Рабочая программа по математике, 5-9 классы

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 2 им. М.Ф. Костюшева»

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1 к ООП ООО (ФГОС)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

учебного предмета «Математика»

5-9 классы

Срок реализации – 5 лет

Составители:

Капченко Татьяна Михайловна,

учитель математики

высшей квалификационной категории,

Вшивкова Татьяна Геннадьевна,

учитель математики

высшей квалификационной категории

г.Еманжелинск

Планируемые результаты освоения предмета «Математика»

Программа позволяет добиваться следующих результатов освоения образовательной программы основного общего об­разования:

Личностные универсальные учебные действия:

1. воспитание российской гражданской идентичности: патриотизма, уважения к Отечеству; воспитание чувства ответственности и долга перед Родиной;

2. формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, выбору и построению дальнейшей индивидуальной траектории образования на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений, с учётом устойчивых познавательных интересов, а также на основе формирования уважительного отношения к труду;

3. формирование мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики;

4. формирование осознанного, уважительного и доброжелательного отношения к другому человеку, его мнению, мировоззрению, культуре; готовности и способности вести диалог с другими людьми и достигать в нём взаимопонимания;

5. освоение социальных норм, правил поведения, ролей и форм социальной жизни в группах и сообществах;

6. развитие морального сознания и компетентности в решении моральных проблем на основе личностного выбора, формирование нравственных чувств и нравственного поведения, ответственного отношения к собственным поступкам;

7. формирование коммуникативной компетентности в общении и  сотрудничестве со сверстниками, взрослыми в процессе образовательной, учебно-исследовательской, творческой и других видов деятельности;

8. формирование ценности  здорового и безопасного образа жизни.

Метапредметные планируемые результаты:

1. умение определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности;

2. умение планировать пути  достижения целей,  в том числе альтернативные,  выбирать  наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

3. умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять способы  действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;

2. умение оценивать правильность выполнения учебной задачи,  собственные возможности её решения;

3. владение основами самоконтроля, самооценки, принятия решений и осуществления выбора в учебной и познавательной деятельности;

4. умение  определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать,   самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить  логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное  и по аналогии) и делать выводы;

5. умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;

6. смысловое чтение;

7. умениеорганизовывать  учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками;   работать индивидуально и в группе:находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта интересов;  формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;

8. умение использовать речевые средства в соответствии с задачей коммуникации для выражения своих чувств, мыслей и потребностей; планирования и регуляции своей деятельности;  владение устной и письменной речью;

9. формирование и развитие компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (далее ИКТ– компетенции);

10. формирование и развитие экологического мышления.

Предметные результаты:

5 класс

Учащийся научится:

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• распознавать логически некорректные высказывания.

Числа

• оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число;

• использовать свойства чисел и правила действий с рациональными числами при выполнении вычислений;

• использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач;

• выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;

• сравнивать рациональные числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• оценивать результаты вычислений при решении практических задач;

• выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;

• составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

Статистика и теория вероятностей

• представлять данные в виде таблиц, диаграмм,

• читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы.

Текстовые задачи

• решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;

• строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;

• осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;

• составлять план решения задачи;

• выделять этапы решения задачи;

• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

• знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;

• решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;

• решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;

• решать несложные логические задачи методом рассуждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых величин в задаче (делать прикидку)

Наглядная геометрия

Геометрические фигуры

• Оперировать на базовом уровне понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, угол, многоугольник, треугольник и четырехугольник, прямоугольник и квадрат, окружность и круг, прямоугольный параллелепипед, куб, шар. Изображать изучаемые фигуры от руки и с помощью линейки и циркуля.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• решать практические задачи с применением простейших свойств фигур.

Измерения и вычисления

• выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;

• вычислять площади прямоугольников.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади прямоугольников;

• выполнять простейшие построения и измерения на местности, необходимые в реальной жизни.

История математики

• описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

• знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей.

Учащийся получит возможность научиться:

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• распознавать логически некорректные высказывания;

• строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики.

Числа

• Оперировать понятиями: натуральное число, множество натуральных чисел, целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных;

• понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;

• выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений, обосновывать алгоритмы выполнения действий;

• использовать признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, 10, 11, суммы и произведения чисел при выполнении вычислений и решении задач, обосновывать признаки делимости;

• выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;

• упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенных и десятичных дробей;

• находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач;.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;

• выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;

• составлять числовые выражения и оценивать их значения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

Уравнения и неравенства

• Оперировать понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство.

Статистика и теория вероятностей

• оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое,

• извлекать, информацию, представленную в таблицах, на диаграммах;

• составлять таблицы, строить диаграммы на основе данных.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений.

Текстовые задачи

• решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;

• использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

• знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);

• моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;

• выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

• анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;

• исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;

• решать разнообразные задачи «на части»,

• решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

• осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение); выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задачи указанных типов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;

• решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;

• решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

Наглядная геометрия

Геометрические фигуры

• Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

• изображать изучаемые фигуры от руки и с помощью компьютерных инструментов.

Измерения и вычисления

• выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;

• вычислять площади прямоугольников, квадратов, объемы прямоугольных параллелепипедов, кубов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади участков прямоугольной формы, объемы комнат;

• выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;

• оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

История математики

• характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей.

6 класс

Учащийся научится:

• оперировать на базовом уровне понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность;

• задавать множества перечислением их элементов;

• находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• распознавать логически некорректные высказывания.

Числа

• оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число;

• использовать свойства чисел и правила действий с рациональными числами при выполнении вычислений;

• выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;

• сравнивать рациональные числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• оценивать результаты вычислений при решении практических задач;

• выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;

• составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

Статистика и теория вероятностей

• представлять данные в виде таблиц, диаграмм,

• читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы.

Текстовые задачи

• решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;

• строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;

• осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;

• составлять план решения задачи;

• выделять этапы решения задачи;

• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

• знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;

• решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;

• решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;

• находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное отношение двух чисел, находить процентное снижение или процентное повышение величины;

• решать несложные логические задачи методом рассуждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых величин в задаче (делать прикидку)

Наглядная геометрия

Геометрические фигуры

• оперировать на базовом уровне понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, угол, многоугольник, треугольник и четырехугольник, прямоугольник и квадрат, окружность и круг, прямоугольный параллелепипед, куб, шар. Изображать изучаемые фигуры от руки и с помощью линейки и циркуля.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• решать практические задачи с применением простейших свойств фигур.

Измерения и вычисления

• выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;

• вычислять площади прямоугольников.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади прямоугольников;

• выполнять простейшие построения и измерения на местности, необходимые в реальной жизни.

История математики

• описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

• знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей.

Учащийся получит возможность научиться:

Элементы теории множеств и математической логики

• оперировать понятиями: множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность,

• определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств; задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• распознавать логически некорректные высказывания;

• строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики.

Числа

• оперировать понятиями: натуральное число, множество натуральных чисел, целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных;

• понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;

• выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений, обосновывать алгоритмы выполнения действий;

• выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;

• упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенных и десятичных дробей;

• оперировать понятием модуль числа, геометрическая интерпретация модуля числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;

• выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;

• составлять числовые выражения и оценивать их значения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

Уравнения и неравенства

• Оперировать понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство.

Статистика и теория вероятностей

• Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое,

• извлекать, информацию, представленную в таблицах, на диаграммах;

• составлять таблицы, строить диаграммы на основе данных.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений.

Текстовые задачи

• решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;

• использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

• знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);

• моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;

• выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

• анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;

• исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;

• решать разнообразные задачи «на части»,

• решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

• осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение); выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задачи указанных типов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;

• решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;

• решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

Наглядная геометрия

Геометрические фигуры

• извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

• изображать изучаемые фигуры от руки и с помощью компьютерных инструментов.

Измерения и вычисления

• выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;

• вычислять площади прямоугольников, квадратов, объемы прямоугольных параллелепипедов, кубов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади участков прямоугольной формы, объемы комнат;

• выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;

• оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

История математики

• характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей.

7 класс

Учащийся научится:
Элементы теории множеств и математической логики

оперировать на базовом уровне понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность;

задавать множества перечислением их элементов;

находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;

оперировать на базовом уровне понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство;

приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

использовать графическое представление множеств для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов.
Числа

оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число;

использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений;

использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач;

выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;
сравнивать числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

оценивать результаты вычислений при решении практических задач;

выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;

составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.
Тождественные преобразования

Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные; слагаемые;

использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

Уравнения и неравенства

оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения;

проверять справедливость числовых равенств;

решать системы несложных линейных уравнений;

проверять, является ли данное число решением уравнения;

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других учебных предметах.
Функции

находить значение функции по заданному значению аргумента;

находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;

определять положение точки по ее координатам, координаты точки по ее положению на координатной плоскости;

по графику находить область определения, множество значений, нули функции;

строить график линейной функции;

проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной);

определять приближенные значения координат точки пересечения графиков функций;
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств;

использовать свойства линейной функции и ее график при решении задач из других учебных предметов.
Статистика и теория вероятностей

иметь представление о статистических характеристиках, вероятности случайного события, комбинаторных задачах;

решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора;

представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;

читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;

определять основные статистические характеристики числовых наборов;

оценивать вероятность события в простейших случаях;

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

оценивать количество возможных вариантов методом перебора;

Текстовые задачи

решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;

строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;

осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;

составлять план решения задачи;

выделять этапы решения задачи;

интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать
полученное решение задачи;

знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и
по течению реки;

решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;

решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;

находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины;

решать несложные логические задачи методом рассуждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать прикидку).
Геометрические фигуры

оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур;

извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде;

применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме;
решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

использовать свойства геометрических фигур для решения типовых задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни, задач практического содержания.

Отношения

оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

использовать отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни.
Измерения и вычисления

выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;

применять формулы периметра, площади и объема;

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади в простейших случаях, применять формулы в простейших ситуациях в повседневной жизни.

Геометрические построения

изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни.

Геометрические преобразования

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

История

описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей;

понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических задач;

приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства.

Учащийся получит возможность:

Элементы теории множеств и математической логики

 оперировать понятиями: определение, теорема, аксиома, множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность,
включение, равенство множеств;

изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;

определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;

задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;

оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания (импликации);

строить высказывания, отрицания высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;

использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для описания реальных процессов и явлений.

Числа

 оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных чисел;

понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;

выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений;

выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;

сравнивать рациональные числа;

представлять рациональное число в виде десятичной дроби

упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;

находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;

выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;

составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;

записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерения.

Тождественные преобразования

оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение);

выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;

выделять квадрат суммы и разности одночленов;

раскладывать на множители квадратный трехчлен;

выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных предметов.
Уравнения и неравенства

Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, равносильные уравнения, область определения уравнении (системы уравнений);

решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных преобразований;

решать линейные уравнения с параметрами;

решать несложные системы линейных уравнений с параметрами.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

составлять и решать линейные уравнения, системы линейных уравнений, при решении задач других учебных предметов;

выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и систем линейных уравнений при решении задач других учебных предметов;

выбирать соответствующие уравнения или их системы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;

уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

Функции

оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, нули функции;

строить графики линейной функции.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;

Текстовые задачи

решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;

использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);

моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;

выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

анализировать затруднения при решении задач;

выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;

интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;

исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;

решать разнообразные задачи «на части»,

решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;

владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;

решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;

решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;

овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;

решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;

решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

Статистика и теория вероятностей

Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;

извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;

составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;

определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;

оценивать вероятность реальных событий и явлений.

Геометрические фигуры

оперировать понятиями геометрических фигур;

извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

применять геометрические факты для решения задач, в том числе, предполагающих несколько шагов решения;

формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур;

доказывать геометрические утверждения;

владеть стандартной классификацией плоских фигур (треугольников).

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.

Отношения

оперировать понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми;

характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни.

Измерения и вычисления

Оперировать представлениями о длине, площади, объеме как величинами;

проводить простые вычисления на объемных телах;

формулировать задачи на вычисление длин и решать их.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

проводить вычисления на местности;

применять формулы при вычислениях в смежных учебных предметах, в окружающей действительности.

Геометрические построения

Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;

свободно оперировать чертежными инструментами в несложных случаях,

выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;

изображать типовые плоские фигуры и объемные тела с помощью простейших компьютерных инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;

оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

История математики

Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;

понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

Используя изученные методы, проводить доказательство, выполнять опровержение;

выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;

использовать математические знания для описания закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства;

применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач.

8 класс

Учащийся научится:

Элементы теории множеств и математической логики

 оперировать на базовом уровне понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность;

 задавать множества перечислением их элементов;

 находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;

 оперировать на базовом уровне понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство;

 приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и

явлений, при решении задач других учебных предметов.

Числа

 Оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, арифметический квадратный корень;

 использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений;

 использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач;

 выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;

 оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;

 распознавать рациональные и иррациональные числа;

 сравнивать числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 оценивать результаты вычислений при решении практических задач;

 выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;

 составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

Тождественные преобразования

 Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений,

содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

 выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые;

 использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;
 выполнять несложные преобразования дробно-линейных выражений и выражений с квадратными корнями.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 понимать смысл записи числа в стандартном виде;

 оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа».

Уравнения и неравенства

 Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение неравенства;

 проверять справедливость числовых равенств и неравенств;

 решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным;

 решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;

 проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства);

 решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;

 изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других учебных предметах.

Функции

 Находить значение функции по заданному значению аргумента;

 находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;

 определять положение точки по ее координатам, координаты точки по ее положению на координатной плоскости;

 по графику находить область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции;

 строить график линейной функции;

 проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности);

 определять приближенные значения координат точки пересечения
графиков функций.

В повседневной жизни и при изучении других предметов

 использовать графики реальных процессов и зависимостей для
определения их свойств;

 использовать свойства линейной функции и ее график при решении задач из других учебных предметов.

Статистика и теория вероятностей

 Иметь представление о статистических характеристиках, вероятности случайного события, комбинаторных задачах;

 решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора;

 представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;

 читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;

 определять основные статистические характеристики числовых наборов;

 оценивать вероятность события в простейших случаях;

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 оценивать количество возможных вариантов методом перебора;

 иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий;

 сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления;

 оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях.

Текстовые задачи

 Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;

 строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;

 осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;

 составлять план решения задачи;

 выделять этапы решения задачи;

 интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать

полученное решение задачи;

 знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и
по течению реки;

 решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;

 решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;

 находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины;

 решать несложные логические задачи методом рассуждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать прикидку).

Геометрические фигуры

 Оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур;

 извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде;

 применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме;

 решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать свойства геометрических фигур для решения типовых задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни, задач практического содержания.

Отношения

 Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни.

Измерения и вычисления

 Выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;

 применять формулы периметра, площади и объема;

 применять теорему Пифагора, базовые тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей в простейших случаях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади в простейших случаях, применять формулы в простейших ситуациях в повседневной жизни.

Геометрические построения

 Изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять простейшие построения на местности, необходимые в
реальной жизни.

Геометрические преобразования

 Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 распознавать движение объектов в окружающем мире;

 распознавать симметричные фигуры в окружающем мире.

Векторы и координаты на плоскости

 Оперировать на базовом уровне понятиями вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, координаты на плоскости;

 определять приближенно координаты точки по ее изображению на
координатной плоскости.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать векторы для решения простейших задач на определение скорости относительного движения.

История математики

 Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

 знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с
отечественной и всемирной историей;  понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

 Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических задач;

 Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства.

Учащийся получит возможность научиться:

Элементы теории множеств и математической логики

 Оперировать понятиями: определение, теорема, аксиома, множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств;

 изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;

 определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;

 задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;

 оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания (импликации);

 строить высказывания, отрицания высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;

 использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для описания реальных процессов и явлений.

Числа

 Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;

 понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;

 выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов

 выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;

 сравнивать рациональные и иррациональные числа;

 представлять рациональное число в виде десятичной дроби

 упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;

 находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;

 выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;

 составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;

 записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерения.

Тождественные преобразования

 Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

 выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение);

 выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;

 выделять квадрат суммы и разности одночленов;

 раскладывать на множители квадратный трехчлен;

 выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;

 выполнять преобразования дробно-рациональных выражений: сокращение дробей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей, возведение алгебраической дроби в натуральную и целую отрицательную степень;

 выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;

 выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные корни;

 выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;

 выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных предметов.

Уравнения и неравенства

 Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);

 решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных преобразований;

 решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью тождественных преобразований;

 решать дробно-линейные уравнения;

 решать простейшие иррациональные уравнения вида =а, ;

 решать уравнения вида xⁿ=a;

 решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;

 использовать метод интервалов для решения целых и дробно- рациональных неравенств;

 решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;

 решать несложные квадратные уравнения с параметром;

 решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;

 решать несложные уравнения в целых числах.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;

 выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при решении задач других учебных предметов;

 выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;

 уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

Функции

 Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, четность/нечетность функции;

 строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности, функции вида:;

 составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;

 исследовать функцию по ее графику;

 находить множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности квадратичной функции;

 оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;

 решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;

 использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других учебных предметов.

Текстовые задачи

 Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;

 использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

 различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

 знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);

 моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;

 выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

 уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

 анализировать затруднения при решении задач;

 выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;

 интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

 анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;

 исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;

 решать разнообразные задачи «на части»,

 решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахо дение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

 осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;

 владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;

 решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;

 решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

 решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;

 решать несложные задачи по математической статистике;

 овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;

 решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;

 решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

Статистика и теория вероятностей

 Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;

 извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;

 составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;

 оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник Паскаля;

 применять правило произведения при решении комбинаторных задач;

 оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события, операции над случайными событиями;

 представлять информацию с помощью кругов Эйлера;

 решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью комбинаторики.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;

 определять статистические характеристики выборок по
таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от
цели решения задачи;

 оценивать вероятность реальных событий и явлений.

Геометрические фигуры

 оперировать понятиями геометрических фигур;

 извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

 применять геометрические факты для решения задач, в том числе, предполагающих несколько шагов решения;

 формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур;

 доказывать геометрические утверждения;

 владеть стандартной классификацией плоских фигур (треугольников и четырехугольников).

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.

Отношения

 Оперировать понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие фигур, подобные фигуры, подобные треугольники;

 применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных
отрезках при решении задач;

 характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни.

Измерения и вычисления

 оперировать представлениями о длине, площади, объеме как величинами. Применять теорему Пифагора, формулы площади, объема при решении многошаговых задач, в которых не все данные представлены явно, а требуют вычислений, оперировать более широким количеством формул длины, площади, объема, вычислять характеристики комбинаций фигур (окружностей и многоугольников) вычислять расстояния между фигурами, применять тригонометрические формулы для вычислений в более сложных случаях, проводить вычисления на основе равновеликости и равносоставленности;

 проводить простые вычисления на объемных телах;

 формулировать задачи на вычисление длин, площадей и объемов и решать их.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 проводить вычисления на местности;

 применять формулы при вычислениях в смежных учебных предметах, в окружающей действительности.

Геометрические построения

 Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;

 свободно оперировать чертежными инструментами в несложных случаях,

 выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;

 изображать типовые плоские фигуры и объемные тела с помощью простейших компьютерных инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;

 оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

Преобразования

 Оперировать понятием движения и преобразования подобия, владеть приемами построения фигур с использованием движений и преобразований подобия, применять полученные знания и опыт построений в смежных предметах и в реальных ситуациях окружающего мира;

 строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования свойств фигур;

 применять свойства движений для проведения простейших обоснований свойств фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений.
История математики

 Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;

 понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

 Используя изученные методы, проводить доказательство, выполнять опровержение;

 выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;

 использовать математические знания для описания закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства;

 применять простейшие программные средства и электронно- коммуникационные системы при решении математических задач.

9 класс

Учащийся научится:

Элементы теории множеств и математической логики

 Оперировать на базовом уровне понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность;

 задавать множества перечислением их элементов;

 находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;

 оперировать на базовом уровне понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство;

 приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов.

Числа

Здесь и далее – распознавать конкретные примеры общих понятий по характерным признакам, выполнять действия в соответствии с определением и простейшими свойствами понятий, конкретизировать примерами общие понятия.

 Оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, арифметический квадратный корень;

 использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений;

 использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач;

 выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;

 оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;

 распознавать рациональные и иррациональные числа;

 сравнивать числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 оценивать результаты вычислений при решении практических задач;

 выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;

 составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

Тождественные преобразования

 Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

 выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые;

 использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;

 выполнять несложные преобразования дробно-линейных выражений и выражений с квадратными корнями.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 понимать смысл записи числа в стандартном виде;

 оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа».

Уравнения и неравенства

 Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение неравенства;

 проверять справедливость числовых равенств и неравенств;

 решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным;

 решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;

 проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства);

 решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;

 изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других учебных предметах.

Функции

 Находить значение функции по заданному значению аргумента;

 находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;

 определять положение точки по ее координатам, координаты точки по ее положению на координатной плоскости;

 по графику находить область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции;

 строить график линейной функции;

 проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности);

 определять приближенные значения координат точки пересечения графиков функций;

 оперировать на базовом уровне понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;

 решать задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным подсчетом без применения формул.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания, области положительных и отрицательных значений и т.п.);

 использовать свойства линейной функции и ее график при решении задач из других учебных предметов.

Статистика и теория вероятностей

 Иметь представление о статистических характеристиках, вероятности случайного события, комбинаторных задачах;

 решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора;

 представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;

 читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;

 определять основные статистические характеристики числовых наборов;

 оценивать вероятность события в простейших случаях;

 иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 оценивать количество возможных вариантов методом перебора;

 иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий;

 сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления;

 оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях.

Текстовые задачи

 Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;

 строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;

 осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;

 составлять план решения задачи;

 выделять этапы решения задачи;

 интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

 знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;

 решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;

 решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;

 находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины;

 решать несложные логические задачи методом рассуждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать прикидку).

Геометрические фигуры

 Оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур;

 извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде;

 применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме;

 решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать свойства геометрических фигур для решения типовых задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни, задач практического содержания.

Отношения

 Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни.

Измерения и вычисления

 Выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для и мерений длин и углов;

 применять формулы периметра, площади и объема, площади поверхности отдельных многогранников при вычислениях, когда все данные имеются в условии; 90

 применять теорему Пифагора, базовые тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей в простейших случаях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях,
площади в простейших случаях, применять формулы в простейших ситуациях в повседневной жизни.

Геометрические построения

 Изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять простейшие построения на местности, необходимые в
реальной жизни.

Геометрические преобразования

 Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 распознавать движение объектов в окружающем мире;

 распознавать симметричные фигуры в окружающем мире.

Векторы и координаты на плоскости

 Оперировать на базовом уровне понятиями вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, координаты на плоскости;

 определять приближенно координаты точки по ее изображению на
координатной плоскости.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать векторы для решения простейших задач на определение скорости относительного движения.

История математики

 Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

 знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей;

 понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

 Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических задач;

 Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства.

Учащийся получит возможность научиться:

Элементы теории множеств и математической логики

 Оперировать понятиями: определение, теорема, аксиома, множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств;

 изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;

 определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;

 задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;

 оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания (импликации);

 строить высказывания, отрицания высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;

 использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для описания реальных процессов и явлений.

Числа

 Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;

 понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;

 выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений;

 выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;

 сравнивать рациональные и иррациональные числа;

 представлять рациональное число в виде десятичной дроби

 упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;

 находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;

 выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;

 составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;

 записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерения.

Тождественные преобразования

 Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

 выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение);

 выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;

 выделять квадрат суммы и разности одночленов;

 раскладывать на множители квадратный трехчлен;

 выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;

 выполнять преобразования дробно-рациональных выражений: сокращение дробей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей, возведение алгебраической дроби в натуральную и целую отрицательную степень;

 выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные
корни;

 выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные корни;

 выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;

 выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных предметов.

Уравнения и неравенства

 Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);

 решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных преобразований;

 решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью тождественных преобразований;

 решать дробно-линейные уравнения;

 решать простейшие иррациональные уравнения вида ,

 решать уравнения вида ;

 решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;

 использовать метод интервалов для решения целых и дробно- рациональных неравенств;

 решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;

 решать несложные квадратные уравнения с параметром;

 решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;

 решать несложные уравнения в целых числах.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;

 выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при
решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных уравнений и
неравенств при решении задач других учебных предметов;

 выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;

 уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

Функции

 Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, четность/нечетность функции;

 строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности, функции вида: ;

 на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y=f(x) для построения графиков функций: ;

 составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;

 исследовать функцию по ее графику;

 находить множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности квадратичной функции;

 оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;

 решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;

 использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других учебных предметов.

Текстовые задачи

 Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;

 использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

 различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

 знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);

 моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;

 выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

 уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

 анализировать затруднения при решении задач;

 выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;

 интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

 анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;

 исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;

 решать разнообразные задачи «на части»,

 решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

 осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;

 владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;

 решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;

 решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

 решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;

 решать несложные задачи по математической статистике;

 овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;

 решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;

 решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

Статистика и теория вероятностей

 Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;

 извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;

 составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;

 оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник Паскаля;

 применять правило произведения при решении комбинаторных задач;

 оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события, операции над случайными событиями;

 представлять информацию с помощью кругов Эйлера;

 решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью комбинаторики.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;

 определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;

 оценивать вероятность реальных событий и явлений.

Геометрические фигуры

 Оперировать понятиями геометрических фигур;

 извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

 применять геометрические факты для решения задач, в том числе, предполагающих несколько шагов решения;

 формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур;

 доказывать геометрические утверждения;

 владеть стандартной классификацией плоских фигур (треугольников и четырехугольников).

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.

Отношения

 Оперировать понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие фигур, подобные фигуры, подобные треугольники;

 применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках при решении задач;

 характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни.

Измерения и вычисления

 Оперировать представлениями о длине, площади, объеме как величинами. Применять теорему Пифагора, формулы площади, объема при решении многошаговых задач, в которых не все данные представлены явно, а требуют вычислений, оперировать более широким количеством формул длины, площади, объема, вычислять характеристики комбинаций фигур (окружностей и многоугольников) вычислять расстояния между фигурами, применять тригонометрические формулы для вычислений в более сложных случаях, проводить вычисления на основе равновеликости и равносоставленности;

 проводить простые вычисления на объемных телах;

 формулировать задачи на вычисление длин, площадей и объемов и решать их.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 проводить вычисления на местности;

 применять формулы при вычислениях в смежных учебных предметах, в окружающей действительности.

Геометрические построения

 Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;

 свободно оперировать чертежными инструментами в несложных случаях,

 выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;

 изображать типовые плоские фигуры и объемные тела с помощью простейших компьютерных инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;

 оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

Преобразования

 Оперировать понятием движения и преобразования подобия, владеть приемами построения фигур с использованием движений и преобразований подобия, применять полученные знания и опыт построений в смежных предметах и в реальных ситуациях окружающего мира;

 строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования свойств фигур;

 применять свойства движений для проведения простейших обоснований свойств фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений.

Векторы и координаты на плоскости

 Оперировать понятиями вектор, сумма, разность векторов, произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости, координаты вектора;

 выполнять действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), вычислять скалярное произведение, определять в простейших случаях угол между векторами, выполнять разложение вектора на составляющие, применять полученные знания в физике, пользоваться формулой вычисления расстояния между точками по известным координатам, использовать уравнения фигур для решения задач;

 применять векторы и координаты для решения геометрических задач на вычисление длин, углов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать понятия векторов и координат для решения задач по физике, географии и другим учебным предметам.

История математики

 Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;

 понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

 Используя изученные методы, проводить доказательство,

 выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;

 использовать математические знания для описания закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства;

 применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач.

Формирование ИКТ-компетентности обучающихся

При изучении учебного предмета обучающиеся усовершенствуют приобретённые на первой ступени навыки работыс информацией и пополнят их. Они смогут работать с текстами, преобразовывать и интерпретировать содержащуюся в них информацию, в том числе:

• систематизировать, сопоставлять, анализировать, обобщать и интерпретировать информацию, содержащуюся в готовых информационных объектах;

• выделять главную и избыточную информацию, выполнять смысловое свёртывание выделенных фактов, мыслей; представлять информацию в сжатой словесной форме (в виде плана или тезисов) и в наглядно-символической форме (в виде таблиц, графических схем и диаграмм, карт понятий — концептуальных диаграмм, опорных конспектов);

• заполнять и дополнять таблицы, схемы, диаграммы, тексты.

Обучающиеся усовершенствуют навык поиска информациив компьютерных и некомпьютерных источниках информации, приобретут навык формулирования запросов и опыт использования поисковых машин. Они научатся осуществлять поиск информации в Интернете, школьном информационном пространстве, базах данных и на персональном компьютере с использованием поисковых сервисов, строить поисковые запросы в зависимости от цели запроса и анализировать результаты поиска.

Обучающиеся приобретут потребность поиска дополнительной информации для решения учебных задач и самостоятельной познавательной деятельности; освоят эффективные приёмы поиска, организации и хранения информации на персональном компьютере, в информационной среде учреждения и в Интернете; приобретут первичные навыки формирования и организации собственного информационного пространства.

Они усовершенствуют умение передавать информацию в устной форме, сопровождаемой аудиовизуальной поддержкой, и в письменной форме гипермедиа (т. е. сочетания текста, изображения, звука, ссылок между разными информационными компонентами).

Обучающиеся смогут использовать информацию для установления причинно-следственных связей и зависимостей, объяснений и доказательств фактов в различных учебных и практических ситуациях, ситуациях моделирования и проектирования.

Выпускники получат возможность научиться строить умозаключения и принимать решения на основе самостоятельно полученной информации, а также освоить опыт критического отношения к получаемой информации на основе её сопоставления с информацией из других источников и с имеющимся жизненным опытом.

Основы учебно-исследовательской и проектной деятельности.

В ходе изучения всех учебных предметов обучающиеся приобретут опыт проектной деятельности как особой формы учебной работы, способствующей воспитанию самостоятельности, инициативности, ответственности, повышению мотивации и эффективности учебной деятельности; в ходе реализации исходного замысла на практическом уровне овладеют умением выбирать адекватные стоящей задаче средства, принимать решения, в том числе и в ситуациях неопределённости. Они получат возможность развить способность к разработке нескольких вариантов решений, к поиску нестандартных решений, поиску и осуществлению наиболее приемлемого решения.

В ходе планирования и выполнения учебных исследований обучающиеся освоят умение оперировать гипотезами как отличительным инструментом научного рассуждения, приобретут опыт решения интеллектуальных задач на основе мысленного построения различных предположений и их последующей проверки.

В результате целенаправленной учебной деятельности, осуществляемой в формах учебного исследования,учебного проекта, в ходе освоения системы научных понятий у выпускников будут заложены:

• потребность вникать в суть изучаемых проблем, ставить вопросы, затрагивающие основы знаний, личный, социальный, исторический жизненный опыт;

• основы критического отношения к знанию, жизненному опыту;

• основы ценностных суждений и оценок;

• уважение к величию человеческого разума, позволяющего преодолевать невежество и предрассудки, развивать теоретическое знание, продвигаться в установлении взаимопонимания между отдельными людьми и культурами;

• основы понимания принципиальной ограниченности знания, существования различных точек зрения, взглядов, характерных для разных социокультурных сред и эпох.

Предметные результаты обучения

Результаты обучения представлены к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания.

Изучение математики в основной школе дает возможность обучающимся достичь следующих результатов развития:

1) в личностном направлении:

• умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

• критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

• представление о математической науке как сфере чело­веческой деятельности, об этапах ее развития, о ее значимо­сти для развития цивилизации;

• креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;

• умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

• способность к эмоциональному восприятию математи­ческих объектов, задач, решений, рассуждений;

2) в метапредметном направлении:

1. • первоначальные представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки и техники, сред­стве моделирования явлений и процессов;

   • умение видеть математическую задачу в контексте проб­лемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;

   • умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, представ­лять ее в понятной форме, принимать решение в условиях не­полной и избыточной, точной и вероятностной информации;

   • умение понимать и использовать математические сред­ства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

   • умение выдвигать гипотезы при решении учебных за­дач, понимать необходимость их проверки;

   • умение применять индуктивные и дедуктивные спосо­бы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;

   • понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алго­ритмом;

   • умение самостоятельно ставить цели, выбирать и созда­вать алгоритмы для решения учебных математических проб­лем;

   • умение планировать и осуществлять деятельность, на­правленную на решение задач исследовательского характера;

3) в предметном направлении:

• овладение базовым понятийным аппаратом по основ­ным разделам содержания, представление об основных изуча­емых понятиях (число, геометрическая фигура, уравнение, функция, вероятность) как важнейших математических моде­лях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;

• умение работать с математическим текстом (анализиро­вать, извлекать необходимую информацию), грамотно приме­нять математическую терминологию и символику, использо­вать различные языки математики;

• умение проводить классификации, логические обосно­вания, доказательства математических утверждений;

• умение распознавать виды математических утверждений (аксиомы, определения, теоремы и др.), прямые и обратные теоремы;

• развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел, овладение навыка­ми устных, письменных, инструментальных вычислений;

• овладение символьным языком алгебры, приемами вы­полнения тождественных преобразований рациональных вы­ражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств, умение использовать идею координат на плоскости для интерпретации уравнений, неравенств, систем, умение применять алгебраические преобразования, аппарат уравнений и неравенств для решения задач из различных разделов курса;

• овладение системой функциональных понятий, функ­циональным языком и символикой, умение на основе функ­ционально-графических представлений описывать и анализи­ровать реальные зависимости;

• овладение основными способами представления и ана­лиза статистических данных; наличие представлений о стати­стических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о вероятностных моделях;

• овладение геометрическим языком, умение использо­вать его для описания предметов окружающего мира, разви­тие пространственных представлений и изобразительных уме­ний, приобретение навыков геометрических построений;

• усвоение систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, а также на наглядном уровне — о простейших пространственных телах, умение применять систематические знания о них для решения геометрических и практических задач;

• умения измерять длины отрезков, величины углов, ис­пользовать формулы для нахождения периметров, площадей и объемов геометрических фигур;

• умение применять изученные понятия, результаты, ме­тоды для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера.

Натуральные числа. Дроби. Рациональные числа

Выпускник научится:

• понимать особенности десятичной системы счисления;

• оперировать понятиями, связанными с делимостью натуральных чисел;

• выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации;

• сравнивать и упорядочивать рациональные числа;

• выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные и письменные приемы вычислений, применение калькулятора;

• использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, процентами, в ходе решения математических задач из смежных предметов, выполнять несложные практические расчеты.

Выпускник получит возможность:

• познакомиться с позиционными системами счисления, отличными от 10;

• углубить и развить представления о натуральных числах и свойствах делимости;

• научиться использовать приемы, рационализирующие вычисления, приобрести привычку контролировать вычисления, выбирая подходящий для ситуации способ.

Действительные числа

Выпускник научится:

• использовать начальные представления о множестве действительных чисел;

• оперировать понятием квадратного корня, применять его в вычислениях.

Выпускник получит возможность:

• развивать представление о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; о роли вычислений в практике;

• развить и углубить знания о десятичной записи действительных чисел (периодические и непериодические дроби).

Измерения, приближения, оценки

Выпускник научится:

• использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные с приближенными вычислениями величин.

Выпускник получит возможность:

• понять, что числовые данные, которые используются для характеристики объектов окружающего мира, являются преимущественно приближенными, что по записи приближенных значений, содержащихся в информационных источниках, можно судить о погрешности приближения;

• понять, что погрешность результата вычислений должна быть соизмерима с погрешностью исходных данных.

Алгебраические выражения

Выпускник научится:

• оперировать понятиями «тождество», «тождественное преобразование», решать задачи, содержащие буквенные данные, работать с формулами;

• выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями квадратные корни;

• выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями;

• выполнять разложение многочленов на множители.

Выпускник получит возможность научиться:

• выполнять многошаговые преобразования рациональных выражений, применяя широкий набор способов и приемов;

• применять тождественные преобразования для решения задач из различных разделов курса ( например, для нахождения наибольшего/ наименьшего значений выражения).

Уравнения

Выпускник научится:

• решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной, системы двух уравнений с двумя переменными;

• понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и изучения разнообразных реальных ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом;

• применять графические представления для исследования уравнений, исследования и решения систем уравнений с двумя переменными.

Выпускник получит возможность:

• овладеть специальными приемами решения уравнений и систем уравнений; уверенно применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;

• применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содержащих буквенные коэффициенты.

Неравенства

Выпускник научится:

• Понимать и применять терминологию и символику, связанные с отношением неравенства, свойства числовых неравенств;

• Решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; решать

• квадратные неравенства с опорой на графические представления;

• Применять аппарат неравенств для решения задач из различных разделов курса.

Выпускник получит возможность научиться:

• разнообразным приемам доказательства неравенств; уверенно применять аппарат неравенств для решения разнообразных математических задач и задач из смежных предметов, практики;

• применять графические представления для исследования неравенств, систем неравенств, содержащих буквенные коэффициенты.

Основные понятия. Числовые функции

Выпускник научится:

• понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения);

• строить графики элементарных функций; исследовать свойства числовых функций на основе изучения поведения их графиков;

• понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования зависимостей между физическими величинами.

Выпускник получит возможность научиться:

• проводить исследования, связанные с изучением свойств функции, в том числе с использованием компьютера; на основе графиков изученных функций строить более сложные графики (кусочно-заданные, с «выколотыми» точками и т.п.);

использовать функциональные представления и свойства функций для решения математических задач из различных разделов курса.

Числовые последовательности

Выпускник научится:

• понимать и использовать язык последовательностей (термины, символические обозначения);

• применять формулы, связанные с арифметической и геометрической прогрессиями, и аппарат, сформированный при изучении других разделов курса, к решению задач, в том числе с контекстом из реальной жизни.

Выпускник получит возможность научиться:

• решать комбинированные задачи с применением формул п-го члена и суммы первых п членов арифметической и геометрической прогрессии, применяя при этом аппарат уравнений и неравенств;

• понимать арифметическую и геометрическую прогрессию как функции натурального аргумента; связывать арифметическую прогрессию с линейным ростом, геометрическую – с экспоненциальным ростом.

Описательная статистика

Выпускник научится использовать простейшие способы представления и анализа статистических данных.

Выпускник получит возможность приобрести первоначальный опыт организации сбора данных при проведении опроса общественного мнения, осуществлять их анализ, представлять результаты опроса в виде таблицы, диаграммы.

Случайные события и вероятность

Выпускник научится находить относительную частоту и вероятность случайного события.

Выпускник получит возможность приобрести опыт проведения случайных экспериментов, в том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретации их результатов.

Комбинаторика

Выпускник научится решать комбинаторные задачи на нахождение числа объектов или комбинаций.

Выпускник получит возможность научиться некоторым специальным приемам решения комбинаторных задач.

Наглядная геометрия

Выпускник научится:

• распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические фигуры;

• распознавать развертки куба, прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды и конуса;

• строить развертки куба и прямоугольного параллелепипеда;

• определять по линейным размерам развертки фигуры линейные размеры самой фигуры, и наоборот;

• вычислять объем прямоугольного параллелепипеда.

Выпускник получит возможность:

• научиться вычислять объемы пространственных геометрических фигур, составленных из прямоугольных параллелепипедов;

• углубить и развить представления о пространственных геометрических фигурах;

• научиться применять понятие развертки для выполнения практических расчетов.

Геометрические фигуры

Выпускник научится:

• пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира и их взаимного расположения;

• распознавать и изображать на чертежах и рисунках геометрические фигуры и их конфигурации;

• находить значения длин линейных элементов фигур и их отношения, градусную меру углов от 0⁰ до 180⁰, применяя определения, свойства и признаки фигур и их элементов, отношения фигур (равенство, подобие, симметрии, поворот, параллельный перенос);

• оперировать начальными понятиями тригонометрии и выполнять элементарные операции над функциями углов;

• решать задачи на доказательство, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними и применяя изученные методы доказательств;

• решать несложные задачи на построение, применяя основные алгоритмы построения с помощью циркуля и линейки;

• решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.

Выпускник получит возможность:

• овладеть методами решения задач на вычисления и доказательства: методом от противного, методом подобия, методом перебора вариантов и методом геометрических мест точек;

• приобрести опыт применения алгебраического и тригонометрического аппарата и идей движения при решении геометрических задач;

• овладеть традиционной схемой решения задач на построение с помощью циркуля и линейки: анализ, построение, доказательство и исследование;

• научиться решать задачи на построение методом геометрического места точек и методом подобия;

• приобрести опыт исследования свойств планиметрических фигур с помощью компьютерных программ;

• приобрести опыт выполнения проектов по темам «Геометрические преобразования на плоскости», «Построение отрезков по формуле».

Измерение геометрических величин

Выпускник научится:

• использовать свойства измерения длин, площадей и углов при решении задач на нахождение длины отрезка, длины окружности, длины дуги окружности, градусной меры угла;

• вычислять площади треугольников, прямоугольников, параллелограммов, трапеций, кругов и секторов;

• вычислять длину окружности, длину дуги окружности;

• вычислять длины линейных элементов фигур и их углы, используя формулы длины окружности и длины дуги окружности, формулы площадей фигур;

• решать задачи на доказательство с использованием формул длины окружности и длины дуги окружности, формул площадей фигур;

• решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства).

Выпускник получит возможность научиться:

• вычислять площади фигур, составленных из двух или более прямоугольников, параллелограммов, треугольников, круга и сектора;

• вычислять площади многоугольников, используя отношения равновеликости и равносоставленности;

• применять алгебраический и тригонометрический аппарат и идеи движения при решении задач на вычисление площадей многоугольников.

Координаты

Выпускник научится:

• вычислять длину отрезка по координатам его концов; вычислять координаты середины отрезка;

• использовать координатный метод для изучения свойств прямых и окружностей.

Выпускник получит возможность:

• овладеть координатным методом решения задач на вычисления и доказательства;

• приобрести опыт использования компьютерных программ для анализа частных случаев взаимного расположения окружностей и прямых;

• приобрести опыт выполнения проектов на тему «Применение координатного метода при решении задач на вычисления и доказательства».

Векторы

Выпускник научится:

• оперировать с векторами: находить сумму и разность двух векторов, заданных геометрически, находить вектор, равный произведению заданного вектора на число;

• находить для векторов, заданных координатами: длину вектора, координаты суммы и разности двух и более векторов, координаты произведения вектора на число, применяя при необходимости сочетательный, переместительный и распределительный законы;

• вычислять скалярное произведение векторов, находить угол между векторами, устанавливать перпендикулярность прямых.

Выпускник получит возможность:

• овладеть векторным методом для решения задач на вычисления и доказательства;

• приобрести опыт выполнения проектов на тему «применение векторного метода при решении задач на вычисления и доказательства».

Содержание тем учебного курса

5 класс

Натуральные числа.

 Натуральный ряд. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Свойства арифметических действий.

Степень с натуральным показателем.

Числовые выражения, значение числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях, использование скобок. Решение текстовых задач арифметическими способами.

Делители и кратные. Свойства и признаки делимости. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Деление с остатком.

Дроби.

 Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби.    Координатная прямая. Изображение чисел точками координатной прямой. Числовые промежутки. Сравнение обыкновенных дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части.

Глава I . Линии

Разнообразный мир линий Прямая. Части прямой. Ломаная. Длина линии. Окружность. Контрольная работа №1 «Линии»

Глава II. Натуральные числа

Как записывают и читают натуральные числа. Натуральный ряд. Сравнение натуральных чисел. Числа и точки на прямой. Решение комбинаторных задач. Повторение. Натуральные числа. Контрольная работа №2 «Натуральные числа»

Глава III. Действия с натуральными числами

Сложение и вычитание. Умножение и деление. Порядок действий в вычислениях. Степень числа.

Задачи на движение. Действия с натуральными числами. Контрольная работа №3 «Действия с натуральными числами».

ГлаваIV.Использование свойств действий при вычислениях

Свойства умножения и деления. Распределительное свойство. Задачи на части. Задачи на уравнивание. Решение задач. Контрольная работа №4 «Использование свойств действий при вычислениях».

ГлаваV.Углы и многоугольники

Как обозначаю и сравнивают углы. Измерение углов. Ломаные и многоугольники. Углы и многоугольники.

ГлаваVI. Делимость чисел

Делители и кратные. Простые и составные числа. Свойства делимости. Признаки делимости. Деление с остатком. Делимость чисел. Контрольная работа №5 «Делимость чисел».

ГлаваVII Треугольники и четырехугольники

Треугольники и их виды. Прямоугольники. Равенство фигур. Площадь прямоугольника.Треугольники и четырехугольники. Контрольная работа №6 «Треугольники и четырехугольники».

ГлаваVIII. Дроби

Доли. Что такое дробь. Основное свойство дроби. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Натуральные числа и дроби. Дроби. Контрольная работа №7 «Дроби».

ГлаваIX. Действия с дробями

Сложение и вычитание дробей. Смешанные дроби. Сложение и вычитание смешанных дробей. Контрольная работа №8 «Сложение и вычитание дробей». Умножение дробей. Деление дробей. Нахождение части целого и целого по его части. Задачи на совместную работу. Действия с дробями. Контрольная работа №9 «Действия с дробями».

Глава Х. Многогранники

Геометрические тела и их изображение. Параллелепипед. Объем параллелепипеда.Пирамида. Многогранники. Контрольная работа №10 «Многогранники».

ГлаваXI. Таблицы и диаграммы

Чтение и составление таблиц. Диаграммы.Опрос общественного мнения. Таблицы и диаграммы.

Повторение

Натуральные числа. Действия с натуральными числами. Делимость чисел. Дроби. Действия с дробями. Решение задач. Всероссийская проверочная работа. Итоговая контрольная работа за курс математики 5 класса.

6 класс

Дроби.

Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.    Координатная прямая. Изображение чисел точками координатной прямой. Числовые промежутки.

 Проценты; нахождение процентов от величины и величины по ее процентам. Отношение; выражение отношения в процентах. Пропорция; основное свойство пропорции.

Решение текстовых задач арифметическими способами.

Алгебраические выражения.

 Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо переменных. Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество.

Рациональные числа.

Положительные и отрицательные числа, модуль числа. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел; рациональное число как отношение m/n, где т — целое число, п — натуральное число. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Свойства арифметических действий. Степень с целым показателем.

6 класс

Глава I . Дроби и проценты

Что мы знаем о дробях. Вычисления с дробями. «Многоэтажные» дроби. Основные задачи на дроби. Что такое процент.Столбчатые и круговые диаграммы. Дроби и проценты. Контрольная работа №1 «Дроби и проценты».

ГлаваII.Прямые на плоскости и в пространстве

Пересекающиеся прямые. Параллельные прямые. Расстояние. Прямые на плоскости и в пространстве.

ГлаваIII.Десятичные дроби

Десятичная запись дроби.

Десятичные дроби и метрическая система мер.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную. Сравнение десятичных дробей. Десятичные дроби. Контрольная работа №2 «Десятичные дроби».

Глава IV. Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000. Умножение десятичных дробей. Контрольная работа №3 «Действия с десятичными дробями». Деление десятичных дробей. Округление десятичных дробей. Задачи на движение. Действия с десятичными дробями. Контрольная работа №4 «Действия с десятичными дробями».

ГлаваV.Окружность

Прямая и окружность. Две окружности на плоскости. Построение треугольникаКруглые тела. Окружность.

Глава VI. Отношения и проценты

Что такое отношение. Деление в данном отношении. «Главная» задача на проценты.Выражение отношения в процентах. Отношения и проценты. Контрольная работа №5 «Отношения и проценты».

ГлаваVII Симметрия

Осевая симметрия. Ось симметрии фигуры. Центральная симметрия. Симметрия.

ГлаваVIII. Выражения, формулы, уравнения

О математическом языке. Буквенные выражения и числовые подстановки Формулы. Вычисления по формулам. Формулы длины окружности, площади круга и объема шара. Что такое уравнение. Выражения, формулы и уравнения. Контрольная работа №6 «Выражения, формулы, уравнения».

ГлаваIX. Целые числа

Какие числа называют целыми.

Сравнение целых чисел.

Сложение целых чисел. Вычитание целых чисел. Умножение и деление целых чисел. Целые числа. Контрольная работа №7 «Целые числа».

Глава Х. Множества. Комбинаторика

Понятие множества. Операции над множествами. Решение задач с помощью кругов Эйлера. Комбинаторные задачи.Множества.

ГлаваXII. Многоугольники и многогранники

Параллелограмм. Площади. Призма. Многоугольники и многогранник.

Повторение

Дроби, отношения и проценты. Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Решение уравнений. Решение задач. Всероссийская проверочная работа. Итоговая контрольная работа за курс математики 6 класса.

7 класс

Алгебраические выражения.

Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо переменных. Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество.

Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Преобразование целого выражения в многочлен. Разложение многочленов на множители. Многочлены с одной переменной. Корень многочлена. Квадратный трехчлен; разложение квадратного трехчлена на множители.

Уравнения.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.

 Линейное уравнение.

Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и сложением. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными; угловой коэффициент прямой; условие параллельности прямых. Графики простейших нелинейных уравнений: парабола, гипербола, окружность. Графическая интерпретация систем уравнений с двумя переменными.

Функции

Основные понятия.

Зависимости между величинами. Понятие функции. Способы задания функции. График функции. Свойства функций, их отображение на графике. Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.

Числовые функции.

Функция, описывающая прямую пропорциональную зависимости, ее график и свойства. Линейная функция, ее график и свойства. Квадратичная функция, ее график и свойства. Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства.

Вероятность и статистика

Описательная статистика.

 Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах. Представление о выборочном исследовании.

Комбинаторика.

Решение комбинаторных задач перебором вариантов.

Геометрия

Основные свойства простейших геометрических фигур

 Начальные понятия планиметрии. Геометрические фигуры. Точка и прямая. Отрезок, длина отрезка и её свойства. Полупрямая. Угол, величина угла и её свойства. Треугольник. Равенство отрезков, углов, треугольников. Параллельные прямые. Теоремы и доказательства. Аксиомы.

Смежные и вертикальные углы.        Смежные и вертикальные углы и их свойства. Перпендикулярные прямые. Биссектриса угла и её свойства.

Признаки равенства треугольников        Признаки равенства треугольников. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства.

Сумма углов треугольника        

Параллельные прямые. Основное свойство параллельных прямых. Признаки параллельности прямых. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

Логика и множества

Теоретико-множественные понятия.

Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств.

Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера — Венна.

Элементы логики.

Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и контрпример.

Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок, если то в том и только в том случае, логические связки  и, или.

Глава I. Выражения, тождества, уравнения

Числовые выражения. Выражения с переменными. Сравнение значений выражений. Свойства действий над числами. Тождества. Тождественные выражения. Контрольная работа №1 «Выражения». Уравнение и его корни. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений. Среднее арифметическое, размах и мода. Медиана как статистическая характеристика. Контрольная работа №2 «Уравнения с одной переменной».

Глава II. Функции

Что такое функция. Вычисление значений функции по формуле. График функции. Прямая пропорциональность и ее график. Линейная пропорциональность и ее график. Контрольная работа по алгебре №3 "Функции»

Глава III. Степень с натуральным показателем

Определение степени с натуральным Показателем. Умножение и деление степеней.

Возведение в степень произведения и степени. Одночлен и его стандартный вид. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Функции y=x² и y=x³ и их графики. Контрольная работа по алгебре №4 "Степень с натуральным показателем".

Глава IV. Многочлены

Многочлен и его стандартный вид.

Сложение и вычитание многочленов. Умножение одночлена на многочлен. Вынесение общего множителя за скобки. Контрольная работа по алгебре №5 "Действия с многочленами". Умножение многочлена на многочлен. Разложение многочленов на множители способом группировки. Контрольная работа по алгебре №6 "Многочлены".

Глава V. Формулы сокращенного умножения

Возведение в квадрат и куб суммы и разности двух выражений. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Умножение разности двух выражений на их сумму. Разложение разности квадратов на множители. Контрольная работа по алгебре №7 "Формулы сокращенного умножения". Преобразование целого выражения в многочлен. Применение различных способов для разложения на множители. Контрольная работа по алгебре №8 "Преобразование целых выражений».

Глава VI. Системы линейных уравнений  

Линейное уравнение с двумя переменными.График линейного уравнения с двумя Переменными.

Системы линейных функций с двумя Переменными. Способ подстановки. Способ сложения. Решение задач с помощью систем уравнений. Контрольная работа по алгебре №9 "Системы

линейных уравнений".

Повторение

Повторение. Функции. Повторение. Степень с натуральным Показателем.

Повторение. Многочлены. Повторение. Формулы сокращенного умножения. Повторение. Системы линейных уравнений. Всероссийская проверочная работа. Итоговый контрольный тест за курс математики 7 класса.

Глава I. Начальные понятия и теоремы геометрии

Прямая и отрезок. Луч и угол. Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков. Измерение углов. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые. Построение прямых углов на местности. Решение задач. Контрольная работа по геометрии №1 "Начальные геометрические сведения".

Глава II. Треугольники

Треугольник. Первый признак равенства треугольников. Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства равнобедренного треугольника. Второй признак равенства треугольников. Третий признак равенства треугольников.Окружность. Построения циркулем и Линейкой. Примеры задач на построение. Решение задач. Контрольная работа по геометрии №2 "Треугольники".

Глава III. Параллельные прямые

Определение параллельных прямых. Признаки параллельности прямых.Практические способы построения двух прямых. Об аксиомах геометрии. Аксиома параллельности прямых. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами. Решение задач. Контрольная работа по геометрии №3 "Параллельные прямые".

Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема о сумме углов треугольника. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Неравенство треугольника. Контрольная работа по геометрии №4 "Соотношения между сторонами и углами треугольника" .Некоторые свойства прямоугольных Треугольников. Признаки равенства прямоугольных Треугольников. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Построение треугольника по трем элементам. Решение задач. Контрольная работа по геометрии №5 "Прямоугольные треугольники».

Повторение

Повторение. Решение задач

8 класс

Действительные числа.

Квадратный корень из числа. Корень третьей степени.

Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа   и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичные приближения иррациональных чисел.

Множество действительных чисел; представление действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Сравнение действительных чисел.

Координатная прямая. Изображение чисел точками координатной прямой. Числовые промежутки.

Измерения, приближения, оценки.

Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире. Выделение множителя  степени 10  в записи числа.

Приближенное значение величины, точность приближения. Округление натуральных чисел и десятичных дробей. Прикидка и оценка результатов вычислений.

Алгебраические выражения.

Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо переменных. Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество.

Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства.

Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство тождеств.

Квадратные корни. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям.

Уравнения.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.

Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным.

Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными, примеры решения уравнений в целых числах.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Неравенства.

Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной.

Уравнения.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.

Примеры решения уравнений третьей и четвертой степени. Решение дробно-рациональных уравнений.

Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными, примеры решения уравнений в целых числах.

Неравенства.

Линейные неравенства с одной переменной.

Функции

Числовые функции.

Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, их графики и свойства.

Вероятность и статистика

Описательная статистика.

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах. Представление о выборочном исследовании.

Геометрия

Геометрические построения

Окружность. Касательная к окружности и её свойства. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Четырехугольники

Определение четырехугольника. Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Трапеция. Средняя линия трапеция. Пропорциональные отрезки.        

Теорема Пифагора

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. Неравенство треугольника. Перпендикуляр и наклонная. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов.

Логика и множества

Теоретико-множественные понятия.

Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств.

Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера — Венна.

Глава I. Рациональные дроби

Рациональные дроби и их свойства. Сумма и разность дробей. Контрольная работа по алгебре №1 «Сумма и разность дробей». Произведение и частное дробей. Контрольная работа по алгебре №2 «Произведение и частное дробей».

ГлаваII.Квадратные корни

Действительные числа. Арифметический квадратный корень. Свойства арифметического квадратного корня Контрольная работа по алгебре №3 «Квадратный корень».Применение свойств арифметического квадратного корня. Контрольная работа по алгебра №4 «Применение свойств квадратного корня».

ГлаваIII. Квадратные уравнения

Квадратное уравнение и его корни. Контрольная работа по алгебре №5 «Квадратное уравнение». Дробные рациональные уравнения. Контрольная работа по алгебре №6 «Дробные рациональные уравнения».

ГлаваIV. Неравенства

Числовые неравенства и их свойства.Контрольная работа по алгебре №7 «Числовые неравенства». Неравенства с одной переменной и их системы. Контрольная работа №8«Системы неравенств с одной переменной».

ГлаваV. Степень с целым показателем. Элементы статистики

Степень с целым показателем и ее свойства. Контрольная работа по алгебре №9 «Степень с целым показателем». Элементы статистики.

Повторение

Рациональные дроби. Квадратные корни. Квадратные уравнения. Неравенства и их системы. Решение задач. Всероссийская проверочная работа. Итоговая контрольная работа по математике за курс 8 класса.

ГлаваV. Четырехугольники

Многоугольники. Параллелограмм и трапеция. Прямоугольник, ромб, квадрат. Решение задач. Контрольная работа по геометрии №1 «Четырехугольники».

ГлаваVI. Площадь

Площадь многоугольника. Площади параллелограмма, треугольника, трапеции.Теорема Пифагора. Решение задач. Контрольная работа по геометрии №2 «Площадь».

ГлаваVII. Подобные треугольники

Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников.Контрольная работа по геометрии №3 «Подобные треугольники». Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Контрольная работа по геометрии №4 «Применение подобия треугольников».

ГлаваVIII. Окружность

Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности. Контрольная работа по геометрии №5 «Окружность»

Повторение. Решение задач

Четырехугольники. Площадь. Подобные треугольники. Окружность.

9 класс

Алгебра

Алгебраические выражения.

Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо переменных. Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество.

Многочлены с одной переменной. Корень многочлена. Квадратный трехчлен; разложение квадратного трехчлена на множители.

Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства.

Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство тождеств.

Уравнения.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.

Решение дробно-рациональных уравнений.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Графики простейших нелинейных уравнений: парабола, гипербола, окружность. Графическая интерпретация систем уравнений с двумя переменными.

Неравенства.

Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Квадратные неравенства. Системы неравенств с одной переменной.

Функции

Основные понятия.

Зависимости между величинами. Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Свойства функций, их отображение на графике. Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.

Числовые функции.

Квадратичная функция, ее график и свойства. Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства.

Числовые последовательности.

Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой л-го члена.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы л-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых п членов. Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты.

Вероятность и статистика

Случайные события и вероятность.

Понятие о случайном опыте и случайном событии. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Вероятности противоположных событий. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности.

Комбинаторика.

Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал.

Геометрия

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. Неравенство треугольника. Перпендикуляр и наклонная. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов.

Декартовы координаты на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнения прямой и окружности. Координаты пересечения прямых. График линейной функции. Пересечение прямых с окружностью. Синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°.

Движение

Движение и его свойства. Симметрия относительно точки и прямой. Поворот. Параллельный перенос и его свойства. Понятие о равенстве фигур.

Векторы

Вектор. Абсолютная величина и направление вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число [Коллинеарные векторы] Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. [Проекция на ось. Разложение вектора по координатным осям.]

Движения.

Отображение плоскости на себя. Понятие движения. Осевая и центральная симметрии. Параллельный перенос. Поворот. Наложения и движения.

Об аксиомах геометрии.

Беседа об аксиомах геометрии.

Начальные сведения из стереометрии.

Предмет стереометрии. Геометрические тела и поверхности. Многогранники: призма, параллелепипед, пирамида» формулы для вычисления их объемов. Тела и поверхности вращения: цилиндр, конус, сфера, шар, формулы для вычисления их площадей поверхностей и объемов.

Математика в историческом развитии

История формирования понятия числа: натуральные числа, дроби, недостаточность рациональных чисел для геометрических измерений, иррациональные числа. Старинные системы записи чисел. Дроби в Вавилоне, Египте, Риме. Открытие десятичных дробей. Старинные системы мер. Десятичные дроби и метрическая система мер. Появление отрицательных чисел и нуля. Л. Магницкий. Л. Эйлер.

Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений, неразрешимость в радикалах уравнений степени, большей четырех. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н. X. Абель, Э. Галуа.

Изобретение метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Р. Декарт и П. Ферма. Примеры различных систем координат на плоскости.

Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске.

Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма и Б. Паскаль. Я. Бернулли. А. Н. Колмогоров.

От землемерия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес. Архимед. Построение правильных многоугольников. Трисекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История числа л. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л. Эйлер. Н. И. Лобачевский. История пятого постулата.

Софизмы, парадоксы.

Глава I. Квадратичная функция

Функция. Область определения и область значений функции. Свойства функции. Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на Множители. Контрольная работа по алгебре №1 "Функции и их свойства. Квадратный трехчлен". Функция y=ax², ее свойства и график .Графики функций y=ax²+n и y=a(x-m)² .Построение графика квадратичной функции Функция y=х^п .Корень п-ой степени. Контрольная работа по алгебре №2 "Квадратичная функция».

Глава II. Уравнения и неравенства с одной переменной

Целое уравнение и его корни. Дробные рациональные уравнения. Решение неравенств второй степени с одной переменной. Решение неравенств методом интервалов. Контрольная работа по алгебре №3 "Уравнения и неравенства с одной переменной".

Глава III. Уравнения и неравенства с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными и его График. Графический способ решения систем уравнений. Решение систем уравнений второй степени. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Неравенства с двумя переменными. Системы неравенств с двумя переменными. Контрольная работа по алгебре №4 "Уравнения и неравенства с двумя переменными».

Глава IV. Арифметическая и геометрические прогрессии

Последовательности. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической Прогрессии. Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии. Контрольная работа по алгебре №5 "Арифметическая прогрессия".Определение геометрической прогрессии. Формула п-го члена геометрической Прогрессии. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии. Контрольная работа по алгебре №6 "Геометрическая прогрессия".

Глава V. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Примеры комбинаторных задач. Перестановки.Размещения. Сочетания. Относительная частота случайного события. Вероятность равновозможных событий. Контрольная работа по алгебре №7 "Элементы комбинаторики и теории вероятностей".

Повторение

Повторение. Вычисления. Повторение. Тождественные преобразования. Повторение. Уравнения и системы уравнений. Повторение. Решение текстовых задач. Повторение. Неравенства. Повторение. Функции. Решение заданий ОГЭ с подробной записью Решения.

Глава IX. Векторы

Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки. Сумма двух векторов. Законы сложения. векторов. Правило параллелограмма. Сумма нескольких векторов. Вычитание векторов. Произведение вектора на число.Применение векторов к решению задач. Средняя линия треугольника.

Глава X. Метод координат

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Координаты вектора.

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах. Уравнение линии на плоскости. Уравнение Окружности. Уравнение прямой. Взаимное расположение двух окружностей. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Контрольная работа по геометрии №1 "Метод координат".

Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Синус, косинус, тангенс, котангенс. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки. Теорема о площади треугольника. Теорема

Синусов. Теорема косинусов. Решение треугольников. Измерительные работы. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов. Решение задач. Контрольная работа по геометрии №2 "Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов".

Глава XII. Длина окружности и площадь круга

Окружность, вписанная в правильный Многоугольник. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности. Построение правильных многоугольников. Длина окружности. Площадь круга. Площадь кругового сектора.Решение задач. Контрольная работа по геометрии №3 "Длина окружности и площадь круга."

ГлаваXIII. Движения

Отображение плоскости на себя. Понятие движения. Параллельный перенос. Поворот.Решение задач. Контрольная работа по геометрии №4 "Движения".

Глава XIV. Начальные сведения из стереометрии

Предмет стереометрии. Многогранник.Призма. Параллелепипед. Объем тела. Свойства прямоугольного параллелепипеда. Пирамида. Цилиндр. Конус. Сфера и шар. Тела и поверхности вращения.

Об аксиомах планиметрии

Аксиомы планиметрии. Об аксиомах планиметрии

Повторение.

Повторение. Треугольники. Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые. Повторение. Четырехугольники Повторение. Площадь. Повторение. Подобные треугольники. Повторение. Окружность. Решение заданий ОГЭ С развернутым решением.

Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/475280-rabochaja-programma-po-matematike-5-9-klassy