Теорема Пифагора

Конспект урока

Тема урока: «Теорема Пифагора».

Тип урока: урок изучения нового в форме семинара.

Учебная задача: В результате самостоятельной деятельности учащихся под руководством учителя «открыть» и доказать теорему Пифагора.

Цель урока:

- вспомнить понятия: «прямоугольный треугольник», «свойства прямоугольного треугольника», «площадь фигур», «свойства площадей»,

- открыть понятие «Теорема Пифагора»

- работать в группе
- формулировать и аргументировать свою точку зрения
- решать задачи по теме по алгоритму

Формируемые универсальные учебные действия

Познавательные УУД

- формулирование проблемы;
- самостоятельное создание способов решения проблем;
- осознанное построение речевого высказывания;
- умение осуществлять сравнение, устанавливать причинно-следственные связи;
- алгоритмизация способа действия

Регулятивные УУД

- целеполагание;
- планирование;
- контроль и оценка деятельности на учебном занятии

Личностные УУД

- развитие адекватной самооценки;
- развитие познавательных интересов, учебных мотивов;
- взаимопомощь.

Коммуникативные УУД

- формулирование и аргументация собственного мнения;
- умение договариваться и приходить к общему решению;
- умение строить монологическое высказывание.

Методы обучения: репродуктивный, эвристическая беседа, частично-поисковые методы.

Форма работы: фронтальная, групповая.

Средства обучения: мел, доска, учебник, мультимедиа.

Структура урока (45 мин.):

1. Мотивационно-ориентировочный этап (5 мин.);

2. Содержательный этап (35 мин.);

3. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин.).

Ход урока.

1. Мотивационно - ориентировочный этап.

Актуализация.

Учитель: Ребята, на прошлых уроках вы изучили формулы площадей многих фигур. Давайте вспомним, какие же это формулы.

Учитель:Чему равна площадь квадрата со стороной a? ( ); площадь прямоугольника, изображенного на рисунке ( )? Как запишется формула для нахождения площади прямоугольника в общем виде? ( ); Чему равна площадь параллелограмма? (Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту); Найдите площадь параллелограмма ABCD ( ). По рисунку в) найдите площадь треугольникаADB. ( ); Чему равна площадь прямоугольного треугольника? (половине произведения катетов) Найдите площадь треугольникаDHB,еслиHB=5? (S=5). Запишите формулу для нахождения площади трапеции ABCD в общем виде. ( ).ЕслиAD=5cм, ВС= 6,5 см, а DH=4 см то чему равна площадь трапеции ABCD? (S=23 ).

а)б)в)

ф фффффф

5

г)

4

6,5

Мотивация.

Учитель:На дом к сегодняшнему дню вам было задано у различных прямоугольных треугольников измерить длину катетов и гипотенузы и сравнить их квадраты. Давайте посмотрим, какие результаты у вас получились.

На доске нарисована таблица.

Учитель спрашивает нескольких учеников, какие числа у них получились, и заносит эти варианты в таблицу.

Учитель:Давайте внимательно посмотрим на каждую строчку таблицы. Что можно заметить? (возможно, кто-то из учеников догадался, что сумма чисел, стоящих в первых двух столбцах, приблизительно равна числу, стоящему в третьем столбце, если нет, то учитель сам просит найти сумму этих чисел и сравнить ее с числом третьего столбца).

Возникает гипотеза: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Учитель:Еще в Древнем мире, люди знали этот факт. Сейчас он носит название теоремы Пифагора. Итак, цель нашего урока – доказать теорему Пифагора и рассмотреть какие простейшие задачи решаются на её основе.

2 .Содержательный этап.

Учитель:Но для начала познакомимся с биографией этого ученого. Итак, представители первой группы, мы вас слушаем.

(Ученики выступают с докладами)

Пифагор родился в Сидоне, Финикия, около 570 года до нашей эры.

Пифагор с ранних лет стремился узнать как можно больше. Он обучается в нескольких храмах Греции.

Ряд источников указывает, что Пифагор стал чемпионом одной из первых Олимпиад по кулачному бою.

Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

В Кротоне (Южная Италия) Пифагор основывает школу – пифагорейский союз. Только тех, кто прошел многие ступени знаний, Пифагор называет своими ближайшими учениками и допускает во двор своего дома, где беседует с ними.

Пифагорейцы занимаются геометрией, математикой, гармонией, астрономией. Основные открытия пифагорейцев:

*теорема о сумме внутренних углов треугольника;

*построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

*геометрические способы решения квадратных уравнений;

*деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

*создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях

*и многое многое другое.

Пифагор одним из первых заявляет, что Земля  имеет форму шара, а Солнце, Луна и прочие планеты имеют собственную траекторию движения.

О смерти Пифагора известно мало, существует как минимум три версии ухода великого ученого. Несомненно одно – это случилось из-за преследования пифагорейцев. По сохранившимся данным, Пифагор прожил около 100 лет. Воспоминания о Пифагоре дошли до нас благодаря тем немногим его ученикам, которым удалось бежать из Южной Италии в Грецию.

К последователям Пифагора и его учения относили себя  Алкмеон, Парменид, Платон, Евклид, Эмпедокл,  Кеплер.

История теоремы

Теорема носит название теорема Пифагора, однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые, вероятно, пользовались этим отношением для построения прямых углов при сооружении зданий.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.

Эта теорема была известна в Древней Индии; об этом свидетельствуют следующие предложения, содержащиеся в «Сутрах».

1. Квадрат диагонали треугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей сторон,

2. Квадрат на диагонали квадрата в 2 раза больше самого квадрата.

Учитель:Спасибо большое! Какие вопросы к докладчикам? (оппоненты задают свои вопросы:

1. Какая существует легенда о рождении Пифагора?

2.Почему теорему Пифагора называют теоремой пчелки?

3.Почему в народе говорят, что скот не любит математику?)?

А теперь перейдем, наконец, к самой теореме. Давайте попробуем ее сформулировать. («Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»).

Учитель:Чтобы убедится в правильности теоремы и, в том, что мы смело можем ее использовать, надо ее доказать. А в этом нам поможет вторая группа, которая подготовила для нас презентацию. (Выступление 2 группы).

30" />

A

B

С

D

Дано:

Прямоугольный треугольник,

a,b – катеты,

c – гипотенуза.

Доказать:

.

Доказательство.

1.Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b; для этого продолжим катет aи отложим от него отрезок равный b,получим АС; также продолжим катет b и отложим от него отрезок, равный a,получим СD, проведем перпендикуляры BD=AC,AB=CD. Полученная фигура ABCD – квадрат со стороной a + b.

2. , т.к. этот квадрат состоит из 4 равных треугольников (по построению) и квадрата со стороной с (по свойству 2: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников).

3. ;

;

4. .

Учитель: Пожалуйста, вопросы к выступающим?

Вопросы оппонентов:

1. Как достраиваем треугольник до квадрата?

2. Почему площадь полученного квадрата можно так представить?

Учитель:Что мы использовали для доказательства теоремы? (достраивали треугольник до квадрата и представили его площадь как сумму площадей фигур, из которых он состоит). Такой способ доказательства в геометрии называется методом площадей.

Учитель:Рассмотрим, как применяется теорема Пифагора в решении задач.

Задача (№483 (а)):

Решение: По теореме Пифагора . Поэтому ;

.

Учитель:Таким образом, мы увидели, что теорема Пифагора позволяет найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника по двум известным, т.е. можно найти не только гипотенузу по двум катетам, но и катет по известной гипотенузе и второму катету. (Учитель показывает, как выразить один катет: , так как b – сторона, то она не может принимать отрицательное значение). Дома вы должны будете решить именно такую задачу.

Теперь реши задачу из учебника.

Решение:

Учитель: На самом деле, существуют сотни доказательств теоремы Пифагора! На следующем уроке мы рассмотрим еще одно доказательство этой теоремы (выступление 3 группы).

Д ано:

ABC – прямоугольный треугольник,

AB=c,BC=a,AC=b.

Доказательство:

ПустьABDE – квадрат со стороной c.Пусть , а DC=a;

; тогда равны треугольники

Далее .

Итак,

,

.

Учитель:Какиевопросы подготовили для этой группы?

1. Почему равны рассматриваемые треугольники?

2. Почему площадь полученного квадрата можно так представить?

3. Почему сторона маленького квадрата равна a-b?

Учитель:А какой метод доказательства использовался здесь? (метод площадей)). Таким образом, метод площадей можно использовать по- разному: не только в решении задач, но и для доказательства теорем.

3.Рефлексивно – оценочный этап.

Учитель:Наш урок подходит к концу, давайте вспомним, какова была цель урока. Достигли ли мы ее? Как мы ее достигли? (Цель урока – познакомится с теоремой Пифагора, доказать ее и научиться применять в решении задач. Цель достигнута. Доказали теорему двумя способами и рассмотрели задачу на применение этой теоремы, а также мы узнали больше о Пифагоре).

Домашнее задание.

№1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольник по данным катетам aиb:

А)a=6, b=8;

Б)a=5, b=6;

В)a=, b=;

Г)a=8, b=.

Решение:

А) По теореме Пифагора . Поэтому ;

.

Б) По теореме Пифагора . Поэтому ;

.

В) По теореме Пифагора . Поэтому ;

.

Г) По теореме Пифагора . Поэтому ;

.

Ответ:a) 10; б) ; в) ; г)16.

№2. В прямоугольном треугольнике a и b – катеты, c- гипотенуза. Найдите b, если

А)a=12,c=13;

Б)a=7,c= 9;

В)a=12,c= 2b;

Г)a=,c=2b;

Д)a=3b,c= .

Решение:

А) По теореме Пифагора . Отсюда ; ; ;b=5.

Б) По теореме Пифагора . Отсюда ; ; ;b= .

В) По теореме Пифагора . Отсюда ; ;b= .

Г) По теореме Пифагора . Отсюда ; ;b=2.

Д) По теореме Пифагора . Отсюда ; ;b=2.

Ответ: а)5; б) ; в) ;г) 2; д) 2.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/466162-teorema-pifagora