Учебно- методическая авторская разработка нестандартного урока по алгебре для 9 классов «УРОК одной задачи»

ТЕМИРБУЛАТОВА З.Х.-Б. Учебно- методическая авторская разработка нестандартного урока по алгебре для 9 классов

«УРОК ОДНОЙ ЗАДАЧИ»

Тема урока: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными и способы их решений.

Тип урока: Обобщительно-повторительный, бинарный урок-лекция.

Эпиграф: Полезнее решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач одним способом.

г. Кисловодск

2014

Ход урока:

Цели урока-лекции:

Образовательная цель.

Научить учащихся различным способам решения систем двух уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Развивающая цель.

Продолжить работу по развитию у учащихся интереса к предмету, творческого мышления, вычислительных и исследовательских навыков и способностей.

Воспитательная цель.

Формировать у учащихся высокие нравственные качества: упорство и целеустремленность в труде, настойчивость в поисках новых рациональных и изящных решений любой задачи.

Слово учителя, обращенное к учащимся:

На прошлом уроке вы получили задание на дом:

Условия задачи, по которым должны были вы составить систему уравнений.

Эту систему необходимо было решить известными вам способами.

Вы получили вопросы-подсказки для повторения и использования их при решении полученной вами системы уравнений.

Иметь на своем столе: циркуль, линейку или угольник, ластик, простой карандаш, лезвие или точилку, и рабочую тетрадь в клетку.

Учитель.

Перейдем непосредственно к сути вопроса. Бегло повторим, заданные вам на дом вопросы:

Способы решений двух уравнений с двумя неизвестными первой степени.

Теорему Виета.

Теорему Пифагора.

Формулы сокращенного умножения.

Графики кривых II-го порядка и их построение.

Понятие симметричности уравнений.

Свойства равносильности уравнений.

Формулы корней квадратного и биквадратного уравнений.

Формулы площади прямоугольника и его периметра.

Приглашается к доске первый ученик, который решил задачу (систему), по крайней мере, одним способом.

Ученик, согласно данных и условий задачи, строит на доске прямоугольник, изображающий участок ABCD и по памяти сообщает: «Прямоугольный участок земли ABCD огорожен забором и имеет площадь 36 кв.ед. Диагональ участка ед. Необходимо найти периметр забора». (Рис.1).

B C

y

S=36

А x D

Рис.1

Ученик.

Наносим данные на чертеж: и .

Длины сторон прямоугольника обозначаем через x и y.Анализируем. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно узнать длины сторон прямоугольника, т.е. x и y. Тогда ;

Значит, x- ?, y- ?- это главные неизвестные.

Приступим к составлению и решению системы. Применив теорему Пифагора и формулу площади прямоугольника, составим систему двух уравнений с этими неизвестными x и y

и решим ее.

Область допустимых значений неизвестных в системе будетx>0;y>0

К решению системы приглашается новый ученик. Он сообщает, что будет решать систему способом подстановки.

Способ 1.

. Выразив x через y из второго уравнения, получим . Подставим это значение x в первое уравнение. Производим соответствующие преобразования. Получим:;;- биквадратное уравнение. Значения y<0, т.е. исключаем сразу .

,;,;.

Наши уравнения симметричны. Поэтому ответ будет один.

Ответ: ед. при ,.

Способ 2.

Приглашаетсяследующий ученик, пожелавший решить систему другим способом. Он сообщает, что будет решать систему, применив формулу сокращенного умножения и свойства равносильности уравнений.

..

Вводим вспомогательную переменную. Пусть ,. Тогда имеем:и по теореме Виета составляем уравнение. Отсюда, ;. Тогда .

Ответ: ед.

Способ 3.

Следующий ученик.

Применим другую формулу сокращенного умножения и свойства равносильности уравнений.

; ; . Перепишем систему в другом виде: .

Пусть , а и ,. По аналогии с предыдущим составим уравнение: ;;

,.

,.

.

Ответ: ед.

Способ 4.

Возможен 4-ый желающий решить задачу, применив одновременно две формулы сокращенного умножения.

Ученик.

; ; ; ; .

Отсюда .

Ответ: ед.

Способ 5.

Далее желающих может не быть, потому сам учитель активизирует класс, выдает очередной способ, применив свойство равносильности уравнений.

Учитель.

Возводим в квадрат второе уравнение и введем вспомогательную переменную. .

Пусть ;. Тогда получим .

Отсюда . Применим теорему Виета.

;,.

Тогда ,;,. .

Ответ: ед.

Способ 6.

Учитель.

Вновь применим свойство равносильности уравнений. Делим соответствующие части уравнений друг на друга, получим равносильное данным уравнениям уравнение.

; . Введем вспомогательную переменную. Пусть . Тогда и получим ; ;.

Отсюда ;

,.

Значит, ;. Следовательно, , и .

Ответ: ед.

Способ 7.

Учитель.

Следующий способ: обе части 2-го уравнения возводим в квадрат и из каждого уравнения выразим через y. Полученные выражения приравниваем. В итоге имеем биквадратное уравнение.

; ;

; .

, , ;

, , .

.

Ответ: ед.

Способ 8.

Метод подбора.

Учитель.

Мы можем легко сообразить и определить, что , или наоборот, но нужно делать это осознанно и обоснованно.

. Мы имеем, что или . Проверяя эти пары чисел, находим, что (18, 2), (12, 3) не удовлетворяют требованиям задачи, т.к. сумма квадратов этих чисел больше 97;

Проверяем (6;6). Эта пара чисел x и y тоже не удовлетворяет требованиям задачи, т.к. сумма квадратов этих чиселменьше 97.

И только (9;4) удовлетворяют систему, т.к. .Следовательно,, или наоборот , и тогда периметр забора будет .

Ответ: ед.

Способ 9.

Начертим графики, соответствующие уравнениям и .

Учитель предлагает учащимся ответить на вопрос:

Что значит графически и ?

Ученик.

Известно, что - графически представляет собой окружность; а второе уравнение графически представляет собой гиперболу.Также, мы знаем, что:

- это уравнение окружности, поэтому сумма квадратов координат любой точки окружности равна квадрату радиуса этой окружности.

- это уравнение гиперболы, поэтому произведение координат любой точки гиперболы есть величина постоянная.

Координаты точек пересечения окружности и гиперболы и будут значения x и y.(Рис.2).

Составим для изображенной дуги гиперболы таблицу:

y

9

4

9

x

Рис.2

Мы видим из таблицы, что на окружности не могут быть точки (18;2), (12;3), (2;18), (3;12), т.к. .

Не может быть на окружности и точка (6;6), т.к. она окажется внутри окружности.

Точки пересеченияи , имеющие координаты, и будут искомыми точками. Таким образом,, или наоборот, и .

Ответ: ед.

Учитель.

Мы исчерпали все возможности решить эту систему еще каким-либо другим способом.

Решили систему девятью способами. Все они правомерны и прекрасны.

Теперь подведем итоговое закрепление, для чего ответим на следующие вопросы.

Итоговое закрепление.

Учитель.

Какие темы программы вы использовали при своих решениях?

Какие способы при решении системы уравнений второй степени с двумя неизвестными вы использовали впервые?

Сколько формул сокращенного умножения вы использовали?

Сколько всего формул вы использовали?

Какой способ из множества способов, использованных вами, избрали бы вы на ЕГЭ, если бы получили подобное задание?

Разумеется, тот способ который позволит вам прежде всего выполнить задание быстро и правильно, причем, без сложных вычислений.

Варианты ответов:8-ой способ, (метод подбора), или способ 2-ой, илиспособ 4-ый.

4-ый. . Отсюда устно: ; . И тогда .

Почему выбрали эти способы?

Они самые рациональные в решениях, вычислениях и пояснениях, они также изящные.

Каковы выводы учащихся школы?

Все способы решений многому учат: думать, решать, преобразовывать выражения, рационально действовать, напрягать мысли, тренировать и развивать память и математическую речь.

Эпиграф к пособию вполне соответствует содержанию и целям данного урока.

Учитель.

А теперь запишем домашнее задание:

Вспомнить формулы сокращенного умножения на памятьсловесно:

;

;

Решить системы уравнений любыми способами и выделить наиболее рациональные решения:

1) 2) 3)

Повторить свойства равносильности уравнений и неравенств, и уметь формулировать их словесно.

Использованная литература: А.Г. Мордкович,

Ш.А. Алимов.

Оборудование урока: циркуль, линейка, угольник, учебник.

Примечание

Все учащиеся, сумевшие решить эти системы правильно, одним способом будут за домашнюю работу оценены высоким баллом.

Те же учащиеся, которые решат системы двумя и более способами, будут оценены наивысшим баллом. При этом нужно быть готовым к полным пояснениям своих решений.

З.Х.-Б.ТЕМИРБУЛАТОВА______________

2014

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/50739-uchebnometodicheskaja-avtorskaja-razrabotka-