Методическая разработка урока на тему «Площадь криволинейной трапеции и интеграл»

Горно – Алтайский педагогический колледж

Тема: Площадь криволинейной трапеции и интеграл.

Цели:

Изучить понятие «определенный интеграл», его свойства.

Вывести формулу Ньютона-Лейбница и рассмотреть её применение к вычислению площади криволинейной трапеции.

Преподаватель Ачапова А.А

Содержание занятия

Математическая разминка:

а) найти первообразную функции: а)f(x)=4x б) f(x)=2-x⁴; в)f(x)=cosx+x; f(x)= х³-2х

б) найти общий вид первообразных (неопределенный интеграл) для функций;

а) б) в) г) д)

II. Изучение нового материала:

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция f(x), не меняющая на нем знака.

Определение. Фигуру, ограниченную графиком функции, отрезком [a;b] и прямыми х=а и х= b называют криволинейной трапецией.

Выясним, как можно вычислить площадь этой криволинейной трапеции.

Обозначим S(x) площадь криволинейной трапеции с основанием [a;x], где х произвольная точка из отрезка [a;b]. При х=а отрезок [a;x] вырождается в точку х=а, и поэтому S(a)=0; при х=b имеем S(b)=S

Покажем, что S(x) является первообразной функции f(x),т.е.S´(x)=f(x).

РазностьS(x+∆x) – S(x)= ∆S(x) равна площади криволинейной трапеции с основанием [x;x+∆x]. Так как функция f(x) непрерывна, то при достаточно малом значении ∆x площади криволинейной трапеции можно заменить площадью прямоугольника, т.е. ∆S(x)=f(x)· ∆x. Отсюда имеем ∆S(x)/ ∆x=f(x). При ∆x 0 ∆S(x)/ ∆x S´(x) ,что означает S´(x)=f(x), а значит S(x) является первообразной функции f(x).

По основному свойству первообразных S(x)=F(x)+C, где F(x) одна из первообразных, С - некоторая постоянная.

Для нахождения значения С подставим х=а: S(a)=F(a)+C т.к. S(a)=0, то C = - F(a).Следовательно, S(x)=F(x) - F(a). Поскольку S=S(b), то подставляя в формулу x=b получим: S=S(b) = F(b) - F(a)

Вывод. Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции нужно:

найти первообразнуюF(x) функции f(x) ;

вычислить значения первообразной при х=а (F(a)) и x=b (F(b));

найти разностьF(b) - F(a);

записать ответ.

Пример. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=в, осью Ох и графиком функции y=f(x), если:

а) а=2,в=4,f(x)=x³ б) а=-2, в=1,f(x)=x²+1(самостоят.)

1) F(x) =

2) F(2) = =4 ; F(4) =64;

3) F(4)- F(2)=64-4=60

4) Ответ:S=60

О пределение. Разность F(b) - F(a) называют интегралом от функции f(x)на отрезке[a;b] и обозначают так:

(читается: интеграл от а до в эф от икс дэ икс).

По определению имеем формулу: = F(b) - F(a)

Формула называетсяформулой Ньютона – Лейбница в честь создателей дифференциального и интегрального исчисления.

Зная, что S(x)=F(x) - F(a) и формулу Ньютона – Лейбница получаем:

S= =F(x) _а ^в =F(x) - F(a)

Таким образом, для вычисления площади криволинейной трапеции можно применять формулу Ньютона-Лейбница.

Пример. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиямиy=x³,x=1,x=3,y=0.

S = = = = 20

Ответ: S =20

Задание для самостоятельной работы:

А.Г.Мордкович и др.( задачник) :с.160,161; №1021-1022; 1029-1032

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/418907-metodicheskaja-razrabotka-uroka-na-temu-plosc