Применение математических методов для решения задач экономического содержания в ЕГЭ

Применение математических методов для решения задач экономического содержания в ЕГЭ

Становление рыночной экономики в нашей стране, возрастающие требования работодателей к профессиональным качествам специалистов актуализируют вопрос о повышении экономической и финансовой грамотности населения. Мы ежедневно слышим с экранов телевизоров такие слова как инфляция, котировки валют, ипотека, банковский процент, депозит и др., а с кредитами и ссудами не понаслышке знакома большая часть населения России. Тем не менее, большинство россиян, в том числе школьников, не до конца понимают значение экономических терминов и действие экономических законов, не имеют представления о планировании бюджета, или выборе финансовых инструментов для накопления и приумножения денежных средств.

Задачей современной школы является подготовка учащихся к успешной социальной и профессиональной адаптации в условиях рыночной экономики, и экономическая грамотность становится одним из основных критериев развития конкурентоспособной личности, приспособленной к самостоятельной жизни. О необходимости усиления прикладной направленности преподавания предметов в школе также говорится в Концепции развития образования РФ. Для учеников старших классов средней школы изучаемые предметы являются необходимой базой для дальнейшего обучения, а также могут помочь в выборе будущее профессии. Прикладной направленностью изучения математики в школе занимались такие учёные, как Ю.М. Колягин, Г.В. Дорофеев, И.М. Шапиро, Н.А. Терешин и другие.

Частным случаем прикладной задачи (или задачи с практическим содержанием) являются задачи с экономическим содержанием. Надежда Владимировна Вахрушева( доцент кафедры математики и прикладной информатики«Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова») в учебном пособии по финансовым вычислениям утверждает, что « В результате решения таких задач у учащихся формируется представления по применению математических знаний в освоении новых понятий, связанных с экономическими задачами определённого вида, повышается уровень вычислительных навыков и алгоритмической культуры, аккуратность и точность в расчетах».

Такие задачи можно вводить уже в 5 классе при изучении темы процентов. По мере изучения функций, уравнений и неравенств в школьном курсе математике предоставляет много возможностей для решения задач прикладного экономического характера. Анализ графиков функций, нахождение точек экстремума функций позволит решать экономические задачи на нахождение максимума прибыли, оптимального объема производства и т.д.

Кроме практической значимости задач с экономическим содержанием, обучение их решению играет большую роль при подготовке к ЕГЭ. Также следует отметить значимость математических задач с экономическим содержанием для мотивирования школьников на изучение экономических приложений математики, формирования у учащихся интереса к профессиям, связанных с финансово-экономической сферой деятельности. К задачам с экономическим содержанием относятся не только задачи, содержащиеся в задании №17. Даже первое задание может оказаться задачей прикладной направленности, содержащей проценты. Но сложные задачи прикладного характера, вызывают различные трудности у учащихся. Таким образом опираясь на тематику задач из различных сборников и пособий для подготовки к ЕГЭ, можно сказать, что чаще задание 17 содержит задачу на вклады, кредиты или оптимизацию. Любая из таких задач отличается довольно длинным условием, содержащим большое количество данных.

Освоив основы моделирования экономической задачи, главным образом способность внимательно читать условие и умение выделять из текста нужные величины, можно составить план (алгоритм) для решения задач каждого вида, который будет отрабатываться путем решения задач из открытого банка заданий и материалов ЕГЭ прошлых лет.

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие: при разработке производственной программы предприятия, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции и т. д. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием «математическое программирование». Особенно широкое применение методы оптимизации получили при решении задач экономии ресурсов, производственно-транспортных и других задач.

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение исходной экономической ситуации в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:

-совокупность неизвестных величин, действуя на которые систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведениями др.);

- целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.) Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных.

Я хочу представить вашему вниманию несколько типов задачи

№ 17 ЕГЭ и на их примере показать какие математические методы применяются при их решении.

№1.Задачи, сводящиеся к математической модели, решаемые в целых числах.
(задание ФИПИ для подготовки к ЕГЭ-2016)

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стационарные номера площадью 27 и номера «люкс» площадью 45 . Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение:

27х + 45у ≤ 981

1.Рассмотрим случай 3х + 5у = 109
Выразим у через х:
у = .
Определим при каком значении х значение данного выражения
принимает наибольшее значение:
При x=0,y= не подходит, так как y не натуральное
Перебирая значенияx, получим x=3,y=20N
Дальше при увеличении числа стандартных номеров доход будет уменьшаться.
Выручка 2000(3 + 2∙ 20) = 86000 рублей.
2.Рассмотрим случай 3х + 5у < 109
В случае неравенства необходимо найти наибольшее возможное значение yи проверить меньшие значения, уменьшающие количество пустого пространства.
Наибольшее возможное значение уравно 21.
Так как 981=45 ∙21+27∙1+9, то в гостинице можно открыть 21 номер люкс и 1 стандартный, но при этом останется 9 незанятого пространства. Доход 2000(1+ 2 ∙ 21) = 86 000 руб.
Уменьшим на 1 количество люксов. Если в гостинице 20 люксов и 3 стандартных номера, незанятого пространства не остается: 981 = 27·3 + 45·20. В этом случае доход
тот же 2000·3 + 4000·20 = 86 000 руб.

Ответ: 86000рублей.

№ 2. Задачи на оптимизацию (задание ФИПИ для подготовки к ЕГЭ-2016)

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов работать по 10 часов в сутки на добыче Al и Ni. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг Al или 0,1 Ni. Во второй области для добычи х кг Al в день требуется

(Человеко-час — единица учёта рабочего времени, соответствует часу работы одного человека.)

Решение.

Всего 50 рабочих, ⇒ 50·10= 500 человеко-часов.

Пояснение к таблице

1 раб. за час- 0,2 кг ⇒ 5человеко-часов труда тратят для добычи 1 кгAl

? раб. за час - 1 кг

Составим математическую модель по условию задачи.
f( x, t)=50-0,5t+ x+t (*)

Условие: < в 2 раза, ⇒2 =

50-0,5t+ = 2(t+x)

t=20+0,4 -0,8x, подставим в (*) вместо t
Получимf (x)= 60+0,6x+1,2

Исследуем функцию на наибольшее значение приx∈[0;10 ] с помощью производной:
1.Находим производную
2.Стационарные точки
x=10 ∈ [0; 10 ]

+ -

0

10 10

Ответ: 90 кг сплава ежедневно производил завод.

№ 3.Задачи, где применяется геометрическая интерпретация

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 р/ц, а свёклу – по цене 13 000 р/ц. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение ( по Максютину А.А.)

Общий доход

26· -26·x+3·x+39· -39· +2· (4x-19y+650)рублей

Обозначим 4x-19y+650=c

Выразимy через x и найдём значение c при котором y принимает наибольшее значение.

y=

Заметимx∈[0;10] ; y∈[0;10] – это квадрат со стороной 10

Целевая функция y=-это множество прямых, параллельных прямой y= , некоторые из которых проходят через точки указанного квадрата, а некоторые нет.

Рассмотрим две угловые « крайние» точки (0;10) и (10;0). Подставляя координаты этих точек, найдём наибольшее значение c= 690.

Общий доход 690· = 69000000 рублей.

Ответ: наибольший доход, который может получить фермер составит 69000000 рублей.

№4. Задача на кредиты

15 декабря планируется взять кредит в банке на 1 млн. рублей на (n+1)месяц.

Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

–15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на

15-е число предыдущего месяца;

– 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тыс. рублей;

– к 15 числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдитеr, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Решение

S=1000 тыс. рублей

1)Сумма долга на 15-е число каждого месяца

По условию S-40n=200; 1000-40n=200;n=20.

Кредит взят на 21 месяц.

2) Выплаты без учёта процентов

3)Ежемесячная переплата

4) Общая сумма выплат

20·40+200+ (20S-(40+80+···+19·40))+·200=1378

126r=378

r=3

Ответ: 3%

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/388114-primenenie-matematicheskih-metodov-dlja-reshe