Задачи с параметром на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Задачи с параметром на нахождение наибольшего и наименьшего значений.

Автор:

Кулакова Кристина Рафаиловна

Учитель математики

МБОУ ОСОШ №11

Воронеж 2018 год

Задачи с параметром на нахождение наибольшего и наименьшего значений.

Задача 1.

Найдите наименьшее положительное значение a, при котором система

имеет единственное решение.

Решение:

Еслиx0,то уравнение ( -6) +(y-12) =4 задает окружность с центром в точке С (6;12),r=2; если x<0, то оно задает окружность с центром в точке С (-6;12),r=2.

Приa0 уравнение (x+1) +y=a задает окружность с центром в точке С (-1;0), r=a.

Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки C проведем луч [CC) и обозначим Aи b точки его пересечения с , где Aлежит между C и C.

Так как СС =

СA= -2,CB= +2

Приa<СA или a>CB окружности и не пересекаются;

при CA <a<CBокружности и имеют 2 общие точки;

приa=CA или a=CB окружности и касаются.

Из точки C проведем луч [CC) и обозначим Aи b точки его пересечения с , где Aлежит между C и C.

CC= =13

CA=13-2=11,CB=13+2=15

Приa<СA или a>CB окружности и не пересекаются;

при СA<a<CB окружности и имеют 2 общие точки;

приa= СA или a=CBокружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как CA <CA<CB<CB, то условию задачи удовлетворяет толькоa=11.

Ответ: 11.

Задача 2.

При каком наименьшем a площадь треугольника, образованного касательной к кривой y=3x +2ax-2 в точке x=-1 и осями координат будет равной 2,5.

Решение:

y=f(x) в т. M(x ;y )

y-y =k(x-x ) (1), где k=f `(x )

По условию x=-1,y=f(x)=f(-1)=1-2a

y`=6x+2a, k= f `(x )=2a-6

уравнение (1) примет вид:

y-(1-2a)=(2a-6)(x+1)

y-1+2a=2ax+2a-6x-6

y=1-2a+2ax+2a-6x-6

y=(2a-6)x-5

а) если2a-6=0

a=3

y=-5(не удовлетворяет условию)

б) если 2a-60

a 3

Найдем точку пересечения касательной с осью Оx:

y=0: (2a-6)x-5=0

(2a-6)x-5

x= , a 3

Найдем точку пересечения с осью Оy:

X=0: y=-5

B ( ; 0); A (0;-5)

= ( ; 0); = (0;-5)

[OB]= =

[OA]= =5

S = [OA][OB]=

=2, 5

2|2a-6|=10

|2a-6|=5

Ответ: 0, 5.

Задача 3.

Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

Решение:

Заметим, что в точках выражение обращается в нуль. Раскрыв модуль в выражении для, пользуясь определением, получим:

Заметим, что эта функция непрерывна в точках и принимает в них значения соответственно. Далее применим графический подход к отысканию наименьшего значения функции , которое должно быть больше 1. Пусть и - абсциссы вершин парабол соответственно. Оформим в виде таблицы все возможные варианты расположения точек и :

Рассмотри каждый из случаев подробно, с графическими интерпретациями.

Случай 1: График функции имеет вид (схематически):

- не удовлетворяет поставленному вопросу задачи.

Случай 2: При а=4 график функции имеет вид:

- удовлетворяет поставленному вопросу задачи, то есть а=4 является решением задачи.

Случай 3: График функции имеет вид (схематически):

Случай 4: При а=0, график функции имеет вид:

- не удовлетворяет поставленному вопросу задачи.

Случай 5: График функции имеет вид (схематически):

, то есть является решением задачи.

Случай 6: При а=4 график функции имеет вид:

- удовлетворяет поставленному вопросу задачи то есть а=4 является решением задачи.

Случай 7: График функции имеет вид (схематически):

То есть является решением задачи.

Ответ:при наименьшее значение функции больше 1

Задача 4.

На отрезке [-2;1] найти наибольшее значение функции в зависимости от параметра.

Решение:

Найдем критические точки фукции , в которых обращается в нуль или не существует ее производная . Решим уравнение

Пусть a=0. Тогда при этом

Пусть. Тогда . Пусть . Заметим, что . Выполним чертеж графиков функций аргумента а в одной системе координат ( - красный, - синий, - желтый, - зеленый (только при )):

Заметим, что и пересекаются в точке (0;0). Найдем точки пересечения графика с остальными и с остальными:

Таким образом, для параметра а получены несколько критических положительных значений: , ,,. А также несколько отрицательных: , .

Если,

Если,

Если ,

Если,

Если,

Если,

Если,

Если,

Если,

Если,

Если,

Пусть.

Если,

Если,

Если ,

Если,

Если

Ответ: Если , , если, .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/329650-zadachi-s-parametrom-na-nahozhdenie-naibolshe