Подготовка девятиклассников к ГИА по математике в новой форме ( из опыта работы)

Подготовка девятиклассников к ГИА по математике

в новой форме ( из опыта работы)

учитель математики Беляницкой СОШ Сергеева Ирина Павловна

Проверка математической подготовки выпускников основной школы традиционно является неотъемлемой частью российского школьного образования. При этом форма экзаменационных материалов претерпевает со временем существенные изменения. С 2012 года наряду с проверкой по алгебре осуществляется проверка геометрической подготовки.

Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». В модули «Алгебра» и «Геометрия» входят две части, соответствующие проверке на базовом и повышенном уровнях, в модуль «Реальная математика» - одна часть, соответствующая проверке на базовом уровне.

В модуле «Алгебра» части 1 содержатся восемь заданий базового уровня сложности по всем ключевым разделам курса алгебры основной школы:

Числа и вычисления – 2

Алгебраические выражения – 2

Уравнения и неравенства – 2

Числовые последовательности – 1

Функции и графики – 1.

В модуле «Геометрия» части 1 содержатся пять заданий базового уровня сложности по всем ключевым разделам курса геометрии основной школы:

Геометрические фигуры и их свойства – 1

Треугольники – 1

Многоугольники – 1

Окружность и круг – 1

Измерение геометрических величин – 1.

Модуль «Реальная математика» части 1 состоит из семи заданий базового уровня сложности, формулировки которых содержат практический контекст, знакомый учащимся или близкий их жизненному опыту:

Числа и вычисления – 2

Алгебраические выражения – 1

Функции и графики – 1

Геометрия – 1

Статистика и теория вероятностей – 2.

Модули «Алгебра» и «Геометрия» части 2 содержат по три задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. Все задания требуют полной записи хода решения и ответа. Задания расположены по нарастанию трудности – от относительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом курса и хороший уровень математической культуры.

В последние годы понятие базовой математической подготовки школьников претерпело изменения, связанные с изменениями в целях математического образования на современном этапе. Базовая подготовка в современном её понимании предполагает не только владение на элементарном уровне важнейшими алгоритмами, но и знание определений, основных свойств понятий, умение использовать соответствующую терминологию и символику, способность применять свои знания к решению несложных задач как математического, так и практического характера. Вместе с тем это тот минимальный объём знаний, который необходим для продолжения обучения на старшей ступени и для полноценного функционирования в современном обществе.

Особенность представления требований в стандарте состоит в том, что они охватывают различные стороны подготовки учащихся, связанные с познавательной областью: знания (понимание), умения, применение знаний в простейших практических ситуациях. Такой же подход применён и для формулировки планируемых результатов обучения. Отличие заключается в том, что категория «умения», в соответствии с особенностями и спецификой курса математики, подразделена на две: умение применить известный алгоритм и умение решить задачу, не сводящуюся к непосредственному применению известного алгоритма.

Таким образом, планируемые результаты обучения по каждой из учебных тем, в соответствии с её основным назначением и местом в курсе, в той или иной степени отражают следующие четыре категории познавательной области:

Знание / понимание: владение термином; владение различными эквивалентными представлениями (например, числа); распознавание (на основе определений, известных свойств, сформированных представлений); использование различных математических языков (символического, графического, вербального), переход от одного языка к другому; интерпретация.

Умение применить алгоритм: использование формулы как алгоритма вычислений; применение основных правил действий с числами, алгебраическими выражениями; решение основных типов уравнений, неравенств, систем.

Умение решить математическую задачу: задания, при решении которых требуется применение (актуализация) системы знаний; преобразование связей между известными фактами; включение известных понятий, приёмов и способов решения в новые связи и отношения, умение распознать стандартную задачу в изменённой формулировке.

Применение знаний в жизненных, реальных ситуациях: задания, соответствующие одной из первых трёх категорий данного списка, формулировка которых «облечена» в практическую ситуацию, знакомую учащимся и близкую их жизненному опыту.

Можно утверждать, что при новой форме аттестации от учащихся на базовом уровне требуется владение более широким кругом умений, относящихся к области познавательной деятельности. При выполнении заданий базового уровня экзаменационной работы учащиеся должны продемонстрировать определённую системность знаний и широту представлений, умение переходить с одного математического языка на другой, узнавать стандартные задачи в разнообразных формулировках, применять свои знания в практических ситуациях.

Полезные советы по выполнению заданий

Чтобы обеспечить успешное выполнение экзаменационной работы, полезно познакомить учащихся со спецификой её заданий, вооружить определёнными стратегиями их выполнения, обсудить способы самопроверки и самоконтроля.

Особенностью первой части экзаменационной работы является то, что для каждого из её заданий нужно указать только ответ, выбрав его из четырёх предложенных вариантов или вписав в отведённое для этого место. Однако, несмотря на это, включенные в работу задания необходимо выполнять в основном письменно, используя для этого черновик. Решение должно быть записано аккуратно и с достаточной степенью подробности. Это важно не потому, что черновик тоже сдаётся (он просматриваться не будет), а для того, чтобы ученик не допускал досадных ошибок. Например, если требуется преобразовать разность − , то целесообразно, чтобы ученик последовательно выполнил на черновике такие действия: −= = =

Если требуется найти значение выражения то можно, например, воспользоваться определением степени с целым показателем:

Можно использовать ещё и свойства степени: .

А можно воспользоваться формулой где n – натуральное число.

В любом случае это задание следует выполнять письменно, соотнося свои действия с известными теоретическими фактами. В противном случае возникают ошибки типа ˉ² = −16 или ( )ˉ² = .

Среди заданий первой части экзаменационной работы есть задания с выбором ответа, однако наличие ответов вовсе не означает, что верный ответ нужно угадывать, подбирать и т. д. Очень часто требуется непосредственное решение. Приведу примеры.

Пусть в задании предлагается установить, на каком из приведённых рисунков показано множество решений системы неравенств. Чтобы ответить на этот вопрос, указанную систему нужно решить, изобразить множество её решений на координатной прямой, а затем соотнести свой рисунок с приведёнными в задании.

Часто в экзамен включается текстовая задача и предлагается из четырёх указанных уравнений выбрать то, которое соответствует её условию. В этом случае вряд ли есть смысл анализировать уравнения и искать среди них нужное. Проще и эффективнее – составить уравнение и соотнести его с предложенными. При этом, однако, верное уравнение может быть записано не в том виде, к которому пришёл ученик, и важно уметь распознать равносильные уравнения.

Ещё один пример.

Формулой n-го члена с= задана последовательность, и спрашивается, какое из следующих чисел не является её членом: 1) −1; 2) − ; 3) − ; 4) − ? Хотя здесь можно было бы немного порассуждать и получить ответ на вопрос задачи устно, всё же проще, наверное, непосредственно вычислять один за другим члены последовательности – долго работать не придётся. мы увидим, что первые три указанных числа являются членами последовательности, а это означает, что верный ответ дан под номером 4. Можно «для гарантии» найти ещё и си убедиться, что число − действительно членом последовательности не является.

В то же время решение задачи и поиск полученного ответа среди предложенных вариантов – не единственно допустимая тактика. Бывает так, что целесообразно «идти от ответа». Пусть, например, требуется разложить на множители квадратный трехчлен 3x²+9x −30, и даны такие варианты ответа:

1) 3(х+2)(х−5); 2) 3(х −2)(х−5); 3) 3(х−2)(х+5); 4) 3(х+2)(х+5).

Конечно, можно решить эту задачу «в лоб», воспользовавшись соответствующей формулой. Однако кто-то, возможно, посчитает, что проще не раскладывать на множители трёхчлен, а перемножать двучлены, особенно если сразу увидеть, что ответы 2) и 4) отпадают, так как в этих случаях получается свободный член, не равный −30. и тогда остаётся выбрать верный ответ из двух оставшихся.

Но бывают и такие задания, когда нет другого пути, кроме как просматривать предложенные ответы – этого требует формулировка задания. Пусть, например, о числах α и b известно, что α – чётное число, а b – нечётное. Спрашивается, какое из следующих чисел при этом условии является нечётным: 1) αb; 2) 2(α+b); 3) α+b; 4) α+b+1. Вспоминая свойства делимости, последовательно устанавливаем, что αb – число чётное, произведение 2(α+b) тоже чётное, а сумма α+b,где одно слагаемое делится на 2, а другое – нет, является нечётным числом. Таким образом, выбираем ответ под номером 3. Заметим, что такого рода задания, сюжет которых связан со свойствами чисел, допускают простое и эффективное решение – моделирование на числовом примере. В данном случае можно взять, например, значения α=6 и b=7 и вычислить каждое из указанных выражений.

Иногда анализ предложенных вариантов помогает сразу увидеть верный ответ, и этим есть смысл пользоваться. Пусть, например, даны числа: 1) 60; 2) 64; 3) 66; 4) 68; требуется выяснить, какое из этих чисел не является членом арифметической прогрессии 4; 8; 12; 16... Очевидно, что члены прогрессии – это последовательные натуральные числа, кратные 4. Из предложенных для выбора чисел только одно не делится на 4 – это число 66. Понятно, что именно оно и не является членом прогрессии. Конечно, ответ на поставленный вопрос можно получить, решая эту задачу формально. А именно, можно задать прогрессию формулой n-го члена, α = 4n, и последовательно решать уравнения 4n = 60, 4n = 64, 4n = 66, 4n = 68, отыскивая то, которое не имеет натурального корня. Но совершенно очевидно, что первый способ предпочтительнее: он более осмысленный, да и время экономит. Но им могут воспользоваться только те учащиеся, которые умеют думать и подмечать закономерности.

Вообще, некоторые виды заданий рассчитаны на то, что ученик найдёт короткое решение, опираясь на известные факты. Вот пример такого задания. На рисунке изображена парабола и предлагается указать формулу, которой она задаётся. Здесь, конечно же, не предполагается, что ученик будет строить графики перечисленных функций, пока не наткнётся на нужный (хотя и такой длинный путь возможен). Достаточно увидеть, что все эти функции имеют вид у = αх² + b, вспомнить зависимость направления ветвей параболы от знака коэффициента α, что коэффициент b – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Тогда и станет очевидным, какой ответ является верным.

Важнейшим условием успешности выполнения заданий является осмысленность, осознанность действий ученика и просто здравый смысл. В противном случае, даже имея необходимые знания, можно прийти к неверному ответу. Вот пример задачи. Плата за коммунальные услуги составляла 800 р. Сколько придётся заплатить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%? 1) 48р. 2) 480р. 3)806р. 4) 848р.

Здесь типичная ошибка состоит в том, что учащиеся ограничиваются нахождением указанного процента от заданной величины; при этом их совсем не смущает то обстоятельство, что плата за коммунальные услуги, составлявшая 800 р., при её повышении на 6% стала равной 48р. Эта ошибка довольно типична: выполнив первое действие, учащиеся нередко забывают о втором. Однако тут налицо также и отсутствие здравого смысла, элементарного самоконтроля, непонимания того, что полученный ответ необходимо соотнести с условиями задачи. Ведь ученики, допустившие эту ошибку, получили парадоксальный результат: после подорожания услуг сумма платежа стала меньше! Тем самым ещё раз продемонстрировав полное отсутствие в своём сознании связи между решением математической задачи и описанной в ней жизненной ситуацией.

Вообще, привычка к самоконтролю, к самопроверке для учащихся не менее важна, чем знание правил и формул. Ведь человеку свойственно ошибаться. И всегдаполезно проверить себя, используя тот или иной подходящий в данной ситуации приём. Так, пусть требуется, используя готовый рисунок, решить систему уравнений. Найдя на рисунке нужную точку и «прочитав» её координаты, естественно проверить себя, подставив найденные числа в уравнения системы.

Часто ученик может проверить себя, выполнив обратные преобразования. Если, например, нужно представить в стандартном виде число 0,000019, то, получив соответствующее произведение, полезно решить обратную задачу – представить его в виде десятичной дроби.

Самопроверка важна как при выполнении заданий с выбором ответа (здесь в вариантах ответа представлены как раз наиболее распространённые ошибки, и можно угодить в расставленные «ловушки»), так и при выполнении заданий с кратким ответом (здесь иного пути просто нет).

Проверка по познавательным категориям

Планируя и осуществляя подготовку к экзамену, учитель стремится как можно полнее охватить содержание, выносимое на проверку. Но чтобы быть уверенным в том, что учащиеся достигли базового уровня подготовки, полезно вспомнить и ещё об одной характеристике заданий первой части работы – о познавательной категории. Задания, относящиеся к одному и тому же разделу содержания, могут быть направлены на проверку владения разными познавательными умениями, которые и обеспечивают, в сущности, глубину и осознанность владения материалом.

Вот несколько примеров заданий по каждой из четырёх познавательных категорий.

Познавательная категория «Знание/понимание». Примерами могут служить задание из пункта 4, задание о последовательности из пункта 2, задание о параболе из пункта 5, а также следующие:

Какое из следующих выражений тождественно равно дроби ? 1) 2) 3) − 4) −

Известно, что у – х > z. Какое из следующих утверждений при всех x, y иz, удовлетворяющих этому условию, является верным?

1) z – y < x 2) x + z > y 3) y – x – z > 0 4) x + y + z < 0

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите её.

1) 1; 2; 3; 5; ... 2) 1; 2; 4; 8; ... 3) 1; 3; 5; 7; ... 4) 1; ; ; ; ...

Для выполнения этих заданий надо знать определения понятий, их свойства, некоторые факты.

Познавательная категория «Применение изученного алгоритма». Примерами могут служить задания из пункта 1, а также следующие:

Представьте значение выражения (1,3∙ 10 ) ∙ ( 3 ∙ 10 ) в виде десятичной дроби.

Упростите выражение 4у(у + 4) + (у – 8) .

Решите уравнение 2 х² - 20 х = 0.

Познавательная категория «Умение решить математическую задачу». Речь идёт о поиске решения в некоторых несложных ситуациях, когда нет явно сформулированного приёма, правила, алгоритма. Примерами могут служить задания на составление уравнения по условию текстовой задачи, а также приведённые ниже.

На координатной прямой отмечены числа α и b. Какое из утверждений является верным ?

------ ------------------- --------- ----------- -

α 0 b

1) α + b > 0 2) α b > 0 3) α (α + b) > 0 4) b(α + b) > 0

Для ответа на вопрос необходимо, опираясь на имеющиеся знания, выработать некоторый план действий. Например, «считать» сначала информацию о числах

α и b, изображенных на координатной прямой (α < 0, b > 0 и > ), а далее, используя правило знаков, найти верное утверждение.

Однако такой способ рассуждений, хотя и позволяет получить ответ практически мгновенно, требует системных и обобщённых знаний. Ученик, знания которого не отвечают этим требованиям, может выбрать другую стратегию решения, более длинную, но вполне надёжную: взять конкретные значения α и b, отвечающие условиям, показанным на рисунке ( например, α = – 5, b = 2), и последовательно вычислять значения указанных выражений, пока не будет найдено верное утверждение.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны см и + 2 см .

Смысл задачи состоит в применении аппарата алгебры к геометрическому сюжету.

Познавательная категория «Применение знаний в практической ситуации». В ходе выполнения заданий, относящихся к этой категории, учащимся приходится выполнять разную работу с формулами, с графиками реальных зависимостей, связанных с движением одного или двух объектов, выпуском продукции, изменением температуры, стоимости и пр., рассматривать жизненные сюжеты и выполнять некоторые расчеты, причем часто с использованием данных, выраженных в процентах. Примером может служить задача из шестого пункта, а также следующие:

На рулоне обоев имеется надпись: ℓ = (20 0,1) м, где ℓ - длина рулона обоев. В каких границах заключено точное значение длины рулона при этом условии?

1) 19 < ℓ < 21 2) 19 < ℓ < 20,1 3) 19,9 < ℓ < 20 4) 19,9 < ℓ < 20,1

На 1000 электрических лампочек в среднем приходится 8 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

О т в е т:_________________________________________________

Литература:

Сборник нормативных документов. Математика ⁄сост. Э.Д.Днепров, А.Г.Аркадьев. – М.: Дрофа, 2008.

Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5 – 9 классы: проект. ⁄ М.: Просвещение, 2010. – (Стандарты второго поколения).

Геометрия. Программы общеобразовательных учреждений. 7 – 9 классы ⁄ сост. Т.А.Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2010.

Алгебра. Сборник рабочих программ. 7 – 9 классы; пособие для учителей общеобразоват. учреждений ⁄ сост. Т.А.Бурмистрова. – М. Просвещение,2011.

Геометрия. Рабочая программа к учебнику Л.С.Атанасяна и др. 7 – 9 классы; пособие для учителей общеобразоват. учреждений ⁄В.Ф.Бутузов. – М.: Просвещение, 2011.

Колягин Ю. М. Изучение алгебры, 7 – 9 кл.:книга для учителя / Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, М.В.Ткачёва и др. – М.: Просвещение, 2011.

Ткачёва М.В. Алгебра, 9 кл.: дидактические материалы: / М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин. – М.: Просвещение, 2011.

Ткачёва М.В. Алгебра, 9 кл.: тематические тесты. ГИА / М.В.Ткачёва. – М.: Просвещение, 2011.

Мищенко Т.М. Геометрия: тематические тесты: 8 класс / Т.М.Мищенко, А.Д.Блинков. – М.: Просвещение, 2008.

Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: методические рекомендации: книга для учителя / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др.- М.: Просвещение, 2003-2011.

Математика. Типовые тестовые задания. 9 класс/Сост. А.Н.Рурукин, М.Я.Гаиашвили. – 3-е изд., перераб. – М.: ВАКО, 2013.

Материалы курса «Экзамен для девятиклассников: содержание алгебраической подготовки» : лекции 1 – 8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября». 2012.

25.08.2013

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/31284-podgotovka-devjatiklassnikov-k-gia-po-matemat