Решение дробных рациональных уравнений

Методическая разработка

«Нестандартные способы решения дробных рациональных уравнений»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1 имени Героя России М.Г.Ефремова» г.Тарусы Тарусского района Калужской области

Методическая разработка по теме:

«Нестандартные способы решения дробных рациональных уравнений»

Учителя математики

Бидненко Ольги Юрьевны

Таруса, 2021 г.

Содержание

1. Введение.

1.Актуальность методической разработки.

2. Цели и задачи разработки.

3. Новизна, оригинальность разработки.

II. Основная часть.

1.Определение дробного рационального уравнения.

2.Свойства решения уравнений.

3.Примеры.

4.Алгоритм решения.

5.Нестандартные способы решения.

6.Примеры.

7.Домашнее задание.

8.Ответы и указания.

9. Литература.

III. Эффективность методической разработки.

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают одно из ведущих мест: они имеют не только важное теоретическое значение, но и широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач, в предметах естественнонаучного цикла. В курсе алгебры основной школы большое внимание уделяется рациональным уравнениям, и только небольшая часть этой темы отводится на изучение дробных рациональных уравнений. Методы решений таких уравнений в общеобразовательных классах представлены недостаточно полно.

Актуальность методической разработки заключается в том, что здесь подробно рассматриваются нестандартные методы решения более сложных дробных рациональных уравнений, и ею могут воспользоваться не только учителя, но и ученики для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

  Основная цель данной методической разработки  состоит в систематизации и углублении  знаний по методам решения дробных рациональных уравнений.
Решение дробных рациональных уравнений является одним из наиболее трудных вопросов, так как чтобы правильно решить уравнение нужно знать:

- большое количество формул;

- какие способы решения уравнений в каких случаях целесообразно применить;

уметь:

- проводить тождественные преобразования входящих в него выражений;

- безошибочно вычислять.

Цель методической разработки состоит в том, чтобы систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме «Решение дробных рациональных уравнений », а также помочь им вспомнить, самостоятельно изучить основные методы решения дробных рациональных уравнений и преодолеть трудности, встречающиеся при изучении уравнений.

Разработка данного пособия была вызвана, с одной стороны, отсутствием в учебнике более сложных уравнений, с другой, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Именно поэтому в пособии есть уравнения повышенного уровня сложности. Основной упор дан на отработку нестандартных методов решения дробно рациональных уравнений.

Содержательные части всех тем, включенных в данное пособие, построены одинаково, а именно, сначала дается краткий систематизированный материал по теории, затем на примерах, в процессе решения типовых уравнений, иллюстрируются различные методы их решения. В конце каждой темы для отработки понятий и методов имеются уравнения для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям даются ответы, чтобы обучающиеся могли контролировать правильность своего решения.

Новизна методической разработки состоит в том, что в своей работе я попыталась представить личный опыт, который дополняет, развивает и вносит новые элементы в данную теорию. В частности, в предлагаемом мной блоке фрагменты уроков «Нестандартные способы решения дробно рациональных уравнений» определены ведущие цели и задачи конкретной темы, сформирован конечный результат, составлена технологическая карта блока, представлена поурочная технологическая карта, диагностическая карта. Основными положительными моментами считаю реализацию развивающего обучения, раннюю дифференциацию при изучении темы, создающую условия для обеспечения собственной деятельности учащегося, развитие его индивидуальных способностей.

Данная методическая разработка была опробирована в 8, 9 классах . Выпускники 9,11 классов показали хорошие результаты на ОГЭ и ЕГЭ по математике.

1. Понятие дробных рациональных уравнений.

Уравнение y (x) = 0 называется дробным рациональным, если его левая часть y(x) содержит хотя бы одну дробь, в знаменатель которой входит переменная х.

Например:

а) не дробное рациональное уравнение, так как его левая и правая части не содержат переменной в знаменателе,

б) не дробное рациональное уравнение, так как его левая часть не содержат переменнойв знаменателе,

в) дробное рациональное уравнение, так как его левая и правая части содержат переменную в знаменателе,

г)и дробные рациональные уравнения, так как их левые части содержат переменнуюв знаменателе.

Поскольку начинаем работать с дробями учащиеся должны хорошо владеть техникой работы с дробями, а именно:

• при сложении (вычитании) дробей находить общий знаменатель

• при умножении дробей числители и знаменатели дробей перемножаются,

• при делении дробей числитель делимого умножается на знаменатель делителя, знаменатель делимого умножается на числитель делителя.

2.Свойства решения уравнений.

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)

Когда дробь равна нулю? Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Рассмотрим примеры решения дробно рациональных уравнений.

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Уметь:

• находить ОДЗ (область допустимых значений) уравнения;

• приводить дробные рациональные дроби к общему знаменателю.

Понимать:

• если дробь равна 0, то её числитель равен 0;

• в конце решения необходимо проверить, принадлежат ли полученные корни ОДЗ.

• наконец, подставить найденные корни в исходное уравнение.

3 . Алгоритм решения:

1. Определить ОДЗ

2. Общий знаменатель.

3. Числитель приравниваем к нулю.

4. Решаем получившееся уравнение.

5. Проверка корней исходного уравнения.

Примеры:

1.

Решение

, , ,

Нетрудно проверить, подставив значения переменных в исходное уравнение.

Ответ: 3; 4.

2.

Решение

Используем свойство пропорции.

,

получаем линейное уравнение

, .

Ответ: .

3.

Решение

,

,

Корень «5» не входит в ОДЗ

Ответ: -2.

В данном разделе напомнили стандартные способы решений дробных рациональных уравнений, которые решаются по вышеуказанному алгоритму.

4. Нестандартные способы решения дробных рациональных уравнений.

На практике приходится встречаться с дробными рациональными уравнениями, которые по вышеуказанному алгоритму решить трудно. Разберем некоторые примеры.

Пример 1.

Решение

Не будем приводить левую и правую часть уравнения к общему знаменателю, а будем умножать на него левую и правую части

В результате получаем сначала уравнение

, приведем подобные .

По теореме Виета получаем корни уравнения , . Так как корень не входит в ОДЗ, то решением исходного уравнения является .

Ответ: 3.

Пример 2.

Решение

Если приводить уравнение к общему знаменателю , то степень уравнения в числителе становится равной «4», что затруднит дальнейшее решение. Для решения используется метод понижения степени путем замены переменных.

Пусть , тогда заданное уравнение принимает вид

Умножаем

Получаем

, , ,

,

Ответ: 0;2;4.

Пример 3. Понижение степени с помощью замены.

.

Решение:

Так как не является корнем уравнения, то в результате деления в левой части уравнения числителя и знаменателя каждой дроби на переменную получаем уравнение

Делаем замену

Получаем

Умножаем левую и правую части уравнения на общий знаменатель

Получаем

,

,

Найдемиз 1-го уравнения

,

, дискриминант D < 0, корней нет.

Найдемиз 2-го уравнения

,

,

Ответ:

Пример 4. Выделение целой части.

Иногда в дроби степень числителя больше или равна степени знаменателя:

В этом случае в каждой такой дроби можно выделить целую часть

,

,

,

, ,

,

,

, ,

Ответ: -4;-0,5.

Пример 5.

Выделение полного квадрата и замена переменной.

,

, ,

,

, ,

Пусть , тогда

,

, ,

,

Ответ:

Пример 6. Понижение степени.

.

Решение

,

Такой стандартный подход ведет к увеличению степени уравнения в числителе. Поэтому будем решать на понижение степени.

Посколькуне корни уравнения.

Разделим обе части уравнения на

,

.

Сделаем замену

,

, ,

,

,

дискриминант D<0 – корней нет.

,

.

Число 1 не входит в ОДЗ, а число 2 не является корнем заданного уравнения. Таким образом, заданное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Анализируя решения этих уравнений, можно выделить следующие нестандартные способы: замена переменных, выделение целой

части, выделение полного квадрата, понижение степени.

5.Примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Способ решения:

, ОДЗ:

Сделаем замену ,

возведем обе части в квадрат, получим ,

выразим

и подставим в исходное уравнение, получим 

Решаем полученное уравнение :

D = 9 – 8=1, , ,

Получаем два уравнения:

1) , , D = 1 + 32= 33,

2) , , ,

Ответ: , , .

Уравнения, решаемые методом выделения квадрата двучлена:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Способ решения:

ОДЗ:

Обратим внимание на то, что знаменателем дроби является квадрат суммы двучлена, поэтому выделять будем квадрат разности

Сделаем замену переменной

Получим уравнение

Преобразуем его к виду и решим: D = 400 + 500= 900

, ,

Возвратимся к замене переменной и решим уравнения:

1) , , D = 25+ 200= 225, ,

,

2), , D < 0 – решений нет

Ответ:-2,5;5.

6. Уравнения для самостоятельного решения:

1.

2.

3. ,

4. ,

5. ,

6.

Ответы и указания:

1. 6,5 ; 13

2. 0,5

3. -3,-1,2,7

4. В скобках выделить целую часть .-5

5. Указание: поделить числитель и знаменатель на х, сделать замену ,

6. ОДЗ: ,

7. , ,

,

,

Литература

1.Алгебра, 9-11 класс, Мерзляк А. Г., Полонский В. Б.

2. Содержание и некоторые методические особенности учебника «Алгебра. 8 класс. Углублённый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, И. Е. Феоктистова.

3. Алгебра, Мордкович А.Г., Семенов П.В., Методическое пособие для учителей. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 частях. Учебник (профильный уровень) - Мордкович А.Г., Семенов П.В. 

4. ФГОС образовательных программ средней школы.

План-конспект урока на тему:

«Решение дробных рациональных уравнений».

Цели урока:

Обучающая:

- формирование понятия дробно рационального уравнения;

- рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;

- рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;

- обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;

- проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;

- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

- развитие критического мышления;

- развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

- воспитание познавательного интереса к предмету;

- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов

Структура урока усвоения новых знаний(ФГОС):

Структура урока усвоения новых знаний(ФГОС):

На 2-м уроке проверить домашнее задание и применить презентацию 2-го

Ответы, указания, решения

1. 6,5 ; 13

2. 0,5

3. -3,-1,2,7

4. В скобках выделить целую часть -5

5. Указание: поделить числитель и знаменатель на х, сделать замену ,

6. ОДЗ: ,

7. , ,

,

, .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/445272-reshenie-drobnyh-racionalnyh-uravnenij