Тренажер «Вычисления и преобразования»

Вычисления и преобразования - Задание 5

Описание задания

В задании №5 ЕГЭ по математике базового уровня нам необходимо вычислить значение выражения, пользуясь различными правилами: формулами сокращенного умножения, знаниями тригонометрии, свойствами логарифмов и другими. Данное задание требует более глубоких знаний и значительно сложнее первого задания, где достаточно было знать элементарные математические операции.

Примерное время выполнения: 5-7 мин.

Что нужно знать?

Для того чтобы решать задание № 5 без ошибок нужно знать свойства корней, логарифмов, формулы сокращенного умножения, производить тригонометрические вычисления. 

Формулы сокращенного умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a + b)(a - b)

Основное тригонометрическое тождество:  sin²α + cos²α = 1

Примеры решённых заданий

Задача 1. Найдите cosα, если sinα = 0,8 и 90⁰ < α < 180⁰ 

Алгоритм выполнения

Запишем основное тригонометрическое тождество.

Подставим в основное тригонометрическое тождество все известные данные.

Решим полученное уравнение относительно cos α.

Выбрать корни, подходящие к условию задания.

Решение:

Выразим cos α из основного тригонометрического тождества: sin²α + cos²α = 1, cosα = a

Т. к. α находится во II четверти, знак будет отрицательным. Подставим данные в выражение: 

cosα = – 0,6

Ответ: – 0,6

Задача 2.  Найдите значение выражения 12 : (sin²27⁰ + cos²207⁰)

Решение: 

Т. к. cos²(180⁰ + α) = cos²α, то – = = = =12

  Ответ: 12

Задача 3. Найдите значение выражения (2 - 1)(2 + 1)

 Решение:

Для решения примера воспользуемся формулой разности квадратов (формула сокращенного умножения): (2 - 1)(2 + 1) = (2 )² - 1² = 4*13 - 1 = 51

Ответ: 51

Задача 4. Найдите значение выражения: 5^log₅^{6 + 1}

Решение:

 5^log₅^{6 + 1} = 5^log₅⁶ * ⁵ = 6 *5 = 30 Ответ: 30

Задача 5. Найдите значение выражения

Алгоритм выполнения

Представим угол 390° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.

Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.

Выполним умножение.

Решение: Функция tg является периодической с периодом 180°, то есть каждый раз при увеличении или уменьшении угла на 180° значение tg повторяется.

То есть tg α = tg (α + 180°) = tg (α — 180°)

tg 390° = tg (390° — 180°) = tg 210° = tg (210° — 180°) = tg 30°

Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла. tg 30° = √3/3

Подставим найденное значение в данное выражение и получаем выражение:

Ответ: 20.

Задачи для тренировки

1. Найдите sinα, если cosα = (2√6)/5 и 270⁰ < α < 360⁰.

2. Найдите cosα, если sinα = -√21/5 и 270⁰ < α < 360⁰.

3. Найдите значение выражения 19cos45⁰ : sin45⁰

4. Найдите значение выражения -18*tg390⁰

5. Найдите значение выражения -6 : (sin²66⁰ + cos²426⁰)

6. Найдите значение выражения  *  : 

7. Найдите значение выражения ( + 2)²  - 4

8. Найдите значение выражения (+ 3)² - 3(2 + 3)

9. Найдите значение выражения ( -)( +)

10. Найдите значение выражения log₄8

11.  Найдите значение выражения log₆2 + log₆18

12. Найдите значение выражения

13.  Найдите значение выражения

Задание 5 - Вычисления и преобразования

1. Найдите sinα, если cosα = (2√6)/5 и 270⁰ < α < 360⁰.

2. Найдите cosα, если sinα = -√21/5 и 270⁰ < α < 360⁰.

3. Найдите значение выражения 19cos45⁰ : sin45⁰

4. Найдите значение выражения -18*tg390⁰

5. Найдите значение выражения -6 : (sin²66⁰ + cos²426⁰)

6. Найдите значение выражения  *  : 

7. Найдите значение выражения ( + 2)²  - 4

8. Найдите значение выражения (+ 3)² - 3(2 + 3)

9. Найдите значение выражения ( -)( +)

10. Найдите значение выражения log₄8

11.  Найдите значение выражения log₆2 + log₆18

12. Найдите значение выражения

13.  Найдите значение выражения

Задание 5 - Вычисления и преобразования

1. Найдите sinα, если cosα = (2√6)/5 и 270⁰ < α < 360⁰.

2. Найдите cosα, если sinα = -√21/5 и 270⁰ < α < 360⁰.

3. Найдите значение выражения 19cos45⁰ : sin45⁰

4. Найдите значение выражения -18*tg390⁰

5. Найдите значение выражения -6 : (sin²66⁰ + cos²426⁰)

6. Найдите значение выражения  *  : 

7. Найдите значение выражения ( + 2)²  - 4

8. Найдите значение выражения (+ 3)² - 3(2 + 3)

9. Найдите значение выражения ( -)( +)

10. Найдите значение выражения log₄8

11.  Найдите значение выражения log₆2 + log₆18

12. Найдите значение выражения

13.  Найдите значение выражения

Задание 5 - Вычисления и преобразования

1. Найдите sinα, если cosα = (2√6)/5 и 270⁰ < α < 360⁰.

2. Найдите cosα, если sinα = -√21/5 и 270⁰ < α < 360⁰.

3. Найдите значение выражения 19cos45⁰ : sin45⁰

4. Найдите значение выражения -18*tg390⁰

5. Найдите значение выражения -6 : (sin²66⁰ + cos²426⁰)

6. Найдите значение выражения  *  : 

7. Найдите значение выражения ( + 2)²  - 4

8. Найдите значение выражения (+ 3)² - 3(2 + 3)

9. Найдите значение выражения ( -)( +)

10. Найдите значение выражения log₄8

11.  Найдите значение выражения log₆2 + log₆18

12. Найдите значение выражения

13.  Найдите значение выражения

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/375626-trenazher-vychislenija-i-preobrazovanija