Волшебные квадраты

Тема: «Волшебные квадраты»

Сведения об авторах:

Осипова Любовь Валерьевна,

МБОУ «Тренькасинская СОШ», 7 класс;

Абрамов ДмитрийЕвгеньевич,

МБОУ «Тренькасинская СОШ», 7 класс

Научный руководитель:

Иванова Валентина Ивановна,

учитель математики высшей категории МБОУ «Тренькасинская СОШ»

Введение. Наши родители выписывают Российскую газету «Труд», где публикуют судоку , т.е. головоломку с числами. Иногда папа пытается заполнить квадрат, но бывает безуспешно. Я взяла газету в школу, и мы с ребятами с интересом начали заполнять квадрат. Спорили, каждый доказывал свою правоту. Тогда учитель математики показала с чего нужно начинать разгадывать, а также раскрыла несколько секретов заполнения судоку. Сказала, что судоку иногда называют «магическим квадратом» или латинским квадратом 9-го порядка. Валентина Ивановна спросила, не хотите научиться заполнять магические квадраты, т.е. заполнять пустые клеточки квадрата 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6, 7 на 7, 8 на 8, 9 на 9 и т.д.числами так, чтобы по вертикали, горизонтали и диагонали получилось одно число. Мы заинтересовались. Почти в это время по второму каналу начали показывать ШОУ «Удивительные люди». Нас очень поразила пятилетняя девочка, которая складывала числа, одновременно читая стихотворение. Мы тоже хотели чем-то удивить, хотя бы, своих одноклассников. Вот так мы пришли к этой теме «Волшебные квадраты».

Данная работа посвящена знакомству с различными волшебными квадратами, их свойствами и способами заполнения. Мы считаем, что наша тема очень интересна и актуальна.

Цель проекта:

Научиться заполнять волшебные квадраты четного и нечетного порядка различными способами.

Задачи:

- познакомиться с историей появления волшебных (магических) квадратов;

- выяснить свойства волшебных квадратов;

- изучить различные способы заполнения волшебных квадратов.

Оглавление

1. Введение……………………………………………………………………………………….. 1

2. Основная часть. Построение магических квадратов третьего порядка методом перебора и методом террас………………………………………………………………………………….

3. Построение магических квадратов нечетного порядка методом террас и методом Делаира (или методом латинских квадратов)………………………………………………………………

4. Построение магических квадратов четного порядка методом Рауз – Болла и методом квадратных рамок………………………………………………………………………………….

I. Построение магических квадратов третьего порядка двумя способами.

Первый способ – метод перебора.

В 5 классе мы научились заполнять волшебные квадраты третьего порядка с помощью рассуждений. Так как сумма чисел от 1 до 9 равна 45, значит в каждой строке, столбце и по диагоналям сумма чисел должна быть равна 15. Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9. 9+1+5, 9+2+4, 8+1+6, 8+2+5, 8+3+4, 7+2+6, 7+3+5, 6+4+5. Мы знаем, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах 4 раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах 3 раза (строка, столбец и диагональ). Четыре раза встречается число 5, значит оно в центре таблицы. Трижды встречаются числа 2, 4, 6, 8. Значит, они должны стоять в углах таблицы. Продолжая рассуждения, заполним квадрат.

В ходе решения этой задачи мы выяснили такие свойства:

1. В центре квадрата стоит число, записанное в ряду пятым, т.е. одинаково удаленное от левого и правого краев последовательности: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Числа, стоящие рядом с центральным, а также числа, записанные от них через одно число, расположены по диагоналям.

3. Остальные числа расположены по вертикали и горизонтали.

4. Чтобы найти сумму чисел в каждом столбце или строке, можно центральное число умножить на 3.

Мы подумали, а может быть существует и другой способ заполнения? Поискали в интернете, поискали в книгах и вот результат.

I I способ – метод террас.

С четырех сторон добавляем террасы. В полученной фигуре располагаем числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат перемещаем внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата.

Попробовали располагать числа сверху вниз, в результате получили магический квадрат. И к нашему удивлению мы поняли, что все другие магические квадраты, составленные из этих же чисел, можно получить из первого симметрией относительно строки, столбца или диагонали.

А если квадрат 5 на 5?

II. Построение магических квадратов нечетного порядка методом террас и методом Делаира или методом латинских квадратов.

Первый способ: метод террас, который придумали древние китайцы. Этот метод применяется для построения магических квадратов нечетного порядка.

Рассмотрим квадрат 5 на 5. С четырех сторон к этому квадрату добавляем террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат. В полученной фигуре располагаем числа от 1 до 25 косыми рядами снизу вверх или сверху вниз. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата.

Мы задались вопросом: нельзя ли воспользоваться этим методом для заполнения квадратов нечетного порядка, например четными числами от 4 до 52.

Оказывается, методом террас можно заполнить не только традиционный магический квадрат нечетного порядка (т.е. заполненный числами от 1 до п2), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной.

Мы без труда заполнили методом террас магические квадраты 7-го и 9-го порядка.

Второй способ: метод Делаира или метод латинских квадратов.

Из целых чисел от 0 до 4 строим два латинских квадрата размером 5 на 5.

Первый квадрат строим таким образом:

1) произвольно заполняем нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы целыми числами от 0 до 4, следуя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2 ((5-1)/2).

2) дальше заполняем снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой – первое число переносится в конец.

Построение второго латинского квадрата.

1) произвольно заполняем верхний горизонтальный ряд квадратной таблицы 5 на 5 целыми числами от 0 до 4, следуя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2.

2) остальные горизонтальные ряды таблицы заполняем сверху вниз так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой – первое число переносится в конец строки.

Дальше преобразовываем полученные два латинских квадрата:

1) умножим каждое число первого квадрата на 5;

2) увеличим на 1 каждое число второго квадрата;

3) произведем поклеточное суммирование двух преобразованных квадратов. Получим волшебный квадрат.

С такой гордостью мы показали на уроке математики заполнение квадрата 7-го порядка двумя способами. Но при заполнении методом Делаира выбирали произвольную перестановку чисел от 0 до 6 так, чтобы последним числом в этой перестановке было число 3 (6:2).

Перейдем к квадратам 4 на 4 и 8 на8.

III.Построение магических квадратов четного порядка методом Рауз – Болла

и методом квадратных рамок.

Рассмотрим квадрат 4 на 4.

Для заполнения волшебного квадрата 4-го порядка мы использовали «метод Рауз-Болла». Этот метод состоит в следующем:

1). В данный квадрат впишем числа в их естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки.

2). В квадрате проведем диагонали.

3). Поменяем местами числа, расположенные во взаимно симметричных ячейках (относительно центра квадрата), через которые прошли диагонали. 1-16; 6-11; 13-4; 10-7.

4). Числа, через которые диагонали не прошли, оставляем на месте.

Можно наоборот, т.е. оставить на месте числа, через которые прошли диагонали, а поменять местами числа, не попавшие на диагонали и симметрично расположенные относительно центра квадрата.

Итак, какими же свойствами обладает этот квадрат?

1. Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34.

2. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2 на 2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток.

А если магическая константа не 34, как заполнить в таком случае?

Оказывается, для построения любых магических квадратов 4 на 4, например, с константой 46 надо:

во-первых: построить один квадрат с константой 34;

во-вторых, нужно посчитать какое число мы должны прибавить к каждому числу волшебного квадрата. Для этого находим разность 46-34=12; 12:4=3. Значит, к каждому числу волшебного квадрата прибавим по 3.

Рассмотрим квадрат 8 на 8. Первый способ: метод Рауз-Болла.

Для этого: 1). Проведем диагонали квадрата 8 на 8 и соединим середины его сторон, т.е. проведем диагонали в четырех угловых квадратах 4 на 4.

2). Поменяем местами взаимно-симметричные пары чисел: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33 и получим магический квадрат.

Второй способ: метод квадратных рамок.

На поле наносим 4 квадратные рамки. Затем по линиям рамок расставим числа от 1 до 64 по порядку, начиная с левого верхнего угла исходного квадрата, причем первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинаем с верхней, свободной, справа клетки квадрата и обходится против часовой стрелки и т.д. Числа, не попавшие в квадрат, переносим внутрь его так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата.

Заключение.

Проведя эту исследовательскую работу, мы узнали историю возникновения магических квадратов и четыре способа их составления: метод Рауз-Болла, метод террас, метод квадратных рамок и метод Делаира или метод латинских квадратов. Для заполнения четных квадратов мы пользовались методом Рауз-Болла и методом квадратных рамок, а для нечетных - методом террас и метод Делаира или метод латинских квадратов.

Мы раньше и не могли думать, что за короткое время можно построить магические квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го , 8-го и 9-го порядка. А сейчас мы спокойно можем заполнить волшебные квадраты достаточно легко, быстро и красиво. Поняли, что для успешного решения задач, связанных с необычными квадратами, требуются знания как свойства магических квадратов, методы заполнения и смекалка. Действительно, магические квадраты - это нечто удивительное, интересное и увлекательное. Также поняли, что главное – пытаться изо всех сил добиться поставленной цели.

Также нами проведено исследование по сопоставлению некоторых качеств учащихся нашего класса с так называемым магическим квадратом Пифагора, который считал, что судьба человека зависит от даты его рождения. Он считал, что с помощью магического квадрата можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки. Мы составили психологический портрет учащихся нашего класса, и мы с ним в основном согласны.

Библиографический список:

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989.

2. И.Я.Депман, Н.Я.Виленкин. Учебник математики. Москва. Просвещение. 1989.

3.http://ru.wikipedia.org/wiki.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/278882-volshebnye-kvadraty