Конспект урока по теме: «Теорема Виета»

Конспект

урока алгебры

в 8 классе по теме:

«Теорема Виета»

составила учитель математики

Рязанова Людмила Ивановна

Цели урока:

• обучающая: раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета); формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням (обратная теорема Виета); рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета.

• развивающая:способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений;

• воспитывающая: научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать навыки сотрудничества.

Ход урока

Организационный момент (1мин)

Сегодня очень важный урок: мы познакомимся с математиком, ученым, которого называют отцом алгебры, так как ему принадлежит знаменитая теорема. А что это за человек, какая теорема его прославила и облегчила жизнь многим поколениям учеников при решении квадратных уравнений, вы узнаете чуть позже. Успехов вам!

Дома вы решали квадратные уравнения, и я надеюсь, что все вы правильно решили эти уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни.

Проверяя домашнюю работу, ученики приходят в недоумение:каким образом учителю удается угадывать корни всех уравнений?

Учитель предлагает учащимся решить уравнение х²–2087х+2086=0. Вид, коэффициентов вызывает у учащихся нежелание, решать такое уравнение, а учитель называет корни этого уравнения сразу).

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

Исследование – поиск путей решения проблемы.

Класс делится на группы. Каждая группа получает задание и проводит исследование.

1 группа

1. х² + 7х + 12 = 0

2. х² - 10х + 21 = 0

3. х² – 3х – 10 = 0

4. х²+3х – 10 = 0

5. х² + 2х – 35 = 0

2 группа

1. х² + 5х + 6 = 0

2. х² - 9х + 20 = 0

3. х² – 2х – 15 = 0

4. х²+ 2х – 15 = 0

5. х² + х – 42= 0

З группа

1. х² + 7х + 10 = 0

2. х² - 8х + 15 = 0

3. х² – х – 6 = 0

4. х²+ х – 6 = 0

5. х² + 12х + 20 = 0

4 группа

1. х² + 8х + 15 = 0

2. х² - 7х + 10 = 0

3. х² – х – 12 = 0

4. х²+ х – 12 = 0

5. х² + 7х – 18= 0

5 группа

1. х² + 10х + 21 = 0

2. х² - 7х + 12 = 0

3. х² – х – 30 = 0

2. х²+ х – 30 = 0

3. х² + 13х + 30 = 0

Учащиеся заполняют таблицу по образцу.

Какие уравнения записаны в таблице? Давайте сравним коэффициенты уравнений и, затем корни. Какие связи между корнями и коэффициентами вы заметили? (Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.)

Попробуйте сформулировать свои выводы.

Гипотеза. Если x₁ и x₂ – корни уравнения x² + px + q = 0,

то x₁ + x₂ = -р, x₁· x₂ = q.

 Итак, вы получили те же выводы, что и французский ученый Франсуа Виет в 16 веке.

Виет Франсуа (1540-13.12. 1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. 

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так «Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.

Один из возможных вариантов ответов:

“Условие”: х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ =q.

“Заключение”: х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Формулируетсятеорема, обратная данной.

Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ = q, то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы должны будете дома.

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда мы проверяли домашнее задание, а также когда я решала уравнение с большими коэффициентами.

- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Физкультминутка: Один учащийся выходит к доске и проводит зарядку.

Итак, мы можем сказать, что теорема Виета и обратная ей – волшебницы. Почему? Что мы теперь как по волшебству можем делать?

(Учащиеся формулируют вывод: теорема Виета и обратная ей, позволяют нам)

1. 1. Самим составлять квадратные уравнения

   2. Определять знаки корней квадратного уравнения

   3. Делать проверку корней, решенного квадратного уравнения)

Но самое сильное и значимое волшебство мы еще не знаем. Оказывается, мы теперь сможем решать некоторые квадратные уравнения (а какие?) без нахождения дискриминанта и очень быстро узнавать корни. Разбирается пример на доске.

Проверка (устно):

Ответ: -3;-9

- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к неприведенному квадратному уравнению? (Да, можно, т.к. любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому).

Применение теоремы Виета

В. В. Маяковский: "Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно".

Зачем же нужна теорема Виета?

С ее помощью можно:

• найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

• зная один из корней, найти другой;

• определить знаки корней уравнения:

• подобрать корни уравнений, не решая.

А сейчас мы проведем небольшой тест. На столах у вас лежат тесты. После того

как вы сделаете тест, работаете с номером 580 (если хватит времени).

Тест.

I вариант

1. Найдите сумму корней уравнения .
1) – 16; 2) 16; 3) 28; 4) 4.

2. Найдите произведение корней уравнения .
1) – 17; 2) 17; 3) 60; 4) - 60.

3. Найдите сумму корней уравнения .
1) – ; 2) ; 3) ; 4) - .

3. Найдите произведение корней уравнения .
1) – ; 2) ; 3)15; 4) 5.

4. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения .
1) оба отрицательны; 2) оба положительны; 3) корни разных знаков.

5. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения .
1) оба отрицательны; 2) оба положительны; 3) корни разных знаков.

II вариант

1. Найдите сумму корней уравнения .
1) 12; 2) - 12; 3) - 45; 4) 45.

2. Найдите произведение корней уравнения .
1) – 3; 2) 3; 3) - 40; 4) 40.

3. Найдите сумму корней уравнения .
1) – ; 2) ; 3) ; 4) - .

3. Найдите произведение корней уравнения .
1) – ; 2) ; 3)15; 4) 5.

4. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения .
1) оба отрицательны; 2) оба положительны; 3) корни разных знаков.

5. Определите знаки корней уравнения, не решая уравнения .
1) оба отрицательны; 2) оба положительны; 3) корни разных знаков.

Домашнее задание.

Составить карточку с 10 квадратными уравнениями, оформить ее, найти корни и составить таблицу ответов к карточке.

Выучить формулировку теоремы Виета.

Рефлексия.

- Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/567327-konspekt-uroka-po-teme-teorema-vieta