Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Урок 14. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

 Цели урока: повторить теорию; подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока.

I. Организационный момент. II. Актуализация знаний учащихся. 1. Проверка домашнего задания. а) первый ученик у доски решает № 45 (а); б) второй ученик у доски решает № 46; в) третий ученик у доски решает № 90.

№ 45 а. Дано: ABCD - параллелограмм; а || ВС; а ∉ (ABCD) (рис. 1). Доказать: а и CD - скрещивающиеся. Найти: угол между а и CD, если ∠BCD = 50°.

Решение:

I. 1) Так как а || ВС, то проведем через них плоскость α.

2)D ∉ α, так как иначе DC ∈ α, то есть α совпала бы с плоскостью ABCD и а ∈ (ABCD), что противоречит условию.

3) Тогда DC ∩ α в точке С ∉ а;

4) Вывод: по теореме а и CD - скрещивающиеся.

II. Проведем через точку С прямую, параллельную прямой а. Это будет прямая СВ. Значит, угол между а к СВ равен углу между прямыми СВ и CD, то есть ∠BCD = 50°. (Ответ: 50°.)

№ 47. Дано: ABCD - пространственный четырехугольник; АВ = CD,N - середина AD; М - середина ВС (рис. 2). Доказать: угол между АВ и MN и угол между CD и MN равны.

Решение:

1. Точка К - середина АС. Через точку М проведем МК || АВ, МК - средняя линия ΔABC, ∠(MN, АВ) = ∠KMN.

2. МК - средняя линия ΔABC, МК || АВ; МК = 1/2АВ. Через точку N проведем NK || DC,NK - средняя линия ΔADC, ∠(DC,MN) = ∠MNK.

3.NK - средняя линия ΔCDP;NK || CD;NK = 1/2CD.

4. КМ = 1/2АВ, NK = 1/2DC, так как АВ = DC, то КМ = NK, то есть ΔNMK - равнобедренный.

5. Вывод: ∠KMN = ∠MNK, что и требовалось доказать.

6.

№ 90 (рис. 3).

а) Решение: Если АВ ∈ α и АВ || DC, то DC || α;

б) Решение: АВ не параллельно CD. Так как АВ и CD лежат в одной плоскости ABCD, то АВ ∩ CD. Значит, CDпересекает плоскость α.

2. Работа по карточкам (см. приложение). Три ученика работают по карточкам. Остальные учащиеся решают задачу по планиметрии.

Дано:ABCD - трапеция, описанная около окружности. АВ = CD. Т, М, Р, Е - точки касания окружности. ВТ = 2, АЕ = 8 (рис. 4). Найти:SABCD.

Решение:

 (Ответ: 80.)

Решение задач к карточкам.

Карточка № 1

№ 1. Решение:

а) Так как К - середина АВ, и М - середина ВС, то КМ - средняя линия ΔАВС. КМ || АС и КМ = 1/2АС. Так как ACFE - квадрат, то EF || АС.

Вывод:KM || EF.

б) Так как ACFE - квадрат, то

(Ответ: а) КМ || EF; б) КМ = 4 см.)

№ 2. Дано: ABCD - трапеция: BC || AD - основания. AD ∈ α; точка Е - середина АВ; точка F середина CD;EF ∉ α (рис. 5). Доказать: EF|| α.

Доказательство:

1. Так как Е - середина АВ, F - середина CD, то EF - средняя линия трапеции ABCD.EF || AD - по свойству средней линии.

2.AD ∈ α - по условию.

3. Вывод: EF || α (по признаку параллельности прямой и плоскости, п. 6, стр. 12).

№ 3. Дано: точки А, В, С, и D не лежат в одной плоскости (рис. 6).

Найти: а) прямую, скрещивающуюся с АВ; б) прямую, скрещивающуюся с ВС.

(Ответ: a) DC; б) AD.)

Карточка № 2

№ 1. Дано: А, В, С, D - не лежат в одной плоскости; точка Е - середина АВ; точка F - середина ВС; точка М - середина DC; точка К - середина AD (рис. 7).

а) Доказать: EFMK - параллелограмм.

б) Найти: P(EFMK), если АС = 6 см; BD = 8 см.

Решение:

а) КМ - средняя линия ΔADC ⇒ КМ || АС; КМ = 1/2АС; MF - средняя линия ΔDCB ⇒      MF || BD;MF = 1/2BD;EF - средняя линия ΔABC ⇒EF || AC;EF = 1/2AC;KE - средняя линия ΔABD ⇒KE || BD;KE = 1/2BD. Значит,

Вывод:EFMK - параллелограмм.

б)  или  (Ответ:a)EFMK - параллелограмм; б) P(EFMK) = 14 см.)

№ 2. Дано: α - плоскость; точка  (рис. 8).

 Доказать:b ∈ α.

Доказательство: Пусть b ∉ α, но b проходит через точку A ∈ α, ⇒b ∩ α в точке А. А так как a || α, то получается, что b ∩ α, что противоречит условию. Значит, прямая b ∈ α, что и требовалось доказать. (Ответ: b ∈ α.)

№ 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб (рис. 9).

Укажите: три прямые, проходящие: а) через точкуD и скрещивающиеся с прямой АВ1; б) через точку B1 и скрещивающиеся с прямой A1D1.

Решение:

а) прямая АВ1 ∈ (AA1B1B); прямые DD1,DC и DB - скрещивающиеся с прямой АВ1, так как они не лежат в плоскости (АА1В1В);

б) прямая A1D ∈ (AA1D1D); прямые B1D1, В1С1 и ВВ1 - скрещивающиеся с прямой A1D, так как они не лежат в плоскости (AA1D1D). (Ответ: a)DD1,DC,DB; б) B1D1; В1С1; ВВ1.)

Карточка № 3

№ 1. Дано: (ABC) - плоскость; точка M ∉ (ABC); точка D - точка пересечения медиан ΔМАВ; точка Е - точка пересечения медиан ΔМВС (рис. 10).

а) Доказать: ADEC - трапеция.

б) Найти: DE, если АС = 12 см.

Решение:

а) Рассмотрим ΔАКС и ΔDEK. У них

а)  (по свойству медиан в треугольниках); б) ∠K - общий. Значит, ΔАКС и ΔDEK подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из этого следует,  и они являются соответственными при прямых DE и АС и секущих АК и СК.

Вывод:DE || АС, значит, ADEC - трапеция.

б) Так как ΔАKC ~ ΔDKE с коэффициентом подобия k = 1/3, то  (Ответ:a)ADEC - трапеция; б) DE = 4 см.)

№ 2. Дано: АА1, ВВ1, СС1 - отрезки, не лежащие в одной плоскости. АА1 ∩ ВВ1 ∩ СС1 в точке О. Точка О - их середина (рис. 11).

Доказать: прямая АВ || (А1СВ1).

Доказательство: Рассмотрим плоскость, проходящую через отрезки АА1 и ВВ1 (такая есть и единственная, так как АА1 ∩ ВВ1 в точке О).

В этой плоскости лежит четырехугольник АВА1В1, диагонали которого точкой пересечения О делятся пополам. Значит, АВА1В1 - параллелограмм. Следовательно, АВ || А1В1, а А1В1 прямая, которая лежит в плоскости А1СВ1, следовательно, АВ || (А1СВ1). (Ответ: АВ || (А1СВ1).)

Выслушивается и проверяется решение домашних задач.

 III. Решение задач (фронтальная работа).

Дополнительные задачи, № 88 стр. 32.

Дано:AC || BD - прямые; АС ∩ α в точке А; DB ∩ α в точке В; точки С и D лежат по одну сторону от α; АС = 8 см, BD = 6 см, АВ = 4 см (рис. 12).

Доказать:CD ∩ α в точке Е.

Найти:BE.

Решение:

1. Проведем плоскость через прямые АС иBD. Если CD || АВ, то ABCD - параллелограмм, значит АС = BD, но АС = 8 см, BD = 6 см. Значит CD не параллельна АВ, но так как они лежат в одной плоскости, то CD ∩ АВ в точке Е, то есть CD ∩ α в точке Е.

2. а)  как соответственные при AC || BD и секущих АЕ и СЕ.

б) ΔEDB ~ ΔЕСА (по трем углам) ⇒  (Ответ: 12 см.)

Дополнительные задачи, № 97 стр. 32 (рис. 13 а, б, в).

Решение: Рассмотрим ∠АВС и ∠А1В1С1, у которых АВ || А1В1 и ВС || В1С1. Проведем прямую ВВ1.

а)  тогда ∠АВС = ∠А1В1С1 (см. п. 8) (рис. 13 а).

б)  тогда рассмотрим ∠АВC2 - смежный к ∠АВС ⇒ (по теореме пункта 7) ∠АВС2 = ∠ А1В1С1, значит,  (рис. 13 б).

в)  тогда рассмотрим ∠А2ВС2 - вертикальный к ∠АВС. Следовательно,  (см. рис. 13 в).

№ 87 б. Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед.  (рис. 14).

Построить:MNK- сечение.

Построение: Возможны два случая:

I. 1) Соединим точки К и М, КМ || ВС;

2)   (точкаN ∈AD);

3) Соединим К с А и McD;

4)AKMD - искомое сечение.

II. 1) КМ ∩ ВС в точке L;

2) Через точку N проведем прямую а || КМ;

3) а ∩ АА1 в точке Р;

4) Соединим точу К и точку Р;

5)NL ∩ DC в точке К;

6)KPNRM- искомое сечение.

IV. Подведение итогов урока. V. Домашнее задание: п. 1-9. № 87 (а), 46, 93, вопросы № 9-16 (стр. 31-32).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/443278-reshenie-zadach-po-teme-parallelnost-prjamyh-