Исследовательская работа учащегося «Паркет: геометрия и искусство»

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6 имени Героя России

С.Л. Яшкина» г. Перми

Паркет: геометрия и искусство

Выполнила
Туманова Анна,

ученица 8 «В» класса

Руководитель
Орлова Елена Валентиновна,

учитель математики

Пермь, 2019

Оглавление

Введение3

1.Сквозь века …4

2. Геометрические паркеты5

2.1 Правильные паркеты6

2.2 Полуправильные паркеты7

2.3 Паркеты из неправильных многоугольников8

3. Паркеты из произвольных фигур 8

4. Паркет для комнаты9

Заключение12

Списоклитературы13

Приложения………….……………………………………………………….....…14

Введение

Математика несет красоту в любую науку

В.М. Волькейнштейн

Математика является необходимой частью жизни человека, ведь математические знания применяются во всех сферах жизни. Так знания геометрии широко используются в создании новых зданий, дорог, мостов и многого другого. Безусловно, математика даёт нам возможность применить знания и в украшении окружающего мира. Мы повсюду видим красивые дорожки парков, площадей, улиц, а также тротуары, которые украшает интересная плитка. Наш взгляд привлекают оригинальные паркеты в интерьерах.

В основе любого паркета лежит математическая строгость организации

формы, простая или усложненная система поворотов, узор, который строится на симметрии. Для того чтобы создать собственный вид паркета, необходимо изучить уже существующие виды паркетов и то, как онисоздаются.

Целью данной работы является изучение геометрических приемов составления паркетов.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

изучить литературу по данной теме;

ознакомиться с геометрическими приёмами составления паркетов;

разработать собственный паркетный узор

рассчитать количество и стоимость материалов, необходимых для укладки паркета в комнате.

.

1. Сквозь века

Паркет (наборный деревянный пол) относится к наиболее древним видам напольных покрытий: согласно историческим свидетельствам, наборные деревянные полы использовались еще в Древнем Египте, то есть около 5 тысяч лет тому назад [3]. Высоко ценили паркетные полы императоры китайских династий, высшая персидская знать и представители многих других цивилизаций.

Само слово "паркет" пришло в русский язык из французского языка. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.[7]

История паркета в России начинается приблизительно с XVI столетия — когда помимо настилаемых дощатых полов, состоящих из больших массивных досок во всю длину помещения, начали изготавливаться напольные покрытия из так называемых «дубовых кирпичей», вырезаемых из досок дуба. Подобные полы получили название «косящатых», поскольку укладывались именно знаменитым рисунком «елочкой». Их выкладывали на грубо сработанное основание из мягких пород древесины — преимущественно сосны.Дальнейшее развитие художественного паркета в России привело к использованию щитового паркета, когда узоры попусту набирались в щиты размером 1,5х1,5 метра и выкладывались на основу.Для изготовления паркета и наряду с  местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев: фиолетовый палисандр, розовый амарант, желтое и красное сандаловое дерево, шелковицу, черное эбеновое, оливковое дерево и др.[12]

Художественный паркет выполняли обычно 2 способами — интарсией, которая предполагала инкрустацию, и маркетри, которая состояла в наборных работах. [11]

В начале 18 века в России доминировал стиль раннего барокко и мода на геометрические рисунки паркета - кубы, ромбы, квадраты, кресты, многолучевые звезды, составляющие основное поле пространства пола, что определялось помимо художественных предпочтений простотой способ изготовления - требовались только прямые резы планок. Все производство паркета вплоть до конца 19 века выполнялось ручным способом. Лишь к началу 20 века ряд фабрик приступили к массовому промышленному производству простых паркетных планок из различных пород древесины. Сегодня детали паркета вырезаются на станках и с применением лазера и компьютера.[12]

В настоящее время выделяют следующие разновидности паркета: штучный, наборный (мозаичный), щитовой, дворцовый (художественный), массивный [10] (Приложение 1).

Геометрические паркеты

В геометрии паркетом  называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.[9] С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Паркетами покрывают не только полы в домах, но и украшают ими стены комнат и зданий. Для создания интерьеров используются изделия выполненные из лоскутов материи, Издавна на Руси вяжут пуховые платки напоминающие паркеты (Приложение 2). Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

2.1 Правильные паркеты

Правильным (Платоновыми) паркетом называется паркет, составленный из равных правильных многоугольников, и вокруг каждой вершины правильного многоугольника многоугольники расположены одним и тем же способом.[2] (Приложение 2)

В природе и в жизни мы часто имеем дело с правильными паркетами. Например: шахматная доска и пчелиные соты (Приложение 2). Эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Шахматная доска – паркет из правильных четырехугольников. Пчелиные соты – паркет из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт. В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют. Задача о замощении плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками была известна еще древним грекам. Позже было доказано, что выложить паркет из других видов правильных многоугольников нельзя, так как геометрические фигуры могут«встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе онине сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг надруга.[1]

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:

m*180º*(n-2)/n=360º(величина угла правильного n-угольника равна 180º*(n-2)/n)

После преобразований получим: m=2*n/(n-2).

Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).

Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n=5, m=3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n=6, m=3 (3 шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников (п > 7; 8; 9… ) построить нельзя![2]

Полуправильные паркеты.

Самые простые паркеты складываются из одинаковых правильных многоугольников, имеющих одинаковые же стороны и углы.Используя две или больше фигур, можно замостить полуправильный паркет.

Полуправильными (архимедовыми) паркетами  называются паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую. (Приложение 2)

Сумма углов правильных многоугольников, сходящихся в одной вершине, равна 360 ⁰. Поэтому в вершине паркета может сходиться не мене 3 и не более 6 многоугольников. Это объясняется тем, что если в одной вершине сходятся два многоугольника, то внутренний угол одного из них должен быть более 180⁰, но это невозможно. Аналогично, если предположить, что в одной вершине сходятся семь многоугольников, то у одного из них внутренний угол должен быть менее 60⁰. А это также невозможно, так как 60⁰-минимальный угол правильного многоугольника (треугольника).[2]

Существует всего 8 видов паркетов, составленных из нескольких правильных многоугольников разной формы [8]:

1) с 3-мя многоугольниками в вершине (Приложение 2 рис.9-11);

3)с 5-ью многоугольниками в вершине (Приложение 2 рис.14-16).

2.3 Паркеты из неправильных многоугольников

Впрочем, правильными многогранниками геометрия не ограничивается. Если мы не станем упираться в такие фигуры, а сможем использовать любые, возможных паркетов станет бесконечное множество.

Легко покрыть плоскость параллелограммами. (Приложение 3. Рис.9)

Вообще можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого (Приложение 3. Рис. 10).

Еще плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Зато доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». В то же время существуют паркеты из невыпуклых семиугольников (Приложение 3. Рис.10)[5]

Мы можем отказаться даже от симметрии переноса, выкладывая плитку сложным узором: если такую картинку куда-нибудь сдвинуть, она никогда не совпадет с исходной. Такие непериодические паркеты можно выкладывать с помощью самых разных фигур. Классические исследования на эту тему во второй половине ХХ века провел знаменитый английский математик Роджер Пенроуз, описавший три типа мозаик, в которых используется от двух до шести разных фигур, замощающих плоскость без промежутков, при этом рисунок не повторяется никогда. В мозаике Пенроуза (Приложение 3. Рис.12) невозможно найти «минимальный» рисунок, который, будучи скопированым, замостил бы плоскость без промежутков. Тем удивительнее, что сама мозаика, не повторяясь, замощает ее целиком [12].

Паркеты из произвольных фигур

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае - многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование "два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек"; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.[6]

Наиболее яркими примерами таких паркетов являются работы голландского художника Мориса Эшера, который говорил «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам».  Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц,рептилий.(Приложение 4)

Исходя из "расширенного" определения рассмотрим способы построения нового паркета.[6]

1) Необходимо взять уже известный паркет (удобнее всего паркет, состоящий из прямоугольных четырехугольников, так называемой «сетки»). Сжимая или растягивая отрезки «сетки», заменяем прямолинейные отрезки кривыми с началом и концом в тех же точках, что и уотрезков;

2) Объединить отдельные элементы уже существующих паркетов;

3) Существующую «сетку» дополнить новыми линиями;

4) Наложить друг на друга несколько «сеток», сместив и/или повернув их, чтобы получился необычный замкнутый контур.

Изучив виды паркетов и способы их построения я создала свои паркеты (Приложение 5).

Паркет для комнаты

Знания геометрии помогают при проведении отделочных работ, в частности, при укладке пола паркетом.

Сначала замеряется площадь пола помещения, в котором будет происходить монтаж напольного покрытия, а затем рассчитывается необходимое количество доски. Это число зависит от направления укладки. При монтаже паркета по прямой к стене, необходимо  купить материала примерно на 7% больше площади помещения, при диагональной укладке, увеличение от площади пола составит около 15%. Варианты раскладки паркета в Приложении 6.

Ниже приведен сравнительный анализ стоимости паркета в магазинах г.Перми

На ремонт ушло 490 рублей на плинтусы, 14400 рублей на укладку паркета и 25116 на покупку самого паркета.

ИТОГО: 40006 рублей

Рассмотрев различные способы раскладки паркетной доски, сравнив цены на материалы в магазинах города, я пришла к выводу, что наиболее выгодный паркет из дубовых досок размером 2,283*0,194 укладкой по прямой к стене, Но более эстетично выглядит паркет «елочка». На его изготовление потребуется 46 досок. С учетом сопутствующих материалов и стоимости работ необходимо затратить 41928 рублей.

Заключение

Паркеты так часто встречаются в жизни, что мы иногда их не замечаем. Кажется, что придумать паркет невероятно сложно. Конечно, без таланта здесь не обойтись, но нужны знания и умения, воспользовавшись которыми можно создать свой неповторимый рисунок.

Погрузившись в мир паркетов, познакомившись с принципами их построения мы пришли к выводу, что паркет – это геометрия и искусство.

Список литературы

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: 1982

И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ергажиева «Наглядная геометрия»

Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: 1959

Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. - М.: Наука, 1974, с. 15 /Библиотечка физико-математической школы, выпуск 4.

Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. - М.; 1961.

Журнал //Квант. 1979. - № 2. - С.9; 1980. - № 2. - С.25; 1986 - № 8 - С 3* 1987. - № 6. - С.27; 1987. - № 11. - С.21; 1989. - № 11. - С.57.

Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;

Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. - 1999. - № 2. - С.32.

Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.- Наука, 1966, с. 100.

https://www.calc.ru/Parket-Tipy-I-Vidy-Parketa.html

https://polov.ru/istorija-parketa-v-rossii.html

https://polymus.ru/ru/museum/news/parket-na-polu-matematika/

https://ru.wikipedia.org

Приложение 1.

Разновидности паркетов

Рис.1 Штучный паркет

Рис.2 Наборный паркет

Рис.3 Щитовой паркет

Рис.4 Дворцовый паркет

Рис.5 Массивный паркет

Приложение 2.

Геометрические паркеты

Керамическая плитка

Оренбургский платок

П окрывало выполненное из лоскутов материи

Рис.6 Правильные паркеты

Рис.7 Полуправильные паркеты

Рис.8 Пример правильных паркетов

Рис.9 Рис.10

Рис.11 Рис.12 Рис.13

Рис.14 Рис.15

Рис.16

Приложение 3.

Паркеты из неправильных треугольников

Рис.9

Рис.10

Рис.11

Рисунок.12. Фотография Роджера Пенроуза и паркет, составленный из «худых» и «толстых» ромбов

Приложение 4.

Паркеты Мориса Эшера

Приложение 5

Мои паркеты

Приложение 6

Варианты застилания пола паркетом

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/392487-issledovatelskaja-rabota-uchaschegosja-parket