Статья: «Государственная итоговая аттестация по математике. Типичные ошибки и методические приемы их устранения»

Статья: «Государственная итоговая аттестация по математике. Типичные ошибки и методические приемы их устранения»

Бушкова Марина Григорьевна

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Школа с. Белоярск

учитель математики

В математике приходится учиться в основном на собственных ошибках. Не ошибается тот, кто ничего не делает. Ошибка – вещь необходимая и полезная. Необходимая и полезная, но не на экзамене. На экзамене ученик должен показать хорошие результаты, чтобы затем продолжить образование на следующей ступени обучения. Задача учителя - в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, что будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся. Я.А. Коменский писал: «Любая ошибка превращается из маленького снежка в большой снежный ком, если на эту ошибку сразу не реагировал учитель при непременном привлечении самого учащегося к ее осознанию и последующему труду, направленному на ее полное преодоление».

Типичные ошибки учащихся:

незнание правил, определений, формул;

непонимание правил, определений, формул;

неумение применять правила, определения, формулы;

неверное применение формул;

невнимательное чтение условия и вопроса задания;

вычислительные ошибки;

неиспользование свойств фигур при решении геометрических задач;

логические ошибки при решении текстовых задач;

раскрытие скобок и применение формул сокращенного умножения.

Причины ошибок по математике:

пропуски занятий приводят к незнанию материала, пробелам в знаниях;

поверхностное, невдумчивое восприятие нового материала приводят к непониманию его;

недостаточная мозговая деятельность приводит к неумению применять правила, определения и формулы;

неряшливый, неаккуратный почерк ученика приводит к досадным ошибкам (учащиеся не всегда сами понимают, что именно они написали);

усталость, чрезмерная нагрузка и недостаточный сон приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам;

кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную) приводит к утрате только что воспринятого материала, приходится все начинать сначала;

низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки;

«зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается ошибка.

низкая мотивация: следствие низкой мотивации – потеря внимания и ошибка.

Ошибки, допускаемые учениками на экзамене по математике, я бы условно разделила на три категории: технические; глупые, обидные, сделанные на ровном месте; содержательные.

Технические ошибки связаны с неправильным заполнением бланков ответов. При проверке пробных диагностических и тренировочных работ, первое, что бросается в глаза, – это неграмотное заполнение бланка с кратким ответом.

Есть смысл показать ученикам презентацию, в которой показано то, как нельзя заполнять бланки.

К заданиям, где требуется установить соответствие, а это соответствие в КИМах предлагается привести в форме таблицы, учащиеся нередко переносят в бланк ответов как «А2Б1В3», или «2,1,3», или «2;1;3», или «2 1 3» вместо верного «213».

Нередко ученики в бланк ответов вписывают единицы измерения, что нельзя делать (единицы длины, веса, градус).

Случается, что задача учащимся решена неверно и в неверном ответе содержится знак радикала – в этом случае следовало бы пересмотреть решение, но школьники упорно пытаются вписать знак арифметического квадратного корня в клетки бланка ответов.

В некоторых работах наблюдаем, как числа написаны небрежно: иногда бывает невозможно понять, что написано 6 или 0, 5 или 6, 1 или 7, 3 или 9. Данное замечание относится и к записи решения задач с развернутым ответом – иногда просто невозможно понять, что написано учеником.

Некоторые ученики в черновиках пишут настолько неаккуратно, что из-за этого на пустом месте теряют знаки или числа. Почему-то вычисления в столбик и деление уголком многие выполняют в черновиках стыдливо мелким шрифтом где-то сбоку, будто боятся, что кто-то заметит их за этим постыдным занятием. Приучайте работать учеников в своих черновиках разумно. Это поможет избежать ненужных, досадных ошибок.

Самые частые и обидные ошибки дети совершают в том, что, как им кажется, они знают.

Во избежание обидных ошибок следует обращать внимание учащихся на указания, написанные курсивом или записанные в скобках.

Пример. Найдите корни уравнения х² + 7х – 8 = 0

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

В этом примере формирование ответа у многих учеников может вызвать затруднение. Полученные корни: -9 и 2. В соответствии с указанием ученики должны записать -92.

Отрабатываем материал с опорой на теорию. Рассмотрим задание на числовые неравенства.

Какие из следующих утверждений верны при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию а > b?

a – 3 > b – 2

a² > b²

5a > 5b

a – b>-2

Как чаще всего решают такие задачи? Выбирают какие-то конкретные значения a и b, а затем начинают подставлять их в утверждения. В большинстве случаев такой способ годится, но не всегда. Надежнее пользоваться свойствами неравенств.

Давайте подставим значения а = 6, b =2, ведь 6 >2. Проверим первое утверждение:

6 – 3 > 2-2; 3 > 0. Получили верное неравенство. Ученики в таком случае поставят «+» и будут уверены в своей правоте.

Однако, если взять пару чисел а = 3,5 и b =3, то получится неверное равенство: 3,5 - 3 > 3-2; 0,5 > 1.

Оказывается, это неравенство верно, но не при любых значениях а и b. Поэтому ставим "- ".

Как нужно действовать, чтобы избежать ошибки?

Из того, что а > b, следует а – b > 0. Неравенство а – 3 > b – 2 преобразуем: а – b > 1. Думаем: всегда ли верно это неравенство? Этого гарантировать мы не можем, так как нельзя же утверждать, что, если а > b , то разность этих чисел всегда > 1. Например, при а = 1,2 и b = 1 разность а – b = 1,2 - 1 = 0,2 < 1.

Проверим второе утверждение. 6² > 2², 36 > 4. Но если взять а = - 6, b = - 10, то получим неверное равенство: 36 > 10. Когда мы взяли отрицательные числа, то все сломалось. Это утверждение верно, но не при любых значениях. В этом утверждении мы также вынуждены поставить "- ".

Третье утверждение верно всегда, так как, если обе части неравенства умножить на положительное число, то получится равносильное неравенство.

Четвертое утверждение верно всегда. По условию а – b > 0, но 0 > - 2. Следовательно, тем более, а – b > -2.

Как наши дети применяют формулы сокращенного умножения? Можно встретить такие решения: (а + b)² = а² + b²; (а – b)² = а² - b². Удвоенное произведение членов пропускают. Придумывают несуществующие формулы, например, а² + b² = (а – b)(a+b).

Что с этим делать? Учить, доводить до автоматизма, учить применять эти формулы в 7 классе, продолжать работу в 8-9 классах. Включать упражнения на применение этих формул на этапе повторение пройденных материалов на уроках.

Самые глупые и обидные ошибки связаны с банальной невнимательностью. Во многих случаях учащиеся невнимательно или не до конца читают текст задачи, отвечают не на поставленный вопрос. Чаще всего это задачи на чтение графиков, теорию вероятности.

Пример. На экзамене 25 билетов, Иван не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Ответ: 0,28.

Этот ошибочный ответ объясняется тем, что ученик невнимательно прочитал вопрос задачи.

Необходимо приучать учеников проверять, отвечает ли полученный ответ на вопрос, поставленный в задаче. Можно пару раз самому учителю допустить ошибку и спровоцировать их на обсуждение данной проблемы.

Итак, добиваемся от учеников внимательного чтения условия задачи

Необходимо приучать учеников детально прорабатывать каждое задание, делать проверки. Некоторые ученики стараются перескакивать через несколько шагов вычислений, делая их в уме. Но в условиях экзамена лучше посчитать надежнее, расписав несколько лишних действий, чем провести их в уме, рискуя сделать ошибку. Если ученик все сделает верно, это сэкономит 5 с из 4 часов. Если ученик приучен делать проверки в вычислениях, это поможет ему избежать на экзамене досадных ошибок. Цена ошибки – драгоценные баллы.

Ошибки нужно изучать, выявлять наиболее устойчивые, вести учет. Работать над формированием навыков самоконтроля, приучая учащихся к проверке вычислений и преобразований путем обратного действия, к оценке результата решения задачи с точки зрения здравого смысла.

Пример. Решить уравнение 58 – 11х – 8 = 0

58 – 11х – 8 = 0

-11х = 58 + 8

-11х = 58 + 8

-11х = 66

х = 66 : (-11)

х = -6

Приучаем детей делать проверку:

-58 - 11(-6) – 8 = 0

-58 + 66 -8 = 0

0 = 0

При упрощении дробно-рациональных выражений зачастую подводит «коварный» минус. При вычитании многочлена ученики не меняют знаки членов, тем самым приводят решение в тупик, теряют время и получают неверный ответ.

Пример. Найти значение выражения при а = 78, с = 21.

Приведем пример неверного решения:

Как избежать ошибку?

После «минуса» многочлен сначала лучше записать в скобках, а затем эти скобки раскрыть:

Задания по геометрии учащимися решаются с меньшей успешностью.

Определение сosα, sinα, tgα, ctgα- больная тема. Ученики плохо запоминают определение, а в стрессовой ситуации путают эти определения. Можно применить секреты для запоминания.

Начнем с определения сosα. Слово «косинус» созвучно со словом «коснуться». Значит, в определении косинуса фигурирует катет, который касается угла, то есть сosα - это отношение катета, прилежащего к углу, к гипотенузе. Для sinα остается отношение противоположного катета к гипотенузе.

Слово «тангенс» созвучно со словом «там» (далеко), то есть – это отношение противоположного (дальнего) катета к прилежащему катету.

Таких секретов для лучшего запоминания в математике много, и мы, учителя, щедро делимся с учениками этими секретами.

В задачах по геометрии в работе со слабоуспевающими при отработке конкретного задания не стоит показывать все вариации решений. На мой взгляд, лучше выбрать самый оптимальный способ решения, сформулировать его на этапе изучения нового материала с учениками и пользоваться этим способом вплоть до сдачи экзамена. Дело в том, что малейшее отступление от алгоритма сбивает слабых учеников с толку, они теряют уверенность, допускают ошибки.

Пример. Тема «Теорема Пифагора» применяется на ОГЭ в практических геометрических задачах. В этом году эта теорема может быть использована в одном из практико-ориентированных заданий №№ 1-5.

В работе со слабоуспевающими детьми отрабатываю следующую схему применения теоремы Пифагора:

Многократное использование одной и той же схемы позволит даже самым слабым ученикам справиться с заданием. Пусть будет один способ, но надежный.

Самые частые ошибки в ГИА по математике связаны с дробями и отрицательными числами — такие результаты из года в год отмечают специалисты из федеральной группы разработчиков ГИА по математике. То есть «слабым местом» оказались темы, которые ученики проходят в 5-7 классах.

Чтобы перед экзаменом не терять время на ликбез, необходимо отрабатывать материал на этапе его изучения. Много сил и энергии учитель тратит на работу со слабоуспевающими учениками. В работе с ними помимо математических правил необходимы особые приемы, личные придумки, и у каждого учителя их немало.

Даю совет слабоуспевающим ученикам: перед тем как начать работу, напишите таблицу умножения. Пусть она будет перед глазами.

Но даже написание таблицы в черновике нужно отрабатывать с учеником при подготовке к экзамену. Пусть он на консультации вам несколько раз продемонстрирует умение составления таблицы умножения.

Прочному усвоению (а значит, отсутствию ошибок) способствуют правила, удобные для запоминания, четкие алгоритмы, следуя которым заведомо придешь к намеченной цели.

Пример. Расположить числа 0,66; 0,066; 0,606; 0,0606 в порядке возрастания.

Очень важно, как ученики оформляют решение в черновиках. Сильные ученики буквально устно могут выполнить это задание. А вот слабых и невнимательных учеников желательно приучать к строгим схемам.

Одна из схем может выглядеть следующим образом:

Тщательное прорабатывание решения – залог успеха.

Лучшему усвоению математического материала помогут некоторые ассоциативные картинки. Математика должна ожить в образах.

В работе со слабоуспевающими учениками необходимо использовать универсальные способы решения. Например, у них возникают большие проблемы при нахождении НОЗ, при сокращении дробей, при внесении множителя за знак корня. Во всех перечисленных случаях поможет разложение на простые множители.

Пример: Найти значение выражения .

Пример .

Итак, учащиеся с низким уровнем обученности:

•выполняют задания по образцу;

•с проработкой;

•многократным повторением правил и формул;

• методы и приемы отрабатывают до автоматизма.

Разберем некоторые ошибки в заданиях ОГЭ с развернутым решением.

В задачах на проценты необходимо акцентировать внимание на необходимости определить стопроцентную величину, только после этого выбирать способ решения.

Пример. Вишня стоит 120 рублей за килограмм, а черешня – 150 рублей за килограмм. На сколько процентов черешня дороже вишни?

Как могут дети решить такую задачу? Некоторым учащимся кажется, что 150 руб. – 100%, что неверно. Ключевое утверждение к таким задачам: за 100% принимают ту величину, с которой сравнивают другие величины.

В нашей задаче стоимость черешни сравнивается со стоимостью вишни. Следовательно, 100% - 120 руб.

Полезно разобрать эту же задачу с другим вопросом.

Пример. Вишня стоит 120 рублей за килограмм, а черешня – 150 рублей за килограмм. На сколько процентов вишня дешевле черешни?

Решение. В этой задаче стоимость вишни сравнивается со стоимостью черешни. Следовательно, 150 руб. – 100%.

В качестве еще одного примера рассмотрим задачу, предлагаемую в 9-ом классе для развернутого ответа

Задача: «На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?».

Решение одного из учеников: ; х = 25; х = -9,5 (не подходит).

Ответ: 25 деталей.

Комментарий. Приведенный ответ совпадает с верным. Уравнение по условию задачи составлено верно, если принять, что x – это число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий. Но если учащийся не говорит, что принимается за x, то проверить правильность составления уравнения невозможно: в зависимости от того, какую величину приняли за x, получим различные уравнения. К сожалению, эксперт вынужден будет поставить 0 баллов. Заметим, что при арифметической ошибке при решении верно составленного уравнения решение оценивается неполным баллом.

Иногда ученики приводят пояснение к составлению уравнения в форме таблицы – это выбор учащегося, но при этом сам учащийся должен понимать, что его запись должна быть понятна не только ему, но и проверяющему. Думаем, размышляющий ученик здесь согласится, что запись решения текстовой задачи с помощью составления уравнения следует начинать словами: «Пусть x – это…».

В случае арифметического решения задачи (по действиям) необходимо давать пояснения каждому действию. Иначе получаем, что ученик складывает, вычитает, умножает, делит числа, в итоге получает некоторое число, которое записывает в ответ. Это число, конечно, может и совпадать с верным ответом, но верны ли при этом размышления? Подчеркнем, эксперт не должен додумывать за ученика, он проверяет верность решения.

Кроме того, если составленное уравнение – дробно-рациональное, необходимо указать О.Д.З.

Задание 23. Основным условием положительной оценки за решение задания № 23 является верное построение графика. Верное построение графика включает в себя: масштаб, содержательная таблица значений или объяснение построения, выколотая точка обозначена в соответствии с ее координатами.

Комментарий: график построен неверно – отсутствует выколотая точка. В соответствии с критериями – 0 баллов.

Оценка эксперта: 0 баллов.

При проведении диагностических работ следует подбирать задачи, прямые аналоги которых в классе не разбирались. Только так учитель может составить верное представление об уровне знаний и умений своих учеников.

Перед учителем математики стоит задача: научить всех учащихся, подготовить их к прохождению ГИА, создать базу для дальнейшего образования. Но его терпение, тактичные и доброжелательные отношения ко всем ученикам, искренняя заинтересованность в их успехах является основой выполнения этой нелегкой задачи.

Чем ученики больше знают - тем меньше стресс и больше уверенность в себе и своих силах. Очень важна аксиома: больше знаешь – меньше боишься, меньше боишься - больше веришь в победу, веришь в победу - значит победишь. Задача педагогов и родителей заставить поверить в это учеников.

Список литературы:

Дука Н. И. Методическая разработка. Ошибки учащихся при изучении математики, их предупреждение и объяснение. // сайт Социальная сеть работников образования.nsportal.ru/20.08.2013.

Сайт Сдам ГИА: Решу ОГЭ. математика

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/399296-statja-gosudarstvennaja-itogovaja-attestacija