Отбор корней при решении тригонометрических уравнений из егэ по математике

ОТБОР КОРНЕЙ ПРИ РЕШЕНИИТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИЗ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Т.А.Гилаш,

учитель математики ГОУ «РУТЛ-К»

Тригонометрия традиционно относится к наиболее трудному для школьников материалу. Главной причиной этой трудности является большое количество формул и различных фактов (например, значений тригонометрических функций различных углов), которые школьники должны не только помнить наизусть, но и уметь гибко и широко варьировать их применимость. Но стоит ли учить все это наизусть?

Полезно все первые формулы иллюстрировать картинкой на единичной окружности, показывая школьникам, что в принципе не нужно стараться запомнить все эти факты наизусть, достаточно понимать, где искать их на этом рисунке. Тригонометрические уравнения – это уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком тригонометрической функции. При помощи соответствующих преобразований всякое тригонометрическое уравнение сводится к одному или нескольким простейшим уравнениям.

Задания С1 в определенной степени занимают одну из важнейших

позиций в структуре контрольных измерительных материалов. Успешность выполнения задания С1 является весьма точным характеристическим свойством, различающим, грубо говоря, подготовки учащихся. Кроме того, это именно то задание из Части 2 контрольных измерительных материалов, к решению которого приступает наибольшее число участников экзамена. Поэтому понятно то внимание, которое уделяется и которое следует уделять при подготовке выпускников общеобразовательных школ к решению задач уровня сложности задания С1.

Задание С1 в ЕГЭ состоит из двух частей:

а)Решите уравнение;

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

Критерии оценивания:

Мы решили, в очередной раз, обратить внимание на тему «Применение единичной окружности при решении тригонометрических уравнений» в связи с тем, что в примерных программах основного общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического материала заметно сократился. Поэтому главным основанием для разработки данной темы для учащихся – подготовка не только одаренных, но и имеющих слабую мотивацию в обучении детей к поступлению и обучению в ВУЗе.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2π или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций.

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

Пример 1. а) Решить уравнениеsinx=cos2x;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезоку [2π;].

sinx=cos2x;

sinx−cos2x=0;(применили формулу двойного угла: cos2x = cos²x−sin²x)

sinx−(cos²x−sin²x)=0;

sinx−(1−sin²x−sin²x)=0;

sinx−(1−2sin²x)=0;

2sin²x+sinx−1=0.

Введем новую переменную:sinx=t, -1≤t≤1, получим

2t²+t-1=0

D=b²-4ac,т.е. D=9

t₁= -1, t₂=.

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок [2π;].

1способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

x= - +2π⋅2 = ;

x=+2π = ;

x=+2π =  

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: 2π ≤ x ≤ Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n,и  нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

Ответ: а)x=;  x=, x=;

б) ,;.

Пример2. а) Решить уравнение √2cos2x=sin(π/2+x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–7π/2; –2π].

Решим пункт а)

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(π/2+x) = cosx; √2cos2x = cosx;

√2cos2x – cosx = 0;

cosx(√2cosx – 1) = 0, т.е.

Решим пункт б).

I . Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [–7π/2; –2π], находим целые значения для n.
–7π/2 ≤ π/2 + πn ≤ –2π;

Сразу делим все на π или умножаем на 1/ π
–7/2 ≤ 1/2 + n ≤ –2;
–7/2 – 1/2 ≤ n ≤ –2 – 1/2 ;
–4 ≤ n ≤ –5/2.
Целые n в этом промежутке это: n=–4 n= –3.

Значит, корни, принадлежащие этому промежутку, будут следующие:

х= π/2 + π(–4) = –7π/2; х=π/2 + π(–3) = –5π/2.
Аналогично решаем еще два неравенства:
–7π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ –2π;
–15/8 ≤ k ≤ –9/8.
Получили, что целых k в этом промежутке нет.
–7π/2 ≤ –π/4 + 2πm ≤ –2π;
–13/8 ≤ m ≤ –7/8.
Получили одно целое n в этом промежутке, m =–1. Значит, отобранный корень на этом промежутке имеет вид: х= –π/4 + 2π·(–1) = –9π/4.
Ответ: –7π/2, –5π/2, –9π/4.

II. Отбор корней с помощью тригонометрической окружности.

Чтобы использовать этот способ надо понимать, как работать с окружностью. Так как функции синус, косинус, тангенс и котангенс периодичны, то окружность, можно обходить бесконечное число раз.

«Обойдем» окружность один раз против часовой стрелки (положительное направление, т.е. значения будут положительные)

«Обойдем» окружность два раза против часовой стрелки (положительное направление т.е. значения будут положительные)

«Обойдем» 1 раз по часовой стрелки (отрицательное направление, т.е. значения будут отрицательные)

Вернемся к вопросу об отборе корней на промежутке [–7π/2; –2π].
Чтобы попасть к числам –7π/2 и –2π надо «обойти» окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = π/2 + πn.

Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где–то в этом промежутке?

Предположим, n= –2, получаем х=π/2 – 2π = –3π/2, очевидно, это не входит в наш промежуток.

Значит, берем меньше n=–3, то х= π/2 – 3π = –5π/2, это подходит. Попробуем еще n=–4, то х=π/2 – 4π = –7π/2, также подходит.
Рассуждая аналогично для х=π/4 + 2πk,k ∈Z и х=–π/4 + 2πm, m ∈Zнаходим еще один корень x=–9π/4.

Ответ:а)x = π/2 + πn, n ∈ Z;x = π/4 + 2πk, k ∈ Z; x = -π/4 + 2πm, m ∈ Z

б)–7π/2, –5π/2, –9π/4.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для понимания, но нужно уметь решать простейшие неравенства. Если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью, то отбор корней по второму методу будет гораздо быстрее. Плюс экономия времени на экзамене.При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности.

Часто учителя при подготовке к ЕГЭ, пытаются решить как можно больше вариантов заданий предыдущих лет. Опыт показывает, что такой путь неперспективен. Во-первых, варианты не повторяются. Во-вторых, практика показывает, что в этом случае уже через неделю школьник не может вспомнить, как он решал это задание. Причем в этом случае школьник пытается именно вспомнить соответствующее решение, а не применить общийподход к заданиям такого типа.Естественно, запомнить все решения всех заданий невозможно. Поэтому намного разумнее учить школьников общим универсальным приемам и подходам к решению заданий соответствующих типов. Самым ценным моментом технологии подготовки к ЕГЭ является обучение школьника приемам мысленного поиска способа решения, а для этого следует разворачивать перед ним всю картину поиска в трудных заданиях. В таких случаях мне очень нравится индийское изречение: «Знай, куда идешь. Знай, зачем идешь. Если не знаешь, остановись и подумай. Иногда полезнее вернуться».

Литература

1.А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций - М. Просвещение, 2017.

2.С.В Кравцев. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных – М: Издательство: «Экзамен», 2005.

3.А. Г.Корянов, А.А. Прокофьев - Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. - М.: Математика ЕГЭ, 2012.

4.Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1, Ч.2: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

5.Образовательные ресурсы сети Интернет http://ege.edu.ru

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/544225-otbor-kornej-pri-reshenii-trigonometricheskih