Конспект урока для 10 «Б» класса на тему: «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»

№ этапа

Кол-во минут

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.Организационный момент

1 мин

Объявить тему урока, сформулировать цели урока, активизировать внимание учащихся.

Девиз урока: «Математика уступает свои крепости, лишь сильным и смелым». Слайд 1,2.

2.Проверка домашнего задания

Исследовать функциюна монотонность и экстремумы. К доске вызывается один из учащихся.

Самостоятельная работа одного из учеников у доски

3.Актуализация знаний и умений

5 мин

Работа учителем фронтально с классом.

Учитель задает вопросы:

1.Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

2.Какая точка называется критической точкой функции?

3.Необходимое условие экстремума функции.

4.Признак максимума (минимума) функции.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя:

1.Если() в каждой точке интервала I, то fвозрастает (убывает) на I.

2. точкаxназывается критической, если производные в ней обращаются в нуль , или не существует.

3.Если точка x₀ является точкой экстремума функцииf и в этой точке существует производнаяf’, то она равна нулю: .

4. Признак максимума (минимума): если функция f непрерывна в точке x₀, а () на интервале (a;x₀) и () на интервале (x₀;b), то точка x₀ является точкой максимума (минимума) функции f.

4.Проверка домашнего задания

2 мин

Учитель: Дома вы проводили полное исследование данной функции и строили ее график. Какой из этих графиков является графиком функции . Ответ обоснуйте. ( Работа со слайдом 3).

Проверяется работа ученика у доски.

5.Объяснение нового материала

5.1. Водная беседа учителя. Постановка перед учащимися учебной проблемы.

5.2. Рассмотрение различных вариантов поведения непрерывной на отрезке функции

6.3. Составление алгоритма

6.4. Работа с образцом решения упражнения

15 мин

Испокон веку люди, приступая к осуществлению своих мероприятий, пытались принимать оптимальные решения. Некоторые решения могли приниматься без специального математического анализа, просто на основе опыта и здравого смысла.

Возьмем пример: человек вышел утром из дому, чтобы ехать на работу. По ходу дела ему приходится принять целый ряд решений: брать ли с собой зонтик? В каком месте перейти улицу. И так далее.

С задачами, требующими оптимального решения, в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Решение таких задач опирается на точные математические расчеты. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший” – Слайд 4).

П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. Слайд 5

В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение. Учиться решать такие задачи мы будем решать на последующих уроках, а сегодня попробуем отыскать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

В курсе математического анализа доказывается теорема Вейерштрасса.

Слайд 6.

Давайте рассмотрим различные варианты поведения непрерывной на отрезке функции, и попытаемся определить, в каких точках она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Обсуждение в группах по предложенному плану. Обмен мнениями. Фиксация выводов.

План обсуждения слайдов:

- Что можно сказать о монотонности функции на отрезке [a;b]?

- В какой точке функция достигает своего наибольшего значения?

- В какой точке функция достигает своего наименьшего значения?

- Что можно сказать о данных точках отрезка [a;b]?

- Какой вывод можно сделать?

А) Функция возрастает (убывает) на отрезке.

Слайд 7

Б) Функция имеет на отрезке [a;b] единственную точку экстремума.Слайд 8

В) Функция имеет несколько точек экстремума на отрезке [a;b].Слайд 9

Г) Анализ всех рассмотренных случаев, установление закономерности нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Беседа по слайду:

- Где функция может достигать своего наибольшего (наименьшего) значения на отрезке?

- Какой общий подход к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке можно применить?

Слайд 10

Выводы:

1.Если функция у = f(х) на отрезке [а; b]имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2.Если функция у = f(х) на отрезке [а; b]не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

3.Если на отрезке [а; b] функция имеет несколько критических точек, то своего наибольшего (наименьшего) значения она достигает, либо на концах этого отрезка, либо в критических точках, лежащих на данном отрезке.

Составление алгоритма. Слайд 11 Алгоритм записывается учениками в тетрадь.

Работа с образцом решения упражнения. Фронтальное повторение основных этапов решения с опорой на слайд. Слайд 12-13.

Учащиеся слушают водную беседу учителя.

Учащиеся работают со слайдами, обсуждают, отвечая на наводящие вопросы учителя самостоятельно приходят к выводам.

Ученики записывают алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке в тетрадь

Работа учащихся со слайдами. Запись решения в тетрадь

7.Первичное закрепление изученного материала

10 мин

А) Решение упражнения. Ученики у доски с комментированием.

- на отрезке ;

_- на отрезке .

Подведение мини-итога, повторение алгоритма.

Б) Самостоятельно: (обсуждение решения)

f (x) = x³ – 3x² + 3x + 2 на отрезке [– 2; 2].

Решение:

Найдем критические точки функции: ,, если . Отсюда, .

Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке, лежащей на этом отрезке :

Выберем из полученных значений наибольшее и наименьшее: .

Проверка через мультимедийный проектор. Слайд 14.

Двое учащихся выполняют работу у доски, остальные учащиеся в тетрадях.

Учащиеся самостоятельно выполняют задание в тетрадях.

Обсуждение решения и проверка правильности по слайду.

8. Применение алгоритма нахождения наибольшего наименьшего значения функции при решении задач ЕНТ, части «С».

5 мин

Вводное слово учителя: Сегодня мы уже говорили о большой практической значимости данной темы. Традиционно задачи, связанные с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке включаются в ЕНТ. Давайте попробуем применить полученные знания при решении задач из части «С».

Задача 1: Найдите наибольшее значение функции .(Слайд 15)

Решение.

Найдем область определения функции:значит .

Оценим значение выражения на отрезке .

Следовательно, подмодульное выражение отрицательно на отрезке .

3. Преобразуем данную функцию:

Найдем наибольшее значение функциина отрезке . , если отсюда или -4 не принадлежит отрезку . Вычислим значения функции в точках -3, 0, 3.

Наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: 4.

Данное задание решается одним учеником у доски с участием всего класса и учителя

9. Выполнение самостоятель-ной работы.

5 мин

(Работы сдаются на проверку учителю) Слайд 16. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

I в. на отрезке .

II в. = 9x + 3x² – x³ на отрезке [– 2; 2].

Учащиеся самостоятельно выполняют задание по вариантам на отдельных листах, которые сдают на проверку.

10. Рефлексия. Определение домашнего задания.

2 мин

Учитель предлагает учащимся обсудить урок и свою деятельность при постановке учебной задачи, планировании, изучении нового материала, обращая внимания на следующие моменты:

каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились;

способы, которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока;

какие чувства испытывали во время урока;

пережили ли вы чувство радости, успеха;

с каким настроением вы уходите с урока;

Дома предлагается выполнить задания:

Уровень «А»: № 305 (в, г).

Уровень «В»: № 306 (а).

Уровень «С»: Найдите наибольшее значение функции