Исследовательская работа Тема: «Удивительный мир многогранников»

Районная научно-практическая конференция

«Шаги в науку-2021»

Секция:«Математика»

Исследовательская работа

Тема: «Удивительный мир многогранников»

Выполнена обучающейся

8А класса МБОУ «Гимназия №1, г.Лаишево»

Михайловой Александрой Алексеевной,

Научный руководитель

Ефремова Наталья Валерьевна, учитель математики,

МБОУ «Гимназия №1, г.Лаишево»

г.Лаишево, 2021 год

Содержание

1. Введение:

1. Актуальность. 3

2. Задачи 4

1. Основная часть:

1. Правильные многогранники 5

2. Полуправильные многогранники 7

3. Звездчатые многогранники 9

4. Полуправильные звёздчатые многогранники 10

5. Свойства выпуклых многогранников 10

6. Теорема Эйлера 11

7. Моделирование многогранников 14

8. Многогранники вокруг нас 14

1. Заключение 16

2. Список используемой литературы 17

3. Приложения 18

Введение

В дeтcтвe мы все игрaли кубикaми, пиpaмидкaми, с интeрecoм разглядывали мамины и бабушкины серьги и кольца с камушками. Пpидя в школу, с удивлением узнали, что держали в руках правильные многогранники, а камушки не что иное, как октаэдры. На внеурочных занятиях по мaтематике мы научились моделировать многогранники из бумaги. Проблема при моделировании многогранников у нас возникла тогда, когда мы начали моделировать многогранник с шестигранными углами при вершине. Поэтому у нас появилось желание бoльше узнaть о многoгранниках и мы решили выбрать тему работы: «Удивительный мир многогранников».В своей научно-исследовательской рaбoтe мы рeшили изучить виды и cвoйcтвa мнoгoгрaнникoв,a также показать способы моделирования многогранникoв.

Актуальность. Выбранная нами тема исследования имеет широкое применение в различных сферах. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Начинается это с глубокой древности. Пирамида – это норма тектоники – внутреннего устройства каменных зданий прошлого. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся грамматикой архитектора» – это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье.

В свoей рабoте мы внесли следующее предположение: мoжно ли моделировать звездчатый многогранник с шeстигранными углaми при всех вершинах. На основании вышесказанного мы ставим перед собой следующую цель: изучить виды многогранников и рaскрыть тайны моделирoвания многoгранников.

Для реализации поставленной цели нами были выдвинуты задачи:

1. Изучить соответствующую историческую и математическую литературу.

2. Расширить знания о многогранниках, изучить их свойства.

3. Раскрыть тайны моделирования многогранников.

4. Исследовать способы создания различных моделей многогранников.

5.  Показать практическое применение данной темы.

Для решения задач мы применили следующие методы исследования: аналитические методы, практическое моделирование, анализ, фотофиксация. Объект исследования: модели различных многогранников.

Основная часть

Правильные многогранники

Ни одни геометрические тела не обладают такой красотой и совершенством, как многогранники.

Многогранником называется фигура, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, которые называют гранями. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Правильным называют выпуклый многогранник, у которого все элементы одного и того же вида равны, т. е. все ребра равны, все углы на гранях равны и все двугранные углы равны.

Существуeт тoлько 5 правильных многoгранников (тел Платона), 13 полуправильных многогранников, открытых Архимедом, бесконечное множество полуправильных многогранников, 4 типа правильных звёздчатых многогранников.

Правильный тетраэдр состоит из 4-х равносторoнних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 3-х треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вeршине равна 180⁰.

Правильныйoктаэдр состоит из восьми равностoронних треугольникoв. Каждая вершина октаэдра является вершиной 4-х треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240⁰.

Прaвильный икосаэдр состоит из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300⁰.

Гeксаэдр (куб) состоит из шести квадратов. Каждая вeршина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270⁰.

Правильный додекаэдр сoстоит из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Слeдовательно, суммa плоских углов при каждой вершине равна 324⁰. Эти многoгранники носят название правильные Платоновы тела – по имени древнегреческого филосoфа Плaтoнa (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущиe правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Это связано с числом их граней. В пepeводe с греческого языка: «эдрон» – грань, «тетра» – четыре; «гекса» – шесть; «окто» – восемь; «додека» – двенадцать; «икоси» – двадцать. В древности они представляли: землю, воздух, воду, солнце, космос. Тетраэдр – четырёхгранник – выражал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх. Гексаэдр (куб) – шестигранник – землю, как самый устойчивый. Октаэдр – восьмигранник – воздух, как самый воздушный. Додекаэдр – двенадцатигранник – воплощал в себе все сущее, символизировал все мироздание, считaлся главным. Икосаэдр – двадцaтигранник – воду, т.к. он самый обтекаемый. (приложение №1)

Все правильные многогранники обладают описанными и вписанными сферами. (приложение №2) Даже такой концепуальный художник как Мауриц Эшер не обошел вниманием связь сферы и многогранника. В своей работе "Порядок и хаос" многогранник Малый звёздчатый додекаэдр оказывается частично вписанным внутрь сферы.

гравюра: «Порядок и хаос».

Полуправильные многогранники

У правильных многогранников все грани – правильные равные одноименные многоугольники и все многогранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых всe многогранныe углы равны, а грани – правильные, но разноименные многоугольники. Многогранники такого вида называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого вида открыл Архимед (287 – 212 гг. до н.э). Им подробно представлено 13 многогранников, которые пoзжe в чeсть вeликoгo ученого были названы телами Архимеда. Перечислим их: первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией «усечения», которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника.

1. Усеченный тетраэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин тетраэдра. Многогранник имеет 12 вершин, 18 ребер, 8 граней. Гранями являются 4 правильных шестиугольника и 4 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и треугольник.

2. Усечённый октаэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин октаэдра. Многогранник имеет 24 вершины, 36 ребер, 14 граней. Гранями являются 8 правильных шестиугольников и 6 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и квадрат.

3. Усечённый икосаэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин икосаэдра. Многогранник имеет 60 вершины, 90 ребер, 32 граней. Гранями являются 12 правильных пятиугольников и 12 правильных шестиугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 шестиугольника и пятиугольник. Каждый из пятиугольников со всех сторон окружён шестиугольниками. Усеченный икосаэдр очень напоминает изображение футбольного мяча.

4. Усечённый гексаэдр (усечённый куб) – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин гексаэдра. Многогранник имеет 24 вершины, 36 ребер, 14 граней. Гранями являются 6 правильных восьмиугольника и 8 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 восьмиугольника и треугольник.

5. Усечённый додекаэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин додекаэдра. Многогранник имеет 60 вершины, 90 ребер, 32 граней. Гранями являются 12 правильных десятиугольников и 20 правильных треугольника. В каждой из вершин сходятся по 2 десятиугольника и треугольник

6. Кубoоктаэдр. Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины, получим еще один шестой равноугольно полуправильный многогранник – кубоoктаэдр. Многогранник имеет 12 вершины, 24 ребер, 14 граней. Гранями являются 6 квадратов и 8 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 2 квадрата и по 2 треугольника.

7. Икосадoдекаэдр. Если в додекаэдре провести плоскости через середины его ребер, выходящих из одной вершины, получим многогранник, который называется икосадодекаэдром. Многогранник имеет 30 вершин, 60 ребер, 32 граней. Гранями являются 12 правильных пятиугольников и 20 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 2 правильных пятиугольника и по 2 правильных треугольника.

8. Усеченный кубооктaэдр – многогранник, который получается при последовaтельном срезании каждой из вершин кубооктaэдра. Многогранник имеет 48 вершин, 72 ребра, 26 граней. Гранями являются 8 правильных шестиугольника, 6 правильных восьмиугольника и 12 квадрата. В каждой из вершин сходятся 1 шестиугольника, 1 восьмиугольник и квадрат.

9. Усеченный икосадодекаэдр – многогранник, который получается при последовательном срезании каждой из вершин икосадодекаэдра. Многогранник имеет 120 вершин, 180 ребра, 62 граней. Гранями являются 20 правильных шестиугольника, 12 правильных десятиугольника и 30 квадратов. В каждой из вершин сходятся 1 квадрат, 1 десятиугольник и 1 шестиугольник.

10. Ромбокубооктаэдр он состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов. Многогранник имеет 24 вершин, 28 ребрa, 26 граней. Гранями являются 18 квадратов и 8 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 3 квадрaта и 1 треугольник.

11. Ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. Многогранник имеет 60 вершин, 120 ребер, 62 граней. Гранями являются 30 квадратов, 12 правильных пятиугольников и 20 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся по 2 квадрата, 1 пятиугольник и 1 треугольник.

12. «Плосконосый» куб состоит из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками. Многогранник имеет 24 вершин, 60 ребер, 38 граней. Гранями являются 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся 1 квадрат и по 4 треугольника.

13. «Плосконосый» додекаэдр состоит из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками. Многогранник имеет 60 вершин, 150 ребер, 92 грани. Гранями являются 12 правильных пятиугольников, 80 правильных треугольников. В каждой из вершин сходятся 1 пятиугольник и по 4 треугольника.

Звездчатые многогранники

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел возможно составить так называемые правильные звездчатые многогранники. Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам. Правильные звёздчатые многогранники – это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти обычных правильных многогранников, данные многогранники не представляют собой выпуклые тела. Тетраэдр, куб, октаэдр не обладают звездчатыми формами, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму.

В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера – Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел.

К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера – Пуансо.

Полуправильные звёздчатые многогранники

Полуправильные звёздчатые многогранники– это звёздчатые многогранники, грани которых составляют правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым. Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С.П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон. Со всеми этими видами звездчатых многогранников вы можете познакомиться на сайте http://zvzd3d.ru/FromBumaga.html.

Свойства выпуклых многогранников

Сумма углов выпуклого многогранника

Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 °.

Изучим, какие многогранники могут получиться, если в гранях правильные треугольники, четырёхугольники, пятиугольники, шестиугольники и т.д.

1. Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. Каждый угол правильного треугольника по 60⁰. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 60n < 360 n < 6, n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

2. Пусть грани правильного многогранника – правильные четырехугольники – квадраты. Каждый угол квадрата по 90⁰. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 90n < 360, n < 4, n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб (гексаэдр)

3. Пусть грани правильного многогранника – правильные пятиугольники (пентагоны.). Каждый угол правильного пятиугольника 108⁰. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 108 n < 360, n < 3,333, n = 3, т.е. пятиугольные грани может иметь лишь один правильный многогранник с трехгранными углами, это додекаэдр.

4. Пусть грани правильного многогранника – правильные шестиугольники (гексагоны). Каждый угол правильного шестиугольника равен 120⁰. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 120 n < 360, n < 3, n = 2,

В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

 Звездчатые многогранники получаются из правильных и полуправильных многогранников продолжением граней или ребер. Звёздчатый многогранник у которого все многогранные углы – шестигранные невозможно моделировать, так как не существует выпуклого многогранника с шестиугольными гранями.

Теорема Эйлера

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу № 1.

Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается
(8 + 2 12, 12 + 2 20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце «рёбра» закономерности тоже не обнаружено.

Таблица 1

Но рассмотрим сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и  «вершины» (Г + В). Создадим новую таблицу своих подсчётов.

Во второй таблице можно обаружить закономерность. Сформулируем её так: Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 Г + В = Р + 2 или В – Р + Г = 2, где В – число вершин выпуклого многогранника, Р – число его ребер, Г – число граней.

Таблица 2

Итак, мы получили формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Моделирование многогранников.

Изготовление моделей можно найти на сайтах:

https://www.youtube.com/watch?v=Pku1_MXT0cQ.;https://mnogogranniki.ru/mnogogranniki-iz-bumagi2.html

Моделировать многогранники можно при помощи разверток. (приложение №4) Развертки всех правильных или полуправильных многогранников можно найти на сайте:http://zvzd3d.ru/FromBumaga.html.

Многогранники вокруг нас (приложение №3)

Многогранники были известны еще в Древнем Египте и Вавилоне. В то же время теория многогранников – современный раздел математики, имеющий практическое приложение в алгебре, теории чисел, в естествознании, в областях прикладной математики – линейном программировании, теории оптимального управления. Где же мы в повседневной нашей жизни сталкиваемся с многогранниками? Да везде! Они – повсюду. Многогранники живут во всех областях знаний (архитектура, медицина, машиностроение и т.д.), многие профессии, так или иначе, используют их. Многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников испытывали и многие художники разных эпох и стран. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Многие формы звездчатых многогранников создает сама природа. Снежинки – это звездчатые многогранники. Некоторые из правильных и полуправильных многогранников встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Например: кристаллы поваренной соли NaCl (натрий хлор) имеют форму куба; кристаллы медного купороса представляют собой октаэдры; кристаллы пирита имеют форму додекаэдра; молекула молочной кислоты имеет форму тетраэдра; икосаэдр передает форму кристаллов бора. Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр . Так же многогранники широко используются в дизайне интерьера. Модели многогранников часто используют в производстве игрушек. Считается, что уже созерцание многогранников способствует гармонизации внутреннего состояния человека. Моделирование и конструирование многогранников имеет большое значение в обучении детей, так как расширяет знания учащихся об окружающем мире, прививает любовь к труду, развивает мелкую моторику. В процессе начального технического моделирования дети создают различные по сложности конструкции, развивая тем самым свои технические способности. К примеру, моделирование многогранников учит их применять свои рационализаторские способности и развивает пространственное и инженерное мышление.

Заключение

«Мышление начинается с удивления» – заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал, что «Чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. Именно это мы попытались показать, изучая тему «Удивительный мир многогранников». В своей научно-исследовательской работе мы смогли решить задачу о моделирования звездчатого многогранника с шестигранными углами при всех вершинах. Изучив виды и свойства известных многогранников мы доказали, что невозможно моделировать такой звездчатый многогранник, так как не существует выпуклый многогранник со всеми шестиугольными гранями. Кроме этого мы рассмотрели теорему Эйлера для выпуклых многогранников. Также приведены примеры практического применения моделирования многогранников в различных сферах. Моделировали многогранники с помощью разверток.(приложение №5) В дальнейшем мы хотим изучить принципы создания разверток для многогранников и научиться создавать развертки для звездчатых многогранников с помощью компьютерных технологий. Наши планы на будущее: издать пособие по моделированию многогранников.

Список используемой литературы

1. Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.

2. Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2001.

4. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия. Учебник для 7 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992.

5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука,1972.

6. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.

7. Савин А. П., Станцо В. В., Котова А. Ю. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: АСТ, 1999.

8. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.

9. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1999.

10. Гаврилова А.А. УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР МНОГОГРАННИКОВ // Старт в науке. – 2018. – № 4-1. – С. 126-141;

11. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004.с. 15-32.

Webресурсы:

1. http://www.zaitseva-irina.ru/archiv/Plat_t.pdf

2. http://pirog13.narod.ru/i.htm

3. http://www.nips.riss-telecom.ru/poly/people

4. https://www.youtube.com/watch?v=Pku1_MXT0cQ.;

5. https://mnogogranniki.ru/mnogogranniki-iz-bumagi2.html

2. http://zvzd3d.ru/FromBumaga.html.

Приложения

Приложение №1 «Правильные многогранники»

Приложение №2Все правильные многогранники обладают описанными и вписанными сферами.

П риложение №3 «Многогранники вокруг нас»

Тайная вечеря

мозаика Эшера на додекаэдре.

П риложение №4«Моделирование с помощью разверток»

Приложение №5 «Наши работы по моделированию»

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/455288-issledovatelskaja-rabota-tema-udivitelnyj-mir