Задачи на построение

Занятие 18. Задачи на построение

Цели урока:

1. дать представление о новом классе задач на построение;

2. рассмотреть наиболее простые задачи на построение;

3. научить учащихся решать такие задачи.

Задачи:

Образовательный аспект:

• дать представление о новом классе задач – построение геометрических с помощью циркуля и линейки без масштабных делений;

• формировать практические умения работы;

• расширить знания об истории геометрии.

Развивающий аспект:

• развитие навыков самоконтроля;

• формирование ИКТ – компетентности;

• формирование логического мышления.

Воспитательный аспект:

• воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при изучении темы;

• воспитание интереса к истории математики, как науки.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент: Тема сегодняшнего урока - «Примеры задач на построение» .

Цель урока – рассмотреть наиболее простые задачи на построение, которые решаются только с помощью циркуля и линейки без делений; научиться решать их .

2. Повторение. (интерактивный тест)

На уроках математики вы изучали некоторый геометрический материал. Проверим, как вы учили материал. Для каждого вопроса выберите правильный вариант ответа. Самостоятельно оцените свои знания, подсчитав количество верных ответов. Если верных ответов 6 - оценка «5», если верных ответов 5 – оценка «4», если верных ответов 4 – оценка «3», меньшее количество верных ответов – оценка « 2».

(Верные ответы на слайде презентации).

3. Подготовка учащихся к восприятию нового материала:

Вводная беседа учителя:

Вы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры с помощью различных инструментов. При построении отрезка заданной длины использовалась линейка с миллиметровыми делениями, а при построении угла заданной градусной меры – транспортир.

Но есть такие задачи, в которых бывает оговорено, с помощью каких инструментов нужно построить предлагаемую геометрическую фигуру.

Что такое геометрическая задача на построение и что значит её решить?

Задача на построение — это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений) .

О происхождении некоторых геометрических терминов

• Название«циркуль» позднего происхождения – оно происходит от лат. circulus – круг.

• «Линейка» также происходит от лат. linea, linum –лен, льняная нить.

• Большинство же геометрических терминов, начиная с названия «геометрия» – греческого происхождения (ge – земля, metreo – измеряю).

• Аналогично«стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем).

• А вот «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo и лат. planum – плоская поверхность, плоскость

Решение таких задач состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.

В этом смысле решение задач на построение хорошо иллюстрирует один из основных принципов решения любых математических задач: решить задачу это значит свести её к какой-либо задаче, уже решённой ранее!

 Сегодня  мы изучим несколько простейших задач, которые решаются с помощью циркуля и линейки.

Историческое введение. Задачи на построение вошли в практику задолго до того, как геометрия и вообще математика стала настоящей теоретической наукой. И в Вавилоне, и в Древнем Египте в IV–II тысячелетиях до н.э. уже существовала практическая математика (в виде правил записи чисел, т. е. системы счисления, и правил различных вычислений), и практическая геометрия – геометрия в изначальном смысле слова: измерение земли. Но и при измерениях, и при строительных работах нужны были построения. Египтяне, по-видимому, знали, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный, так что с помощью веревки, разделенной узлами на 12=3 + 4 + 5 частей, можно построить прямой угол. Древние греки так и называли египетских геометров «гарпедонаптами» – дословно, «натягивателями веревок».

С другой стороны, уже вавилоняне рассматривали геометрические задачи теоретического характера, использовали подобие фигур, знали «теорему Пифагора» более чем за тысячу лет до Пифагора. Однако математические и геометрические знания в Вавилоне, Египте, да и в Греции вплоть до VII в. до н.э. были эмпирическими, основанными только на опыте и наблюдениях.

Геометрия как наука, да и вообще наука как таковая, появилась во времена Фалеса (VII–VI вв. до н.э.), который впервые осознал необходимость доказательства математических теорем.

После Аристотеля (IV в. до н.э.) название «геометрия» закрепилось за математической наукой, а «землемерию» было дано свое наименование: «геодезия» – деление, межевание земель. К концу IV века до н.э. в математике, которая и сводилась, главным образом, к геометрии, накопилось много понятий, фактов, доказательств, методов и даже теорий – таких, как метод исчерпывания и теория отношений Евдокса, теория конических сечений и др.

Аристотелем уже были разработаны основные принципы построения общей аксиоматической теории. И на рубеже IV и III веков Евклид создал 13-томный труд, «Stoicheia» – стихии, элементы по-гречески, «Elementa» (элементы) на латыни, «Начала» по-русски. «Начала» вот уже третье тысячелетие служат образцом научного трактата (аксиоматического изложения теории) и учебника, и не только по геометрии.

Решение задач

Задача 1. С помощью циркуля и линейки без делений на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Чертёж на экране.

(Учащиеся предлагают варианты решений).

А теперь проверим ваше решение (см. слайд 6)

Таким образом, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений (слайд 7).

В дальнейшем, говоря о задачах на построение, мы будем иметь в виду именно такие построения.

Задачи на построение циркулем и линейкой являются традиционным материалом, изучаемым в курсе планиметрии. Обычно эти задачи решаются по схеме, состоящей из четырех частей.

• Сначала рисуют (чертят) искомую фигуру и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами. Эта часть решения называется анализом. Она дает возможность составить план решения задачи.

• Затем по намеченному плану выполняется построение циркулем и линейкой.

• После этого нужно доказать, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

• И наконец, необходимо исследовать, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

• В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные части, например анализ или исследование, можно опустить.

• В VII классе мы решим простейшие задачи на построение циркулем и линейкой, в других классах будем решать более сложные задачи.

4. Изучение нового материала:

И так, наша задача – выполнить задачи на построение только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.

Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку (слайд 9).

Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение .

Какие построения циркулем и линейкой считать стандартными?

Это вопрос предварительной договорённости. На наш взгляд, к стандартным построениям можно отнести следующие:

1) построение прямой, проходящей через две заданные точки;

2) построение окружности с данным центром и данным радиусом;

3) построение отрезка, равного данному;

4) построение угла, равного данному;

5) построение середины отрезка (серединного перпендикуляра к отрезку);

6) построение биссектрисы угла;

7) построение перпендикуляра к прямой, проходящего через заданную точку (два случая).

8) построения равнобедренных и прямоугольных треугольников по их основным элементам,

9) построение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку.

На основе стандартных построений легко осуществляется построение треугольниковпо трём основным элементам:

1) двум сторонам и углу;

2) стороне и двум углам;

3) трём сторонам.

Все линейные элементы в условиях задач заданы в виде отрезков(а не их длин), а все угловые — в виде углов(а не чисел, выражающих их величину)!

Мы уже решили задачу № 1.

Теперь с помощью компьютера рассмотрим решение задачи № 2. Выполняйте соответствующие построения в тетради (слайды 11-12).

А теперь рассмотрим задачи № 3 – 5 (слайд 13-18).

(выполняются соответствующие построения и описания задач в тетради)

После выполнения работы, учитель обращает внимание учащихся на то, что такие задачи рассматривались в древности (слайд 19).

А теперь обратимся к истории геометрии. Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Они доказали, что угол можно разделить и на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем построить биссектрису каждой половинки. А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить угол на три равные части? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Однако она не поддавались их усилиям. Лишь в прошлом веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Есть и другие задачи на построение, про которые известно, что они неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Я предлагаю вам самостоятельно найти материал, содержащий информацию для ознакомления с этими задачами.

5. Подведение итогов урока:

Мы изучили много нового, узнали какие задачи можно решить только с помощью циркуля и линейки. У вас у каждого лежит лист с вопросами. Оцените свою работу на сегодняшнем уроке, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

1. Оцените степень сложности урока. Вам было на уроке:

   • легко;

   • обычно;

   • трудно

2. Оцените степень вашего усвоения материала:

   • усвоил полностью, могу применить;

   • усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

   • усвоил частично;

   • не усвоил.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/454707-zadachi-na-postroenie