Конспект "Задачи, требующие внимания"

Бадякина Наталья Ивановна

учитель математики

Ильинская основная общеобразовательная школа№21

х. Ильинский, ст. Егорлыкская, Ростовкая область

В материал включены нестандартные задачи занимательного характера. Задания, требующие значительных умственных усилий, их можно применять для подготовки к математическим олимпиадам, для внеклассных мероприятий, кружках. Задания рассмотрены с подробными решениями.

Нестандартные задачи.

Докажите равенства:

применяя формулы сокращённого умножения, выполним преобразования:

а) (1 + х + х²) (1 - х + х²) = 1 + х⁴

(1 + х + х²) (1 - х + х²) = ((1 + х²) +х ) ((1 + х²) - х ) = (1 + х²)² - (х²=

1 + 2х² + х⁴ – 2х² = 1 +х⁴.

б) (1 + х²) (1 + х + х²) (1 - х + х²) = 1 + х⁶

(1 + х²) (1 + х + х²) (1 - х + х²) = (1 + х²) ((1 + х²) + х ) ((1 + х²) - х ) = (1 + х²)

(1 + х²)² - (х²= (1 + х²) (1 + 2х²+ х⁴ – 3х²) = (1+ х²) (1- х²+ х⁴) = 1³ +(х²)³= 1 + х⁶.

2.Часть жителей одного города умеет говорить только по-русски, часть – только по-узбекски и часть умеет говорить на обоих языках. Всего по-узбекски говорят 85% жителей, а по-русски – 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение:

100% - 85% = 15% -только на русском,

100% - 75% = 25% -только на узбекском

100% - (15% + 25%) = 40% - на обоих.

3. Брату и сестре понравилась книга, но, чтобы купить её, брату не хватало 200 р, а сестре 140 р. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает ещё 40 р. Сколько стоит книга?

Решение: пусть у брата было а руб., а у сестры в руб. Составляем равенства: а +200 = в +140 = а + в +40,

в +140 = а + в + 40 а – в = -200 +140,

в – а – в = 40 – 140 100 – в = - 60

- а = -100 - в = - 160

а =100 в = 160

а + в +40 = 100 + 160 + 40 = 300 р – стоит книга.

4. Сумма трёх чисел равна 99. Произведение первого числа на 10, второго на 15 и третьего на 5 равны между собой. Найдите эти числа.

Решение: а + в + с = 99 10а =15в=5с 2а = 3в = с

пусть с- х, в - 3х, а – 2х, х + 2х +3х = 99, х = 16 - с, 49 - а,

в =33

Ответ: 16 , 49 , 33.

5. Во время экскурсии группе учеников нужно было переехать через бухту. На берегу стояло несколько лодок. Когда ученики стали усаживаться, то заметили, что если в каждую лодку сядет по 6 человек, то для четырёх учеников на хватит места, а если по 8, то одна лодка окажется лишней. Сколько было учеников и лодок?

Решение: пусть х – было лодок. 6х +4 = 8 (х -1), х =6 –лодок, 40 учеников.

6.Надо разрезать доску длиной 3 м на 2 части так, чтобы число метров большей части было равно числу дециметров меньшей.

Решение: пусть разрезали доску так, что большая часть стала равной х м. Мы знаем, что 1дм = 0,1м. Следовательно, если большая часть в метрах равна числу в дециметрах меньшей части, то она равна 0,1х м. Необходимо разрезать доску на две части, длина которой 3 м. Составим и решим уравнение:

х + 0,1х = 3;

1,1х = 3;

х = 3 / 1,1;

х = 2,7272 м;

2. Найдем длину меньшей части:

3 - 2,7272 = 0,2727 м;

Переведем в дм, 0,2727 м = 2,727дм;

4. Большая часть равна 2,7272 м, а меньшая 2,727дм.

Ответ: чтобы разрезать доску, необходимо от края отмерить 2,7272 м и распилить. 

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ

1.Туристы своего маршрута проехали на автобусе, остальную часть прошли пешком, затратив на это времени в 4 раза больше. Во сколько раз на автобусе ехали быстрее, чем шли пешком? Решение:

Для автобуса: S tV_а= S : t=

Пешком: S 4tV_п= S : 4t=

V_{а :} V_п = : = =12

2. Пассажир пришёл на станцию за 3 мин до отправления поезда. Если бы расстояние до станции поезда было на км меньше, то, идя с той же скоростью, он пришёл бы раньше на 13 мин. С какой скоростью шёл пассажир?

Решение: За 13 -3=10 мин пассажир проходит 1км, значит за 1 час пассажир проходит 6 км.

Ответ: 6 км/ч.

3.Велосипедист ехал в город со скоростью 15 км/ч, а возвращался со скоростью 10 км/ч. С какой средней скоростью ехал велосипедист?

Решение:V_ср=S : t весь путь -2S, время: t₁= t₂=

t_{1 +} t₂= ==

V_ср= S : t = 2s : = =12

Ответ: 12 км/ч

4.Одновременно с двух станций вышли два поезда. Встретились они через 3 ч после выхода. Один из поездов проходит всё расстояние между станциями за 5ч. За сколько времени проходит это расстояние другой поезд?

Решение: S: ( V₁ + V₂ ) = 3 (1) V₁ = S : 5 V₂ = S : t

V₁ +V₂= (S : 5 ) + (S : t)=S(t +5 _{) :} 5t, подставляя в 1 уравнение

3= ;

3(t +5 _{) =} 5t,

3t-5t= -5 *3

1 t =

Ответ:t = 11 ч.

5. Задача на движение по воде. За 5 ч катер проходит по течению реки на 20 км больше, чем против течения за это время. Найдите скорость течения.

20: 5 =4 – V_{по т} –V_{пр т}

V_{ск т} = (V_{по т} –V_{пр т} ) : 2 = 4 : 2 = 2 км /ч

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/391207-konspekt-zadachi-trebujuschie-vnimanija