Сборник практических работ для обучающихся по программе подготовки специалистов среднего звена

Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Математика»

для обучающихся по программе подготовки

специалистов среднего звена

Сургут, 2019

Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Математика»

Сургутский политехнический колледж. – 2019

Сборник составлен в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика», содержит девять практических работ. Предназначен для обучающихся по программе подготовки специалистов среднего звена.

Пояснительная записка.

Учебная дисциплина «Математика» формирует базовые знания для изучения специальных дисциплин технического и социально-экономического профилей базового уровня.

Задания соответствуют требованиям ГОС СПО и предназначены для проверки уровня подготовки: текущего и рубежного контроля знаний студентов по дисциплине.

В целях объективной оценки знаний студентов, задания включают все темы следующих разделов дисциплины:

Вычисление площадей и объемов геометрических тел;

Решение алгебраических уравнений и неравенств;

Корни. Степени. Показательные уравнения и неравенства;

Логарифмы и их свойства.

Логарифмические уравнения и неравенства;

Преобразования тригонометрических выражений;

Нахождение производной;

Нахождение первообразных. Вычисление определенных интегралов.

Проверка знаний при помощи данных заданий позволяет преподавателю проверить знания студентов по каждому разделу и по всей дисциплине в целом, определить уровень усвоения материала.

Практическая работа №1

Тема: «Многогранники»

Цель: закрепить умения и навыки вычислять площади многогранников.

Алгоритм выполнения работы:

Определить вид многогранника (дать его характеристику);

Выполнить чертеж многогранника;

Записать дано;

Записать формулы для вычисления площади поверхности многогранника;

Найти измерения многогранника с учетом данных;

Вычислить площадь поверхности многогранника.

Теоретический материал

Призма:S_бок=Р_осн·h, S_полн=S_бок + 2S_осн.

Параллелепипед, куб: S_бок=Р_осн·h,S_полн=S_бок + 2S_осн.

Пирамида:S_бок=cумма площадей боковых граней, S_полн=S_бок + S_осн.

Правильная пирамида:S_бок= Р_осн·h_a (h_a-апофема),S_полн=S_бок + S_осн.

Пример.Дана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны 8 и 6 см. Найдите площади полной и боковой поверхности призмы, если высота равна 10см.

Д ано:

АВСА₁В₁С₁ – прямая призма

АВС – прямоугольный

С=90⁰

АС=8см

ВС=6см

АВ= 10см

Н=АА₁=10см

Найти:S_полн,S_бок.

Решение:

S_бок= Р_осн· h

Р_осн = АС+ВС+АВ = 10+6+8 = 24 см

S_{бок =} 24·10 = 240cм²

S_полн= S_бок + S_осн

S_осн= АС · ВС = · 6 · 8 = 24 см²

S_полн= 240 + 2 · 24 = 288 см²

Ответ: S_бок=240 см, S_полн=288 см.

Практическая часть

1 вариант

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Основание прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120^°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковое ребро пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2 вариант

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Основание прямой призмы – ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности – 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящей через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Основание пирамиды ромб с диагоналями 10 и 18 см. Высота пирамида проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите большее боковое ребро пирамиды.

Основание пирамидыDABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Критерии оценивания:

оценка«3» ставится за любые две правильно выполненные задачи; «4» ставится за любые три правильно выполненные задачи; «5» за четыревыполненные задачи.

Практическая работа №2

Тема: «Решение алгебраических уравнений и неравенств»

Цель: закрепить навыки по методам решения алгебраических уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств.

Теоретический материал

1. Уравнение вида ax=b, где a, b принадлежат множеству всех действительных чисел, называется стандартным видом линейного уравнения.

2. Неравенство вида ax>b, ax<b, ax> b, ax< b называться стандартным видом линейного неравенства.

3. Квадратным уравнением называется уравнение вида,

гдеx – переменная; a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

Формула дискриминанта ;

D>0 - уравнение имеет 2 различных корня;

D=0 - уравнение имеет 1 корень;

D<0 - уравнение корней не имеет.

В общем случае корни уравнения равны:;

В случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны .

Формулы сокращенного умножения:

;

.

Пример.Решите систему уравнений

Решение:для решения данной системы уравнений можно применить метод сложения

; ; подставляем найденное значение в первое уравнение:

; .

Ответ: (5;-2)

Практическая часть

Критерии оценивания:

оценка«3» ставится за правильно выполненные задания №1(1, 2 ,3), №2, №3, №4(1); «4» - любые пять заданий; «5» - все правильно выполненные задания.

Практическая работа №3

Тема: «Корни и степени»

Цель: формирование навыка решения показательных уравнений и неравенств.

Теоретический материал

Функция, заданная формулой y = a^x (где a> 0, a ≠ 1) называется показательной функцией с основанием а.

Свойства показательной функции

Область определения – множество действительных чисел.

Область значений – множество всех положительных действительных чисел.

приа > 1 функция возрастает на всей числовой прямой

при 0<a<1 функция убывает.

Свойства степени:

Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Способы решения показательных уравнений:

Если показательное уравнение сводится к виду , где то оно имеет один единственный корень

Если уравнение нельзя свести к виду , необходимо в левой части уравнения вынести за скобки общий множитель, например (за скобли выносим общее основание с наименьшим показателем степени);

Некоторые показательные уравнения решаются заменой переменной и сводятся к квадратным уравнениям, например: (заметим, что t может принимать только положительные значения).

Показательное неравенство – это неравенство, содержащее неизвестное в показателе степени.

Способы решения показательных неравенств:

Решение показательных неравенств часто сводятся к решению неравенства ( , если , то функция возрастает и , если, то функция убывает и ( ;

Некоторые показательные неравенства заменой сводится к квадратным неравенствам, которые решают, учитывая, что .

Примеры решения показательных уравнений:

Пример 1. ;

Решение: ; х = –5.

Ответ: х = –5.

Пример 2.

Решение: ;

;

;

.

Ответ: .

Пример 3. .

Решение: ;

;

;

Ответ: .

Пример 4.

Решение:

Ответ:

Практическая часть

1 вариант

Вычислите: а) ; б) ; в) г) .

Решите иррациональное уравнение .

Решите показательные уравнения:

Решите неравенство:

Решите систему уравнений

2 вариант

Вычислите: а) ; б) ; в) г) .

Решите иррациональное уравнение .

Решите показательные уравнения:

Решите неравенство:

Решите систему уравнений

Критерии оценивания:

оценка«3» ставится за правильно выполненные задания №1, №3(1-4), №4(1, 2); «4» - за правильно выполненные задания №1, №2, №3(1-5), №4(1, 2); «5» - все правильно выполненные задания.

Практическая работа №4

Тема: «Логарифмы и их свойства»

Цель: закрепить умение применять определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов при преобразовании выражений.

Теоретический материал

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где , называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

- основное логарифмическое тождество

Свойства логарифмов

Практическая часть

1 вариант

Вычислите:

Найдите значение выражения, используя основное логарифмическое тождество:

Найдите значение выражения:

2 вариант

Вычислите:

Найдите значение выражения, используя основное логарифмическое тождество:

Найдите значение выражения:

Критерии оценивания:

оценка«3» ставится за правильно выполненные задания №1, №2, №3(а-д);

«4» - за правильно выполненные задания №1, №2, №3(а-ж);

«5» - за все правильно выполненные задания.

Практическая работа №5

Тема: «Основы тригонометрии»

Цель: закрепить умение применять тригонометрические формулы при преобразовании выражений

Теоретический материал

Знаки тригонометрических функций:

Таблица часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

Пример. Вычислите значения каждой из тригонометрических функций, если и

Решение:

Из формулы получаем ,

; так как (IV четверть), то .

Из формулы получаем .

Из формулы получаем ;

Ответ: ; .

Практическая часть

Практическая работа №6

Тема: «Правила дифференцирования»

Цель: выявить уровень умения вычислять производные функций.

Теоретический материал

Таблица производных

Правила нахождения производных

2 вариант

Проверьте, является ли функция F первообразной для функции f, если:

а) ;

б) ,

Найдите общий вид первообразных для функции f :

д); е) ;

ж)

3. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вычислите интеграл: а) ; б) ; в)

Критерии оценивания:

оценка«3» ставится за правильно выполненные задания №1, №2; «4» - за правильно выполненные задания №1, №2, №3; «5» - за все правильно выполненные задания.

Список литературы

Бутузов, В. Ф. Геометрия. Рабочая тетрадь. 11 класс : учебное пособие : базовый и углублённый уровни / В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина. ˗ 11-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 75, [1] с.

Глазков, Ю. А. Геометрия. Рабочая тетрадь. 10 класс : учебное пособие : базовый и углублённый уровни / Ю. А. Глазков, И. И. Юдина, В. Ф. Бутузов. ˗ 11-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 95, [1] с.

Зив, Б. Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс : учебное пособие : базовый и углублённый уровни / Б. Г. Зив. ˗ 16-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 157, [2] с.

Зив, Б. Г. Геометрия. Дидактические материалы. 11 класс : учебное пособие : базовый и углублённый уровни / Б. Г. Зив. ˗ 15-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 127 с.

Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 ˗ 11 классы : учебник : базовый и углублённый уровни / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др.]. – 4-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. ˗ 463 с.

Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы : учебник : базовый и углублённый уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 4-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 255 с.

Интернет - ресурсы

Графики функций : [сайт]. – URL: http://graphfunk.narod.ru/ (дата обращения: 09.09.2019). ˗ Текст : электронный.

Интернет – ресурсы по математике : ссылки на интернет ˗ ресурсы по математике : [сайт]. – URL: https://nsportal.ru/shkola/raznoe/library

/2015/11/13/internet-resursy-po-matematike (датаобращения: 09.09.2019). ˗ Текст : электронный.

Квант : научно-популярный физико-математический журнал : [сайт]. – URL: http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm (дата обращения: 09.09.2019). ˗ Текст : электронный.

Страна Математика : [сайт]. – URL: http://www.bymath.net/ (дата обращения: 09.09.2019). ̶ Текст : электронный.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/386931-sbornik-prakticheskih-rabot-dlja-obuchajuschi