Геометрические задачи для подготовки к ОГЭ

Вариант 1.

1.В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 15,

tgA = 0,4. Найдите BC.

2.  Найдите центральный ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°.

3.  Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

4.  Найдите тангенс угла 

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3) Через любую точку проходит более одной прямой.

4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

Вариант 2.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна   Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

2.  Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB Найдите угол ACB, если угол AOB равен 65°. Ответ дайте в градусах

3. Высота ВНромба   делит его сторону   на отрезки   и  . Найдите площадь ромба.

4. 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

5. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.

2) Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис.

3) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Вариант 3.

1.  Радиус окружности с центром в точке O равен 87, длина хорды AB равна 126 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

2. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду MN в её середине — точке K. Найдите длину хорды MN, если  KB = 1 см, а радиус окружности равен 13 см.

3. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 60, а отношение соседних сторон равно 4:11.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

5. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) У равнобедренного треугольника есть ось симметрии.

2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

Вариант 4.

1.  В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 52, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна  . Найдите  .

2.  На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 69°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

3. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 17 и 19. Найдите длину основания BC.

4.  Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

5. Укажите номера верных утверждений.

 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

2) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

3) Сумма вертикальных углов равна 180°.

Вариант 5.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 10, tgA = 0,7. Найдите BC.

2.  В угол C величиной 79° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, угол, лежащий напротив него, равен 30°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника, делённую на  .

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

5.Какое из следующих утверждений верно?

1) Все углы ромба равны.

2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

Вариант 6.

1.  Биссектрисы углов N и M треугольника  MNP  пересекаются в точке  A. Найдите   , если   , а  

2. 

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 15, CP = 6, DP = 10. Найдите AP.

3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на 

4.  На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённой из вершины прямого угла.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

.

Вариант 7.

1. Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен    Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 54.

2. На отрезке   выбрана точка   так, что   и  . Построена окружность с центром  , проходящая через  . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки   к этой окружности.

3.  Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

5. Какое из следующих утверждений верно?

1) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

3) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

Вариант 8.

1.  Найдите больший угол равнобедренной трапеции  , если диагональ   образует с основанием   и боковой стороной   углы, равные 12° и 13° соответственно. Ответ дайте в градусах.

2.  На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

3. Основания трапеции равны 6 и 20, одна из боковых сторон равна  , а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

5. Какое из следующих утверждений верно?

1. Все прямоугольные треугольники подобны.

2. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Вариант 9.

1.  В выпуклом четырехугольнике ABCD известно,что  ,  ,  ,   Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

2. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен   Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

3.  В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.

4.  Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

2. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Вариант 10.

1.  В треугольнике   известно, что  ,   - медиана,  . Найдите  .

2. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.

3.  Высота   ромба   делит его сторону   на отрезки   и  . Найдите площадь ромба.

4. 

Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

5. Какое из следующих утверждений верно?

1. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

Вариант 11.

1. В треугольнике   известно, что  ,  , угол   равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

2. 

В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 86°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

3.  Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

5.Какое из следующих утверждений верно?

1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

2) В параллелограмме есть два равных угла.

3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Вариант 12.

1. В треугольнике   известно, что  ,  . Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

2.  Найдите  ∠KOM, если градусные меры дуг  KO  и  OM  равны 112° и 170° соответственно.

3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

Вариант 13.

1. Точки   и   являются серединами сторон   и   треугольника  , сторона   равна 31, сторона   равна 27, сторона   равна 40. Найдите 

2. К окружности с центром в точке   проведены касательная   и секущая  . Найдите радиус окружности, если  ,  .

3. Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABED.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

5. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

Вариант 14.

1.  Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

2.  Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 75°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

3. Основания трапеции равны 1 и 7, одна из боковых сторон равна  , а угол между ней и одним из оснований равен 120°. Найдите площадь трапеции.

4.  Найдите тангенс угла С треугольника ABC , изображённого на рисунке.

5. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

2) Диагонали прямоугольника равны.

3) У любой трапеции боковые стороны равны.

Вариант 15.

1В треугольнике   известно, что  ,   - биссектриса. Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

2.Сторона квадрата равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

3.  В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 76. Найдите площадь треугольника ABC.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

Вариант 16.

1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.

2.  К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 20 , AO = 29 .

3.  Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 8 и 17. Найдите длину основания BC.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

Вариант 17.

1.  В треугольнике   известно, что  ,   - биссектриса. Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

2. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8, а AB = 3.

3.  Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

5. 

Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Вариант 18.

1.Площадь прямоугольного треугольника равна   Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

2.  На окружности с центром в точке   отмечены точки   и   так, что  . Длина меньшей дуги   равна 5. Найдите длину большей дуги  .

3.  Высота   ромба   делит его сторону   на отрезки   и  . Найдите площадь ромба.

4.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

5. Какое из следующих утверждений верно?

1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

2) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.

3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

Вариант 19.

1.  В треугольнике OAB угол B равен 90 °, AB = 6, sin O = 0,3. Найдите OA.

2. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 161°.

3.  В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 45. Найдите площадь треугольника ABC.

4. 

Найдите тангенс угла  , изображённого на рисунке.

5. Какое из следующих утверждений верно?

1) Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

2) В параллелограмме есть два равных угла.

3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Вариант 20.

1.  Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

2.  Центральный угол AOB, равный 60° , опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

3. Сторона треугольника равна 24, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.

4.  Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

2) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.

Вариант 21.

1. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 50, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 48. Найдите  .

2.  К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 72 , AO = 90 .

3. 

В трапеции ABCD известно, что AD = 9, BC = 1, а её площадь равна 70. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

4. 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

5. Какое из следующих утверждений верно?

1) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

3) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

Иванов Иван

-

-

13

4

-

5

2

-

-

45

-

-

-

3

2

-

1

-

2

-

-

2

Петрова Ира

1

2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

4

-

-

-

3

-

-

5

-

4