Точки экстремума функции и их нахождение

Тема урока: Точки экстремума функции и их нахождение.

Цель урока: ввести понятие критических, стационарных точек и точек экстремума; закрепить умения учащихся по графику определять наличие у функции критических, стационарных и точек экстремума.

Ход урока

1. Повторение.

а) По готовым чертежам назвать промежутки возрастания и убывания функции.

б) Определить промежутки монотонности функций:

у=2х+4 у=х²-6х+3 у=+2

у῾=2 у῾=2х-6 у῾=-

возрастает возрастает при хϵ(3;+∞) убывает при хϵ(-∞;+∞)

при хϵ(-∞;+∞) убывает при хϵ(-∞;3)

2. Объяснение нового материала.

На интерактивной доске и у каждого учащегося на листах изображена система координат с графиком функции у=f(x).(Слайд №1)

Назовите промежутки возрастания функции.

Возрастает при хϵ(-10;-8) Обведите эти участки красным фломастером.

хϵ(-4;1) у῾›0

хϵ(4;7)

убывает при хϵ(-8;-4)

хϵ(1;4) у῾‹0 Обведите эти участки синим фломастером.

хϵ(7;10)

-Что происходит в точках х₁=-8; х₂=-4; х₃=1; х₄=4?

- Происходит изменение характера монотонности.(на карточках и на доске изобразить мини схемы.)Слайд №2.

- Чему равна производная в этих точках? Касательная к графику функции параллельна оси ОХ (или даже совпадает с осью ОХ), т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна 0.

f(-8) – наибольшее значение функции. но не во всей области определения, а в локальном смысле, точно также f(-4) наименьшее значение функции, но не во всей области определения, а в локальном смысле.

При х=7 и х=11 на схемах картина похожа на предыдущие точки, но в этих точках у῾ не существует.

Определение 1. Точку х=х₀ называют точкой минимума функции у=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x₀).

Определение 2. Точку х=х₀называютточкой максимума функции у=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x₀).

Значение функции в точке минимума обычно обозначают у_min.

Значение функции в точке максимума обозначают у_max.

Точки максимума и минимума объединяют общим термином – точки экстремума.

Как искать точки экстремума?

В точках -8;-4;1;4 – производная равна 0 –стационарные;

7;11 – не существует – критические.

Теорема. Если функция у=f(x) имеет экстремум в точке х=х_0,то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими.

Верна ли обратная теорема: если х=х₀ – стационарная или критическая точка, то в этой точке имеется экстремум.

Посмотрим наш график:

Точка х=-2 – стационарная – экстремума нет;

х=6 – критическая – экстремума нет.

Как же узнать есть ли в стационарной или критической точке экстремум?

Для этого рассмотрим схемы у графика, дописав над осью ОХ у и проанализировав поведение функции в окрестностях точек.

Наши рассуждения могут служить подтверждением справедливости следующей теоремы.

(учебник стр.185)

Пусть функция у=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х_0.Тогда:

а) если у этой точке существует такая окрестность, в которой при х‹х₀ выполняется неравенство f῾(x)‹0, а при x>x₀ – неравенство f῾(x)>0, то х=х₀ – точка минимума функции у=f(x);

б) если у этой точке существует такая окрестность, в которой при х‹х₀ выполняется неравенство f῾(x)>0, а при x>x₀ – неравенство f῾(x)<0, то х=х₀ – точка максимума функции у=f(x);

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х₀ знаки производной одинаковы, то в точке х₀ экстремума нет.

Вернёмся к нашим схемам.

На практике этой формулировкой пользоваться неудобно, лучше применять условные схемы для знаков производной.

Рассмотрим на примере, как найти точки экстремума функции.

у=3х⁴-16х³+24х²-11

Найдём производную у῾=12х³-48х²+48х – критических точек нет.

Приравняем её к нулю 12х³-48х²+48х=0 12х(х²-4х+4)=0 х₁₌0, х₂=2, 0,2 – стационарные точки.

Чертим схему

Рассмотрим алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы. (учебник стр.187)

3. Закрепление.

Выполнить устно 30.17 – 30.20,

В тетрадях 30.26(а,б)

Д/з : 30.26 (в,г)

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/314519-tochki-jekstremuma-funkcii-i-ih-nahozhdenie