Методические материалы

Производная и её применение

Разработка урока в 11 классе

Учитель математики:

Боркова Ольга Владимировна

г. Пермь

2021 г.

Производная и ее применение (подготовка к ЕГЭ)

(урок в 11 классе)

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, закрепление умений.

Цели урока:

- формирование предметных компетенций по применению физического и геометрического смысла производной на практике; по применению производной для исследования функции на монотонность и экстремумы при решении заданий ЕГЭ;

- создание условий для развития общих компетенций: организация собственной деятельности;

- осуществление текущего и итогового контроля, оценка и коррекция собственной деятельности, работа в группах;

- подготовка к ЕГЭ.

Задачи урока:

образовательные: обобщить и систематизировать знания по данной теме; совершенствовать умения исследовать функции на монотонность и экстремумы; рассмотреть типовые задачи из материалов ЕГЭ;

воспитательные: воспитывать чувство внимательного отношения друг к другу при работе в группах, уверенность в своих способностях, упорство в достижении цели; содействовать формированию навыков самоорганизации и инициативы;

развивающие: способствовать развитию логического мышления, памяти, алгоритмической культуры; развитию творческой и мыслительной деятельности обучающихся посредством решения задач, анализа данных; продолжить работу по формированию умений работать в группах и навыков самоконтроля; способствовать развитию способности к оценочным действиям.

Оборудование:

• компьютер, интерактивная доска;

• мультимедийный проектор;

• презентация;

• раздаточный материал.

План проведения урока:

1. Оргмомент (разделение по группам).

2. Актуализация знаний.

3. Решение задач из открытого банка заданий ЕГЭ (три вида).

4. Самостоятельная работа по группам с проверкой.

5. Домашнее задание.

6. Подведение итогов урока.

Ход урока

1. Оргмомент (приветствие, сообщение цели, плана урока, разделение по группам)

2. Актуализация знаний.

Блиц-опрос (представители от группы задают по очереди друг другу теоретические вопросы по теме, оценивают ответы, выставляют баллы: верный ответ – 1 балл, неверный – 0 баллов).

• Производная.

• Правила вычисления производных.

• Физический смысл производной.

• Геометрический смысл производной.

• Касательная к графику функции.

• Уравнение касательной.

• Условие параллельности прямых.

• Тангенс острого угла прямоугольного треугольник

• Производная и промежутки монотонности функции.

• Стационарные и критические точки.

• Точки экстремума.

• Необходимое и достаточное условия для точек экстремума.

• Применение производной в других науках (физике, химии).

Опорный конспект

3. Решение задач 

Представители от групп показывают решение некоторых задач из открытого банка ЕГЭ по темам: «Физический смысл производной», «Геометрический смысл производной», «Применение производной к исследованию функции». Учащиеся ведут записи в тетрадях.

1 группа (задачи на физический смысл производной)

№1 Маховик вращается вокруг оси по закону  (t)=t⁴-1. Найдите угловую скорость  (t) маховика в момент времени 2 секунды. (32)

№2 Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/с? (8с)

2 группа (задачи на геометрический смысл производной)

№1 Пря­мая  па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.(х ₀= 0,5)

№2 На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀. (0,25)

3 группа (задачи на геометрический смысл производной)

№3 На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

№4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку  па­рал­лель­на пря­мой  или сов­па­да­ет с ней.

4 группа (применение производной к исследованию функции)

№1 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней. (4)

№2 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­цииy = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x). (44)

№3 На рисунке изображен график производной функции f(x) на интервале (-18;6)

• Сколько промежутков убывания имеет функция (2)

• Укажите длину наибольшего из них (9)

• Сколько точек экстремума имеет функция (4)

• Укажите количество точек максимума (2) минимума (2)

4. Самостоятельная работа.

Задачи из прототипов В8 учащиеся получают в распечатанном виде по вариантам, вносят ответы в таблицу, меняются результатами между группами, проверяют свои решения по представленным ответам.

1 вариант

№1Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x —рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с. (3)

№2Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/с? (5)

№3 На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   и ка­са­тель­ная к нему

в точке с абс­цис­сой  . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции

 в точке  .(1)

№4 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  ,

опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции  . (-10)

№5 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 9].(1)

2 вариант

№1Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни с.(4)

№2 Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с?(7)

№3 На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   и ка­са­тель­ная к нему

в точке с абс­цис­сой  . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции

 в точке  . (1,5)

№4 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  ,

опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции  .(-14)

№5 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции  ,

опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции   на от­рез­ке . (3)

3 вариант

№1Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни  с. (59)

№2 Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 7 м/с? (5)

№3 На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   и ка­са­тель­ная к нему

в точке с абс­цис­сой  . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции

 в точке  . (-2)

№4 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  ,

опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции  .(35)

№5 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них. (6)

4 вариант

№1Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по закону  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни  с.(73)

№2 Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 15 м/с?(4)

№3 На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   и ка­са­тель­ная к нему

в точке с абс­цис­сой  . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции

 в точке  .(-1,5)

№4 На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  ,

опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции  .(39)

№5  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них. (6)

Ответы

5. Домашнее задание.

Решить задачи из открытого банка заданий ЕГЭ В7 сайт http://reshuege.ru/ по 5 задач каждого вида

6. Подведение итогов урока.

Самоанализ:

• с какими проблемами при решении заданий типа В7 я встретился;

• что я должен сделать, чтобы ликвидировать пробелы в знаниях;

Вывод: я все могу делать верно, но останавливаться на этом нельзя, надо постигать новые вершины.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/465329-metodicheskie-materialy