Многогранники: виды, элементы и свойства на уроке геометрии

Цели урока:

образовательная: познакомить учащихся с понятиями «призма», «пирамида», их элементами,

видами, научить работать с моделями и схемами;

развивающая: развивать мыслительную деятельность и творческую активность учащихся,

способствовать самостоятельности, умению анализировать, обобщать, ясно и чётко

формулировать свои мысли;

воспитательная: воспитать культуру общения, чувство коллективизма, ответственности, стремление к

самосовершенствованию, удовлетворению познавательных способностей.

Тип урока: объяснение нового материала.

Формы организации учебной деятельности: дифференцированно – групповая, коллективная.

Оборудование: экран, кодоскоп, наборы карточек, таблицы, модели многогранников, оценочные

листы.

Ход урока

Всё на свете боится времени, а

время боится пирамид.

I. Побуждение.

- Почти пять тысячелетий назад египетский фараон и его гениальный зодчий решили воздвигнуть сооружение, какого ещё не видывал свет – колоссальную гору камня, построенную по строгому математическому расчёту, такую прочную, чтобы простояла до скончания веков.

Как вы думаете, о чём пойдёт речь сегодня на уроке? Конечно, о пирамидах и о других многогранниках.

Итак, тема урока «Многогранники».

II. Осмысление.

Учащиеся распределены на три (домашние) группы. После объявления темы урока ученикам предлагается рассчитаться на 1, 2, 3, для формирования новых (рабочих) групп.

а) Изучение нового материала - Жигсо

После пересаживания, согласно номерам, учащимся объявляется их основная задача:

-цель первого этапа урока: получить как можно больше информации по своему вопросу, так как каждая группа знакомится с отдельными разновидностями многогранников, проводя мини-исследование.

1 группа – «Призма», 2 группа – «Параллелепипед», 3 группа – «Пирамида».

В качестве ознакомительной группам предлагается следующая информация:

1 группа – «Призма».

Рассмотрим произвольный плоский многоугольник. Например, треугольник. Через его вершины проведём параллельные прямые, не лежащие в плоскости треугольника, а затем на одной из прямых выберем произвольную точку, через которую проведём плоскость, параллельную плоскости треугольника. Она пересечёт наши прямые в точках, которые мы соединим последовательными отрезками. В результате получим тело, которое называется призмой.

Определение: Призма – это многогранник, состоящий из двух многоугольников, лежащих в разных плоскостях, совмещаемых параллельным переносом и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки многоугольников.

Аналогичным образом можно построить любую призму.

Р ассмотрим произвольную пятиугольную призму. Многоугольники, которые её образуют (АКМСВ и А₁К₁М₁С₁В₁), называются основаниями призмы. Отрезки, соединяющие соответствующие вершины многоугольников – боковыми рёбрами. У призмы боковые рёбра равны между собой.

Также равны основания.

К Высотой призмы называется расстояние между плоскостями

А оснований.

М

На рисунке высотой могут служить боковые рёбра, например, ребро

В С АА₁.

Поверхность призмы составляют

плоские многоугольники (грани).

К₁ Кроме оснований различают боковые грани, которые являются

параллелограммами.

А₁

М₁ Обозначают призму, последовательно перечисляя вершины одного, а

В₁ С₁ затем другого основания.

В нашем случае это призма АКМСВА₁К₁М₁С₁В₁.

В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, призмы делятся на треугольные, четырёхугольные и т. д.

Также призмы можно разделить на две группы: прямые и наклонные.

У прямой призмы АКМСВА₁К₁М₁С₁В₁ боковые составляют с плоскостью основания угол в 90°, именно поэтому их можно назвать высотами призмы. Все боковые грани прямой призмы – прямоугольники, вне зависимости от того какой многоугольник лежит в основании. Поверхность призмы состоит из площадей оснований и боковой поверхности. Чтобы получить боковую поверхность призмы, необходимо определить площадь каждой боковой грани и полученные результаты сложить. Можно доказать, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

S_б=P·h, где P - периметр основания, h – высота, S_б – боковая поверхность призмы.

Боковые рёбра наклонной призмы проведены к основанию под любым углом, кроме 90°.

В основании призмы может лежать правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат и т.д.). Такая призма называется правильной.

2 группа – «Параллелепипед».

Если в основании произвольной призмы лежит параллелограмм, то она называется параллелепипедом. Все параллелепипеды являются призмами, поэтому для них выполняются все свойства призм.

Для наклонного параллелепипеда все грани, включая основания – параллелограммы. Для прямого – боковые грани – прямоугольники,

а основание может быть параллелограммом.

Прямой Наклонный

7

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то он называется прямоугольным параллелепипедом. Все его грани - прямоугольники. Если грани параллелепипеда не имеют общих вершин, то они называются противолежащими. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, называются его линейными размерами (длина, ширина, высота).

Если у прямоугольного параллелепипеда все измерения равны, то он называется кубом или гексаэдром. Это правильный многогранник.

Если a – длина, b – ширина, c – высота прямоугольного параллелепипеда, то для прямоугольного параллелепипеда:

S_б = 2ac + 2bc - боковая поверхность,

S_пол.= 2ac + 2bc + 2аb - полная поверхность,

куба:

S_б = 4а² - боковая поверхность,

S_пол.= 6а² - полная поверхность.

3 группа – «Пирамида».

Пирамида – это многогранник, который состоит из многоугольника (основание), точки, не лежащей в плоскости многоугольника (вершина) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Называют пирамиду следующим образом:

S вершину, а затем основание – SABCD.

S – вершина;

SA, SB, SC, SD – боковые рёбра;

SO – высота;

ABCD – основание пирамиды.

Если в основании лежит четырёхугольник, то пирамида называется

В С четырёхугольной.

Боковые грани – это треугольники SAB,SAD,SBC,

О Треугольная пирамида называется тетраэдром.

А D

Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник. У такой пирамиды все боковые рёбра равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Основание высоты в этом случае совпадает с центром описанной (вписанной) окружности.

S На рисунке в правильном тетраэдре SABC проведена высота боковой

грани – SК (апофема), которая по свойству равнобедренного

треугольника делит сторону основания пополам.

Чтобы правильно построить четырёхугольную пирамиду, через точку

пересечения диагоналей основания проводят перпендикуляр к плоскости

основания(высоту пирамиды). На нём выбирают произвольную точку

(вершину пирамиды), которую соединяют с вершинами основания.

А В

К

С

Учащиеся знакомятся с текстом, обсуждают полученную информацию в домашних группах, при необходимости получают консультацию учителя, который следит за процессом ознакомления с новым материалом. После детальной проработки информации ученики возвращаются в свои домашние группы и делятся информацией со своими товарищами.

б) Заполнение в рабочих тетрадях таблицы, состоящей из двух граф

«Изучил сам», «Узнал от товарищей».

В процессе заполнения таблицы ученикам предлагается письменно воспроизвести полученную информацию, составляя краткий конспект.

в) Опрос теории по готовым чертежам.

Пересказ текста осуществляется по предложенным чертежам, взятым из текста, предложенного учащимся. Причём каждый учащийся может внести коррективы, дополнить рассказ выступающего.

III. Рефлексия.

а) На этапе рефлексии группам предлагается заполнить таблицу с

помощью моделей многогранников (практическая работа):

Проверка правильности заполнения таблицы осуществляется с помощью кодоскопа.

б) Решение задач.

Какое минимальное количество граней может сходиться в вершине многогранника?

Какими будут высоты двух призм, основания которых расположены в одних и тех же параллельных плоскостях?

Какая из вершин параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ лежит в одной грани с вершиной В?

Ребро куба равно 8 см. Найти полную поверхность куба.

в) Домашнее задание:

обязательная часть – п. 27 – 28, № 362, 363, 364, с. 100

творческая работа – подготовить на выбор: кроссворд,

сообщение на тему «Применение свойств многогранников

в архитектуре», эскиз здания с использованием многогранников.

г) Заполнение оценочных таблиц:

д) Подведение итогов урока проводится в виде сообщения «Многогранники в нашей жизни», подготовленного одним из учеников заранее:

«В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объёма различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, храмы и другие сооружения.

Термин «призма» греческого происхождения и буквально означает «отпиленное» (тело).

Термин «параллелепипедное тело» встречается впервые у Евклида и означает дословно «параллело-плоскостное тело». Что касается термина «пирамида», то у него египетское происхождение.

Египетские пирамиды - древнейшие из семи чудес света, незыблемо высятся на фоне жёлто-коричневых песков Ливийской пустыни. О пирамидах можно рассказывать бесконечно, но интересен тот факт, что помимо египетских пирамид существует целая сеть пирамид в Мексике.

Многогранники привлекают внимание не только с исторической точки зрения. Так Платон полагал, что материя состоит из четырёх основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. По его мнению, две из них (огонь и вода) олицетворяются соответственно с тетраэдром (правильной пирамидой и кубом). Придумать эти фигуры было не сложно, тем более, что эти формы имеют природные кристаллы. Например, монокристалл поваренной соли похож на куб.

С точки зрения архитектуры, многогранники также представляют огромный интерес. Не буду останавливаться на том, что все помещения в зданиях практически имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Но…

в последнее время дизайнеры и архитекторы обратили своё внимание на пирамиды. Это очень модно и придаёт зданию некоторый шик.

Яркими представителями в этой области являются:

торговый центр в одном из районов Лондона. Одна из его башен имеет форму пирамиды и придаёт всему зданию величавый вид;

здание книжной ярмарки во Франкурте (Германия) – крыша здания украшена стеклянной пирамидой;

вход в Лувр (Париж) – это не обычная дверь, а пирамида, сделанная из стекла, имеющая высоту 21, 65 м.

Цели урока:

образовательная: систематизировать, расширить, углубить знания, умения учащихся по решению

тригонометрических неравенств;

развивающая: способствовать развитию внимания, умению анализировать, сравнивать, делать

выводы, переносить знания в новую ситуацию;

воспитательная: побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной

деятельности, переносить знания в новую ситуацию.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков.

Формы организации учебной деятельности: дифференцированно – групповая, индивидуальная.

Оборудование: экран, кодоскоп, наборы карточек, таблицы, индивидуальные оценочные листы

оценочные листы.

Ход урока

Три пути ведут к знанию: путь размышления –

это путь самый благородный, путь подражания-

это путь самый лёгкий и путь опыта – это путь

самый горький.

Работа учащихся состоит из трёх этапов (побуждения, осмысления, рефлексии). Результаты каждого этапа урока учащиеся заносят в индивидуальные оценочные листы. Оценка за урок зависит от суммы набранных баллов по всем заданиям.

Критерии оценки: «5» - 40–35 баллов; «4» - 34-24 балла, «3» - 23-12 баллов, «2» - 12 баллов и меньше.

Этап 1. Побуждение (3 минуты).

Цель этапа: повторить ранее пройденный материал в ходе выполнения заданий.

Задание 1. Составить верные равенства. (Выполняется в парах. Проверка с комментарием через кодоскоп).

(оценка 7 баллов)

Проверка на кодоскопе:

Задание 2. Завершить утверждение:

1) Арксинусом числа а  -1;1 называется такой угол  - ; ,

что ______________________________________________________.

2) По определению косинус х – это _____________ точки единичной

окружности.

3) По определению синус х – это _______________ точки единичной

окружности.

(оценка 3 балла)

Задание 3. С помощью стрелок восстановите порядок выполнения алгоритма

при решении простейшего тригонометрического неравенства.

(оценка 6 баллов)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Проверяем с помощью кодоскопа.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Задание 4. Отметить знаком «+» верные рассуждения:

а) cosx > - неравенство строгое, проводим прямую х = ,

рассматриваем дугу, расположенную выше этой прямой.

б) sinx - неравенство строгое, проводим прямую y = ,

рассматриваем дугу, расположенную ниже этой прямой.

в) cosx - - неравенство нестрогое, проводим прямую х = -,

рассматриваем дугу, расположенную правее этой прямой.

(оценка 3 балла)

Проверка (устно):

а) cosx > - неравенство строгое, проводим прямую х = ,

рассматриваем дугу, расположенную выше этой прямой.

б) sinx - неравенство строгое, проводим прямую y = ,

рассматриваем дугу, расположенную ниже этой прямой.

в) cosx - - неравенство нестрогое, проводим прямую х = -,

рассматриваем дугу, расположенную правее этой прямой.

Этап 2. Осмысление (25 минут).

Цель: систематизировать, обобщить ранее пройденный материал. Научить его использовать для решения более сложных неравенств.

Задание 1. По рисунку определить градусные меры дуг. (5 минут с учётом проверки).

Двое учащихся работают около доски (с обратной стороны), ещё двое за первыми партами на листах (маркерами), которые затем крепятся на доске для проверки. Остальные учащиеся выполняют работу в тетрадях по-вариантно (1 вариант – 1, 3; 2 вариант – 2, 4).

За каждое правильно выполненное задание 1 балл (всего 4 балла).

у у

1)

0 х 0 х

2) у у

0 х 0 х

3) у у

0 х 0 х

4 ) у у

0 х 0 х

Задание 2. Математическая эстафета (10 минут).

Работа по командам.

На последней парте находится листок с тремя заданиями (по 1 заданию на каждую парту). Эти же задания записаны на доске. Ученики, получившие листок, выполняют первое задание (разрешается групповая работа) и передают листок впереди сидящим ребятам, после чего выполняют работу в тетрадях. Побеждают учащиеся того ряда, в котором раньше выполнено задание. Максимальная оценка 7 баллов.

1. cos x

2. sin x -

3. cos x < -

Этап 3. Рефлексия (10 минут).

Цель этапа: проконтролировать сформированность знаний и умений учащихся по теме.

Самостоятельная работа.

Работа пишется на листочках, может оцениваться отдельно. Максимальное количество баллов – 4. Проверка осуществляется с помощью кодоскопа. Вариант 1.

1. Отметьте решение неравенств на единичной окружности:

а) sinx > ; б) cosx- .

2. На единичной окружности отметьте точки, которым соответствуют значения t, удовлетворяющие неравенству и указанному интервалу:

а) sin t > - , t  [0; ]; б) cos t < , t  [ ;].

Вариант 2.

1. Отметьте решение неравенств на единичной окружности:

а) sinx < ; б) cosx > -.

2. На единичной окружности отметьте точки, которым соответствуют значения t, удовлетворяющие неравенству и указанному интервалу:

а) sin t - , t  [- ; 0 ]; б) cos t > , t  [- ;].

Подведение итогов урока.

После подведение итогов урока по оценочным листам, учащиеся записывают в дневники соответствующее домашнее задание:

оценка «2» - «3» - повторить алгоритм решения тригонометрических неравенств, №268, 289 на стр. 81 (учебник Алимова);

оценка «4» - стр. 81, № 269, 270;

оценка «5» - найти алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств для тангенса.

Начнём с того, что современный урок характеризуется своей мобильностью, изменчивостью. В настоящий момент существует множество различных технологий обучения, позволяющих добиваться прочных знаний у учащихся. Но, всё–таки, в большинстве своём, структура урока такова, что ученик остаётся в роли стороннего слушателя, который лишь изредка включается в диалог с учителем. При использовании технологии критического мышления учащийся из объекта обучения становится полноправным участником творческого процесса, который лишь направляется и корректируется в случае необходимости учителем.

С чего начинается театр? Ну, конечно же, с вешалки – ответите вы, а любой урок начинается с плана. Рассмотрим технологический алгоритм урока с применением технологии критического мышления:

Как видно из таблицы стадии урока перекликаются с традиционными этапами. Так в чём же разница? Разница в подаче материала. Ученик не просто слушает, он ищет, пробует новые способы овладения или применения новой информации, в процессе обучается сам и обучает других.

Как это происходит:

И, на конец, результат, при использовании технологии критического мышления мы учим учащихся мыслить, рассуждать, принимать самостоятельные решения, слушать других, работать в социуме. Приобретённые знания становятся прочными и глубокими.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/55167-mnogogranniki