Курсовая работа по математике на тему «Неравенство Коши»

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

(ВлГУ)

Кафедра«Математическоеобразованиеиинформационныетехнологии»

Курсовая работа

по дисциплине «Математический анализ»

на тему:

«Неравенство Коши»

Выполнил: студент ФМ – 119

очной формы обучения

Зверева Анастасия Эдуардовна

Проверил: доцент кафедры МОиИТ

Тихомиров Роман Николаевич

Владимир, 2021 г.

Введение

Коши Огюстен Луи (1789—1857) — знаменитый французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши — разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математиком О. Коши (1789—1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781 —1848), но его работы стали известны много позднее.

Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а, если

для любого числа   можно подобрать такое число >0, что

для всех х, удовлетворяющих неравенству

 0< | x—а |<   ».

Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке x₀ если 

limf(x)=f(x₀)

Формулировка определения предела последовательности такова: «Число А является пределом последовательности если для любого   существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство  ».

О. Л. Коши внес также большой вклад в развитие математического анализа. О. Л. Коши хорошо известен каждому человеку, изучавшему математический анализ своими результатами в области математического анализа.

Рассмотрение неравенство Коши

Неравенствоa²+b²≥2ab , является простым следствием тождества

имеющего место не только для отрицательных чиселa,b, но и для любых действительных чиселa,b.

Рассмотрим произведение

Произведя умножение , получим многочлен

совпадающий с тем, который получается после раскрытия скобок в выражении

О

(1)

Т

(2)

для любых действительных чисел a,b,c,d. Это весьма симпатичное неравенство имеет большое значение для многих вопросов анализа и математической физики. Оно называется неравенством Коши.

Из соотношения (1) вытекает, что равенство (2) достигает тогда и только тогда, когда

bc - ad=0

Рассмотрим неравенство Коши в пространстве R_n.

Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства R_n

n

(3)

называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается R_n.

Ясно, что p(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x = y, т. е. когда ε_i =ȵ

п

(4)

Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны, и потому называется неравенством треугольника. Также данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника

П

(5)

справедливо для любых вещественных чисел a_i и b_i.

Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax²+2Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант .

Составим вспомогательную функцию φ от вещественной переменной x, сводящуюся к квадратному трехчлену:

где

Из определения φ видно, что φ(x)≥0 при всех.

Тогда, на основании предыдущего замечания,

это и есть иначе записанное неравенство Коши.

Д

(6)

(a_i и b_i – любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши. Для доказательства неравенства (6) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (5), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение 

В результате получим

Это неравенство можно переписать и так:

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (6).Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (4).

Пусть

Полагая в неравенстве (6)

мы получим неравенство (4).

Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пусть множество 3 состоит из всех бесконечных числовых

последовательностей  удовлетворяющих условию

Таким образом, l – метрическое пространство

Обозначим через l² множества всех таких последовательностей x={ε_i}

вещественных чисел, для которых

и положим

П

(7)

к

(8)

Из неравенства (7), в частности, следует, что если x={ε_i}ϵl²

иy={ȵ_i}ϵl² , то и последовательность {ε_i - ȵ_i}ϵl², т.е. .

Теперь проверка выполнения в l² аксиом метрического

пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для R_n.

Пространство l² иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.

Применение неравенство Коши при решении задач

При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.

Пусть x₁ , x ₂ , …, x_n – неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число –

Средним геометрическим чисел x1 , x 2 , …, xn называется число –

Т

(1)

Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства

Действительно,

о

(2)

Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x1 =x2 .

Пусть x1 , x 2 , …, xn – положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число –

Теорема 2. Если x1 , x₁ , …, x_n – положительные числа, то имеют место неравенства

A_n ≥G_n ≥ H_n .

Действительно, применяя к числам   неравенство Коши, получаем

(3)

 откуда G_n ≥ H_n .

Пустьx₁ , x₂, …, x_n – произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число –

Теорема 3. Если x₁ , x₂ , …, x_n – положительные числа, то имеют место неравенства

K_n ≥ A_n ≥ G_n ≥ H_n ,или

Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Для двух чисел неравенство (4) можно записать как

которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,

аналогично доказывается и для n чисел, откуда K_n≥ A_n .

Решение задач с помощью неравенства Коши

Задача № 1.Доказать, что верно неравенство

 ,

где n —любое целое число, большее единицы.

Решение:

Запишем неравенство Коши для чисел 1, 2, 3,…, n :

(знак в неравенстве строгий, так как все числа различны). Упрощая левую часть по формуле

суммы первых n членов арифметической прогрессии {a_n} с первым членом a₁=1,a_n=n  , и заменяя справа подкоренное выражение на n!, получим

откуда, возводя обе части неравенства в степень n , получаем искомое неравенство доказанным.

Задача№2

Найти наименьшее значение функции.

Решение:

При   воспользуемся для решения задачи следствием неравенства Коши:   , положив

причём наименьшее значение функции, равное   , достигается тогда и только тогда, когда  , т.

Применение неравенства Коши при доказательстве неравенств

Задача № 1. Доказать неравенство

при b ≥ 0.

Решение. Умножим обе части неравенства на 4:

Применим неравенство Коши к числам (a²)³, (b³)³, 4³:

Задача № 2. Доказать неравенство:

при a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0.

Решение. Применим неравенство Коши для каждых двух чисел:

Обе части неравенств неотрицательны, поэтому сложим их получено:

Задача №3. Доказать неравенство

,

приa ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0.

Решение. Применим неравенство Коши для каждой суммы:

Обе части неравенств неотрицательны, поэтому перемножим их левые и правые части:

.

Задача № 4. Доказать неравенство

,

при n ≥ 2.

Решение.n!=1*2*3*…*(n-1)*n

Применим неравенство Коши к числам 1, 2, 3,…, (n-1), n:

В числителе правой части сумма n членов арифметической прогрессии. Она равна

Заключение

Математическое обоснование экономических процессов в наше время приобретает все большую актуальность. Рассмотрение неравенств, множеств, комбинаций точек плоскости и n-мерного пространства помогают более явно иллюстрировать экономические процессы и описывать изменения, происходящие в экономике в современном мире. В математике существуют нестандартные методы решения, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Список литературы

1. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. - М. 1965.

2. Коровкин. П.П. Неравенства. - М. 1966.

3. Кречмар. В.А. Задачник по алгебре. - М. 1972.

4. Высшая математика. Основы математического анализа: учебник для вузов, Геворкян П.С.

5. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II: учебник для вузов, Ильин В.А.,Позняк Э.Г.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/493603-neravenstvo-koshi