите, что существует такое n, что для любой такой последовательности

6. Из внутренней точки Мзаданного треугольника ABC проведены перпендикуляры MA₁MB₁ и MC₁ к прямым BC,CA и AB соответственно. Для какой внутренней точки M выражение принимает наименьшее значение?

А также подборка интересных неравенств, выбор метода решения которых предоставляется читателю:

1.

2.

3.

4. Докажите, что для любых двух треугольников с углами и верно

5.

6. a) Найдите наименьшее постоянное C такое, что неравенство

Выполняется для всех неотрицательных
b) Выясните, когда для полученного значения C выполняется равенство.

7. n>k,

8.

9.

10.

11.

12.

13. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

14.

15. Докажите, что среди любых семи чисел можно найти два числа xиy, для которых верно

16.

17.

18. a)
b)

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25. — одного знака

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. a)
b)

34.

35.

36.

37.

38.

39. Неравенство Бернулли

40.

41. — углы треугольника

42. Докажите, что из всех выпуклыхn-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный.

43.

44.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/265773-metody-dokazatelstva-neravenstv