Применение метода координат к решению задач по стереометрии

Исследовательская работа

«Применение метода координат к решению задач по стереометрии»

Автор работы:

Ромашко Михаил Валерьевич, ученик 11 класса

МБОУ Малозападенской СОШ

Руководитель:

Музыкантова Татьяна Дмитриевна, учитель математики

МБОУ Малозападенской СОШ

2019 год

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение». 
/В.В. Произволов – российский математик/

Известно, что стереометрия играет важную роль в природе и жизни человека. Используя знания о стереометрии, мы можем понять, с какой целью природа создала замечательные и разнообразные формы, а так же создавать необычайно экономичные, легкие, но прочные и качественные по своей конструкции сооружения, приборы и так далее. Без стереометрии человек не сможет в реальном пространстве представить себе окружающий мир.

При решении задач в стереометрии используется два основных метода. Первый метод – классический, основан на аксиомах, теоремах и свойствах фигур. Он требует их отличного знания, логической последовательности практических рассуждений, построения геометрических тел и их сечений. Второй метод – это метод координат или метод векторной алгебры. Это простые формулы, алгоритмы, правила. Он очень удобен. Векторное решение многих стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии. Поэтому необходимо изучать метод координат, позволяющий ученикам применять его при решении стереометрических задач, в том числе, задач ЕГЭ (задания 14).

Всем вышесказанным и определяется актуальностьвыбранной мною темы: найти оптимальные способы решения стереометрических задач, встречающихся в текстах ЕГЭ.

Цель работы - использование метода координат в пространстве в курсе стереометрии при решении задач ЕГЭ по математике на профильном уровне.

Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Подобрать теоретический материал по координатному методу,

2. Рассмотреть метод координат в пространстве, формулы векторной алгебры, применить их на практике.

3. Показать все достоинства данного метода при решении соответствующего вида задач.

Виды ключевых задач, решаемых методом координат

Нахождение расстояния между двумя точками

Нахождение координат середины отрезка

Нахождение угла между двумя векторами

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Нахождение угла между плоскостями,

Нахождение расстояния от произвольной точки до данной плоскости

При решении этих задач я придерживался следующего алгоритма:

- выбор системы координат в пространстве;

- нахождение координат необходимых точек и векторов, или уравнений кривых и фигур;

- решение задачи с использованием ключевых задач или формул;

- переход от аналитических соотношений к метрическим.

«…Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно».

(А. Н. Колмогоров)

Приведу примеры некоторых решённых мною задач.

Задача № 1. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ рёбра равны по 20. Найти расстояние между прямыми СD и ВС₁ .

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁ – куб , АВ=20 Найти: расстояние между прямыми СD и ВС₁ Решение_.

1.Введём систему координат Охуz, и определим координаты нужных нам точек В (0;0;0); С(0;20;0); D(20;20;0); С₁(0;20;20)

2. Найдём координаты направляющих векторов прямых СD и ВС_1,а также вектора

3. Пусть некоторый вектор и ₁;, тогда скалярное произведение векторов равно нулю. * = 0 и .

Вычислим координаты вектора по формуле = x+y;

. Тогда, учитывая, что скалярное произведение равно нулю

.

Тогда , а длина этого вектора и есть расстояние между скрещивающимися прямыми СD и ВС₁. = = 10

Ответ: расстояние между прямыми СD и ВС₁ равно 10

2 способ.

Составим уравнение плоскости ABCD, в которой лежит прямая CD.

Ax+By+Cz+D=0 – уравнение плоскости в общем виде. Подставим в это уравнение координаты известных точек, лежащих на этой плоскости. Получим систему уравнений, решив которую, найдём коэффициенты A, B, C, D.

D=0,A= - B , Ax – By=0, x-y=0 - уравнение плоскости ABCD. Найдём расстояние от любой точки прямой ВС₁ до плоскости ABCD по формуле d = =

Ответ: расстояние между прямыми СD и ВС₁ равно 10

Задача№2.

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 1 : 2, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 1 : 5, а точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 4, AD = 2, AA₁ = 6.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

Решение.

а) 1. Т.к.  B₁F : FB = 1 : 5, и BB₁ = AA₁ = 6, то B₁F=1,а FB= 5.

Т.к. B₁C₁=AD = 2, то В₁Т=ТС₁=1;

Т.к.A₁E : EA = 1 : 2иAA₁ = 6,тоA₁E =2,EA =4

2. Определяем координаты точек В(0,0,0); А(4,0,0);D (4,2,0); А₁(4,0,6); В₁(0,0,6); Т(0,1,6); F(0,0,5);

Е(4,0,4); С₁(0,2,4);D₁(4,2,6).

Запишем уравнение плоскости EFT: Ax+By+Cz+D=0, решив систему уравнений:

Получим, что C= -0,2D;B = 0,2D;A= -0,05D , а уравнение плоскости : x-4y +4z -20 =0. Теперь подставим координаты точкиD₁ в уравнение плоскости EFT: 4-4*2+4*6 – 20 = 0. Это значит, что плоскость EFT проходит через точку D₁.

б) Составляем уравнение плоскости BB₁C₁: x=0.

и координаты нормалей к плоскостям. Угол между плоскостями легко найти, как угол между их нормалями по формуле

= = .

Угол между плоскостями равен

Задача № 3.

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и ВС = 5 . Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Решение. а)

Треугольник АSB- прямоугольный, т. к. квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон: SB² = AB² + SA² (169 = 25 +144). Значит, SAAB

SD² =AD²+ SA² (100 =75 +25), значит, SAAD.

SA перпендикулярен двум пересекающимся прямым AD и AB,лежащим в плоскости, следовательно, SA пл. ABCD , т. е. является высотой пирамиды.

б) Для нахождения расстояния от точки до плоскости сначала составим её уравнение. Для этого введём систему координат и выпишем координаты нужных нам точек S(0,0,5), B(12,0,0), C(12,и А(0,0,0).

Уравнение плоскости найдём, решив систему уравнений:

Получим С= - 0,2D; А = - , B= 0, тогда уравнение плоскости примет вид:

, разделим все коэффициенты на D и получим уравнение плоскости SBC:

, окончательно, 5x+12z -60=0. Теперь по формуле

== Ответ: Расстояние от точки А до плоскости SBC равно

Задача №4 Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁ является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 4, BC = 7.

Решение.

Определяем координаты точек С(0,0,4), А₁(4, 0,0), А ( 4,0,4), В₁(0,7,0).

Находим координаты направляющих векторов прямых

_,

По формуле

Вычислим

= 0, Значит, прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

ПрямыеCA₁ и AB₁ – скрещивающиеся. Найдём расстояние между ними. Сначала предположим, что некоторый вектор и , т.е. их скалярные произведения равны нулю. ,

. Решим систему уравнений, найдём

m и n , затем координаты вектора

,= = .

Ответ: = .

3адача 5 . В правильной шестиугольной пирамидеSABCEF , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки Едо плоскостиSDА

Решение:

1. Введем систему координат с началом координат в точке А.

2. Находим координаты точек S,D,E,A:А(0;0;0),Е(0;;0),

S ,D(1;;0).

3. Составим уравнение плоскости SDA: -3x +

4. Подставляем в формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости координаты точки А и получим:

=

Ответ:

Задача 5.

Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты нормали.

Решение:

Составим уравнение плоскости, подставив координаты данных точек в уравнение плоскости Ax+By +Cz +D = 0 и решим систему уравнений:

-2а + 3b + 5с + d = 0 2a + 5c + 2d = 0;d = 5c – 6b

4a - 3b + d = 0; -2a + 9b + 2d = 0;25c – 15b = 0

6d – 5c + d = 0; 6b – 5c + d = 0;2a + 15 c – 12b = 0

d =5c – 6b

b=c

2a = 5c

Ax + By + Cz + D = 0

cx + cy + cz – 5c = 0, приведя дроби к общему знаменателю, получим

15x + 10y + 6z – 30 = 0 - уравнение плоскости, {15;10;6}- координаты нормали.

Ответ: 15x + 10y + 6z – 30 = 0 - уравнение плоскости, {15;10;6}- координаты нормали.

Как видно из решения задач, метод координат связан с одной сложностью: в зависимости от выбора системы координат получаются различные аналитические представления задачи. Однако результат получается одинаковым в любом случае. Метод координат имеет преимущества: упрощает, иногда и сокращает решение задач, не предусматривает сложных построений, не требует чисто геометрических знаний: теорем, аксиом, свойств, признаков. Имеет только один, на мой взгляд, недостаток: большой объём вычислений. Считаю, что метод координат является одним из основных методов для решения стереометрических задач, показывает тесную связь алгебры и геометрии, даёт возможность успешно решать трудные стереометрические задачи легко и просто. Советую выпускникам средней школы и своим одноклассникам применять при решении по стереометрии координатно – векторный метод. Если вы усвоили векторы на плоскости, то и с векторами в пространстве и их свойствами разобраться не составит особого труда.

Закончить работу хочу словами знаменитого учёного Г. Галилея «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Литература.

1. Ященко И.В. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену / И.В.Ященко – М.: Айрис-прес, 2003. – 432 с.

2. Ященко И.В. Математика. Профильный уровень, 36 вариантов. Типовые тестовые задания. Издательство «Экзамен», 2019г

3. Семенова А.В. ЕГЭ – 2018. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под редакцией А.В. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2018.

3. Титаренко А.М. Новейший полный справочник школьника 5-11 классы. Математика. / А.М.Титаренко, А.М. Роганин. - «Эксмо», 2018. – 304 с.

4. Л.С.Атанасян Геометрия: Учеб.для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б Кадомцев и др. – М.:Просвещение, 2017. – 255с.

5. Конева Г.П. Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена по математике [Электронный ресурс] / Конева Г.П., Опубликовано 12.01.2013 - 6:51 /

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/ispolzovanie-metoda-koordinat-v-prostranstve-dlya-resheniya-zadaniy-s-2

6. Использование метода координат в пространстве для решения заданий Единого государственного экзамена [Электронный ресурс] / http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/ispolzovanie-metoda-koordinat-v-prostranstve-dlya-resheniya-zadaniy-s-2

7. ФИПИ [Электронный ресурс] / http://www.fipi.ru/view/sections/228/docs/660.html

8. Сайт Дмитрия Гущина «Решу ЕГЭ»

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/349057-primenenie-metoda-koordinat-k-resheniju-zadac