Из истории геометрии

В течение многих веков постепенно накапливали древние египтяне различные научные знания, в том числе знания по геометрии. Они сумели довольно точно определять площади фигур, объемы некоторых тел, решать некоторые другие геометрические задачи.

Но геометрии, как науки, у них не было. У них было много различных правил - рецептов, не соединенных между собой общей идеей, не приведенных в единую стройную систему. Этими рецептами владели чаще всего жрецы храмов, которые держали их в секрете.

Цари древнего Египта постоянно вели долгие изнурительные войны, которые ослабляли экономическую мощь страны. Были периоды, когда Египет завоевывался разными другими народами – это были периоды жестокой эксплуатации страны – наука и искусство пришли в упадок.

Но к северу от Египта, уже зародилось новое государство – Греция. Греческие купцы посещали Египет и, возвращаясь, много рассказывали об этой чудесной стране. Вместе с купцами Египет стали посещать ученые. И достижения египетской науки постепенно стали известны древним грекам.

Но Греки не просто усвоили достижения египтян. Они исправили их ошибки и развивали геометрию дальше. Именно в древней Греции около 2500 лет назад геометрия стала математической наукой.

В VII веке до н.э. центром математического творчества становится так называемая пифагорейская школа в южной Италии. Здесь были открыты несоизмеримые отрезки, создано учение о подобии, найдены способы построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, доказана теорема Пифагора и т.д.

Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евкли­довой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать.

Большой вклад в дальнейшее исследование различных вопросов геометрии внесли Архимед (ок. 287 -212 гг. до н. э.), Апполоний (III в. до н. э.) и другие древнегреческие учёные.

Качественно новый этап в развитии геометрии начался лишь много веков спустя – в XVII в. н. э. – и были связаны с накопленными к этому времени достижениями алгебры. Французский математик и философ Р. Декарт (1596 – 1650) предложил новый подход к решению геометрических задач: ввёл метод координат, связав геометрию и алгебру, что позволило решать многие геометрические задачи алгебраическими методами.

В течение XVII века геометрические знания на Руси распространялись медленно.

В XVIII веке геометрия получила большое распространение. В России была открыты Академия наук, в Москве был открыт университет, во многих городах открывались школы и гимназии, появились учебники геометрии, как отечественные, так и переводные.

Открытие новой геометрии оказало огромное влияние на развитие науки. Геометрия Лобачевского широко используется в естествознании. Неизмеримо влияние новой геометрии на развитие самой геометрии. Наиболее ярко оно выразилось в дальнейшем углублении наших представлений о пространстве: до Лобачевского казалось, что геометрией окружающего нас мира может быть только евклидова геометрия.

Бурное развитие математики в XIX в. привело к ряду замечательных открытий. Так, выдающимся немецким математиком Б. Риманом (1826 – 1866) была создана новая геометрия, обобщающая и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского.

В настоящее время геометрия широко используется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике, химии, биологии и т. д. Неоценимо её значение в прикладных науках: в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии широко применяются практически во всех разделах науке и техники и, конечно же, в самой математике.

Геометрия — важный раздел математики. Ее возникновение уходит в глубь тысячелетий и связано прежде всего с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур.

Еще 5 тыс. лет назад древние египтяне знали, что если сделать на веревке 12 узелков на равных расстояниях и натянуть ее в форме треугольника, то получится прямой угол. И это было очень важно для правильной разметки плодородных земель в долине Нила. В египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах того времени мы находим другие геометрические факты, найденные опытным путем при измерении земельных участков, постройке зданий и т.д.

А в 5-м в. до н.э. произошел решительный поворот в развитии геометрии. И связан он с именем Фалеса, уроженца города Милет. Этот купец в свободное время занимался математикой. И сделал величайшее открытие: обнаружил, что многие геометрические закономерности можно получать не опытным путем, а с помощью рассуждения (доказательства). Это формулируют так: накрест лежащие углы, получающиеся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равны. Фалес доказал и ряд других теорем. Благодаря его открытию геометрия к 3му в. до н. э. становится наукой, в которой имеется небольшое число аксиом (первоначальных предположений), а все остальные факты (теоремы) устанавливаются с помощью доказательств. За Фалесом большой вклад в развитие геометрии внесли Евдокс, Евклид, Архимед.

Если намотать вплотную (в виде спирали) веревку сначала на полусферу, а затем свернуть ее внутри круга такого же радиуса (рисунок), то окажется, что для полусферы нужна веревка вдвое длиннее. Это показывает, что площадь полусферы в два раза больше круга. Конечно, это не доказательство, а лишь опытное подтверждение данного факта. Но греческие ученые нашли и математическое доказательство.

Древнегреческий ученый Эратосфен с помощью геометрии измерил длину окружности земного шара. Он обнаружил, что, когда Солнце стоит в Сиене (Африка) над головой, в Александрии, расположенной в 800 км, оно отклоняется от вертикали на 7 . Эратосфен заключил, что из центра Земли Солнце видно под углом 7 и, следовательно, окружность земного шара равна 360:7 х 800=41 140 км.

Свыше двух тысячелетий Евклид, давший особенно удачное и стройное изложение геометрии, был непререкаемым законодателем в этой области математики. Немецкий философ И. Кант считал геометрию Евклида единственно возможной. Было, однако, место в евклидовом изложении геометрии, которое не удовлетворяло математиков. Это единственность параллельной к данной прямой, которую можно провести в плоскости через данную точку А. Евклид считал это положение аксиомой, некоторые математики пытались доказать этот факт как теорему. Однако проходили века, а доказательства найти не удалось.

Заменив аксиому параллельности противоположным утверждением (при сохранении остальных аксиом Евклида), мы придем к новой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но тем не менее не содержит никаких логических противоречий. Все трое ученых не только были убеждены в справедливости этой идеи, но и доказали десятки теорем неевклидовой геометрии. Особенно существенно развил ее Лобачевский.

В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180 . Два перпендикуляра к одной прямой все дальше отходят друг от друга. И еще много фактов есть в этой геометрии, не похожих на те, о которых говорится в школьных учебниках. И все же никаких противоречий в этой геометрии нет. А вскоре математики открыли много других геометрий. И все они нужны. А евклидова геометрия, которую изучают в школе, — самая простая из всех и в то же время самая нужная.

Геометрические знания широко применяются в жизни — в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными вам теоремами; при изготовлении технических чертежей — выполнять геометрические построения. И если ты, юный читатель, хорошо изучил курс геометрии, то не останешься безоружным, когда при решении практических задач потребуется применить геометрические теоремы или формулы.

1. Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).

2. В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.

3. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.

4. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.

5. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. (Развёрнутый угол равен 180°).

6. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

7. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.

8. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

9. Угол называется прямым, если он равен 90°.

10. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).

11. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).

12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.

13. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

15. Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/539042-iz-istorii-geometrii