Урок по математике на тему «Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества»

Урок по математике на тему

«Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества»

Цели урока:

образовательные - систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений

воспитательные - воспитание самостоятельности, работоспособности, способности к сотрудничеству, воспитание патриотизма

развивающие - развитие коммуникативных способностей, навыков сотрудничества, повышение интеллектуального уровня, кругозора, повышение мотивации к изучению математики

Задачи урока:

- знакомство учащихся с историей математики

-повторение ранее изученного материала по тригонометрии

-повторение формул тригонометрии

- отработка навыка преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических формул

Оборудование:

- мультимедиа проектор, экран, доска, презентация, карточки

Методы деятельности: репродуктивный и частично - поисковый.

Использование новейших технологий познавательной деятельности: ИКТ- технология , технология индивидуальной и уровневой дифференциации, контроль знаний в тестовом режиме, игровая технология, защита проекта.

Соотношение репродуктивных и продуктивных форм деятельности, самостоятельная деятельность учащихся:

Репродуктивная форма 50%

Продуктивная форма 50%

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя:

«Дорогие друзья!

Беритесь за решение трудных математических задач! И тех, которые только что поставлены, и тех, которые уже многие десятилетия или столетия не поддаются решению.

Вас будут ожидать страдания, вы будете разочарованы, когда вам будет казаться, что вы напрасно потратили годы на поиски ускользающего призрака. Все может быть.

Но вы будете сторицей вознаграждены, когда в один прекрасный день окажетесь перед той заветной целью, к которой так долго и так трудно шли.

Не будьте безучастными и равнодушными, в противном случае это будет духовная смерть»

Я начала наш открытый урок словами Данте о беспредельной жажде познания, с которой должен жить человек.

На нашем уроке вы познакомитесь с интереснейшими фактами.

Они взяты наугад из истории математики, густонасыщенной такими эпизодами - героическими и драматическими, исполненными высокого пафоса и гражданского мужества, а нередко забавными и курьезными.

2.Ученик рассказывает историю первую - Гипатия

3. Учитель

Однажды великого греческого философа Сократа спросили о том, что, по его мнению, легче всего в жизни. Он ответил, что легче всего поучать других, а труднее – познать самого себя. Мы познаем окружающий нас мир. Но сегодня давайте заглянем в себя. Как мы воспринимаем окружающий мир? Как художники или как мыслители?

Психологический тест.

1. Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П».

2. Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху? Запишите результат.

3. Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху? Запишите.

Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности, а «ППП» - типу мыслителя.

(Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое мышление).

Какой же тип мышления преобладает у Вас?

Несколько «мыслителей», несколько «художников», большинство – личности, которым свойственно и логическое и образное мышление.

Вот и познакомились ближе: вы – с собой, я – с вами. Можно переходить к познанию темы урока.

1. Сообщение темы и целей урока

учитель:

«Мир тригонометрии - основные тригонометрические тождества»

Сообщается цель урока.

Главной целью нашего урока является систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений.

5.Разминка

В начале проведём разминку.

• Вытянуть правую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на 720 градусов.

• Вытянуть левую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на (-1080) градусов.

• Положите кисти рук на плечи и сделайте по 4 круговых движения вперед и назад. Какова сумма углов поворота?

6.Актуализация опорных знаний:

1. Сформулируйте определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, косинуса и тангенса.

2. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, противолежащий катет которого равен 8, а гипотенуза равна 10.

3. Назовите знаки тригонометрических функций по четвертям.

4. Что такое 1 радиан?

5. Перевести:

а) в радианы а)30°,45°,90,270°,-720°

в градусы π, π/3, π/2, -3π, π/18

6)Может ли синус быть равным 0,75; 5/3; -0,35; 0; √3 - 2

7.Самостоятельная работа:

Учитель: Я думаю, мы достаточно подготовились к мини самостоятельной работе, которую проведём в 3-х уровнях. А определиться, кто какой уровень будет писать, могут нам итоги психологического теста. 1 вариант пишут художники, второй вариант пишут ребята со смешенным мышлением, а третий вариант пишут мыслители.

‌ Тема: Переход от градусной меры углов к радианной мере. Переход от радианной меры углов к градусной мере

Приложение 1

А теперь я предлагаю ответить на вопрос, зачем нужна тригонометрия и поможет нам в этом Каширский Андрей, который подготовила небольшой проект по этой теме

8.Ученик с презентацией «Зачем нужна тригонометрия?»

9. Повторение формул приведения

Учитель:

Поблагодарим выступающего за столь интересное выступление. А теперь настало время повторить формулы приведения

На слайде, есть подсказки, для определения знаков функции.

1)sin (90° + х) =

2)cos (180°- х) =

3)tg (180° + х) =

4)sin (360° + х) =

5)sin (270° - х) =

6)cos (7 π+ х) =

Учитель: После плодотворной работы положен отдых. Послушаем ещё один исторический факт про Эйлера

11.Повторение основных тригонометрических формул.

Учитель - Следующий этап нашего урока это повторение основных формул тригонометрии.

Один ученик работает возле доски. Его задача написать, чтобы получилось верное тождество.

12.

Далее вас ждёт проверка усвоенного материала с помощью теста

на упрощение тригонометрических выражений с использованием основных тригонометрических формул.

Два человека пойдут работать к доске, выполнять индивидуальную работу по карточкам.

Остальные выполняют тест на упрощение тригонометрических выражений с использованием основных тригонометрических формул.

У вас на столах лежат цветные кружочки. Разберите их по цвету. Какой вам больше нравится. Соответственно вы сейчас определились с выполнением варианта теста. Интересный факт, ребята, выбравшие красный кружочек, по психологии цвета считаются активными, волевыми, они будут писать 1 вариант.

А ребята, выбравшие синий кружок, считается, нуждаются в поддержке окружающих. Они будут писать второй вариант, но им разрешается обратиться за помощью к товарищам, если им таковая понадобится.

На выполнение работы даётся 3 минуты.

Тест в двух вариантах.

Вариант 1

1. Упростить выражение

9 cos²α +9sin²α - 10

а) -1; б) 0; в) sin²α; г) 10

2) Упростить выражение

8 – 3 sin²α - 3cos²α

а)1+ sin²α; б) cos²α-1; в) 1; г) 5

3) Упростить выражение:

  (1 –sin²α):sin²α– сtg²α

а)sin²α; б) 0; в) 2сtg²α; г) sin²α

4) Упростить выражение

  sin⁴α + sin²α·cos²α

а)sin⁴α; б) 2sin²α; в) sin²α; г) cos²α

Вариант 2

1) Упростить выражение: 7 cos²α +7sin²α - 5

а) 1+cos²α; б) 2; в) –12; г) 12

2) Упростить выражение: 5 – 4 sin²α - 4cos²α

а) 1; б) 9; в) 1+8sin²α; г) 1+cos²α.

3) Упростить выражение: (1 – cos²α):cos²α – tg²α

а) ctg²α; б) 0; в) ctg²α - tg²α; г) 2tg²α

4) Упростить выражение cos⁴α + sin²α·cos²α

а) cos²α; б) 2sin²α; в)- cos²α; г) cos⁴α

Ответы теста на экране через 3 минуты

Ответы:

Вариант 1: 1а, 2г, 3б, 4в

Вариант 2:1б, 2а, 3б, 4а

Учитель

Проверим ребят, которые работали у доски. Им было предложено задание из ЕГЭ, которое они должны были решить каждый своим способом.

1.Решить с помощью тригонометрических формул

2.Решить с помощью определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

Как вы думаете, какой способ для вас предпочтительнее?

Тогда давайте это проверим. Выполним практическую работу, в которой присутствуют типичные задания по нашей теме из Единого Государственного экзамена, так, как все наши действия направлены на выполнение единственной цели, успешной сдачи ЕГЭ.

Работать вы будите в группах, на которые разбились изначально.

Класс разбивается на 3 группы, и решают задания из сборников по подготовке к ЕГЭ(Приложение 2)

14.Это интересно!

Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на слайде). Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90⁰, между мизинцем и безымянным – 30⁰, между мизинцем и средним – 45⁰, между мизинцем и указательным – 60⁰. И это у всех людей без исключения.

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0⁰.

Введем нумерацию пальцев:

• мизинец № 0 – соответствует 0⁰,

• безымянный № 1 – соответствует 30⁰,

• средний № 2 – соответствует 45⁰,

• указательный № 3 – соответствует 60⁰,

• большой № 4 – соответствует 90⁰.

А теперь снова заслуженный отдых. История третья - Архимед

15.Ученик рассказывает историю вторую - АРХИМЕД

16.Подведение итогов урока: учитель с заключительным словом

Заключение

Итак, одну терзают разъяренные христиане, другой от чрезмерного напряжения теряет свой глаз…

Третий(А если вы помните такой исторический факт, когда Великий Архимед) забылся до того, что, выскочив из ванны, побежал по улице почти голым,

Математика - это орудие, с помощью которого человек познает и покоряет себе окружающий мир. Но это - особое орудие. Оно покоряет не только внешний мир, оно властно подчиняет себе и того, кто за него берется. А, подчинив, оно не остановит его перед тем, чтобы принести во имя науки любые жертвы, которые она от него потребует. Чтобы сделать в математике что-то действительно ценное, надо любить, ее так, как любил ее каждый из трех упомянутых математиков, как любили ее десятки и сотни других ее ревнителей.

Не спорьте с безумствующими архиепископами, не бегайте голыми по улицам, не жертвуйте своими глазами во имя науки, но сделайте хотя бы малую часть того, что сделал каждый из них, и мир навсегда останется Вам благодарным.

17.Рефлексия урока

Продолжите фразы:

- сегодня на уроке я узнал …

- сегодня на уроке я научился…

- сегодня на уроке я повторил…

- сегодня на уроке я познакомился…

- сегодня на уроке мне понравилось…

Учитель: Домашнее задание я вам приготовила в виде интересных старинных и современных задач.

Источники информации:

http://laila50.livejournal.com/111671.html

http://blogs.mail.ru/mail/kareglazka_liana/726E0A12FACCD455.html

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Archimedes_and_the_burning_mirrors.html

http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/ARHIMED.html?page=0,3

http://kid-mathematics.narod.ru/eiler.htm

http://flotprom.ru/publications/history/slava/eiler/

Н.И. Кованцов «Математика и романтика»

Приложение №1

Самостоятельная работа

Приложение №2

Тест

1 вариант 

Упростить выражение 9 cos²α+ 9sin²α- 10

а) -1; б) 0; в) sin²α; г) 10

2)Упростить выражение 8 – 3 sin²α - 3cos²α

а)1+ sin²α; б) cos²α-1; в) 1; г) 5 (1 –sin²α):sin²α– сtg²α

а)sin²α ; б) 0; в) 2сtg²α; г) sin²α

4)Упростить выражение sin⁴α + sin²α·cos²α

а)sin⁴α; б) 2sin²α; в) sin²α; г) cos²α

Тест

2 вариант

Упростить выражение: 7 cos²α +7sin²α - 5

а) 1+cos²α; б) 2; в) –12; г) 12

2) Упростить выражение: 5 – 4 sin²α - 4cos²α

а) 1; б) 9; в) 1+8sin²α; г) 1+cos²α.

3) Упростить выражение: (1 – cos²α):cos²α – tg²α

а) ctg²α; б) 0; в) ctg²α - tg²α; г) 2tg²α

4) Упростить выражение cos⁴α + sin²α·cos²α

а) cos²α; б) 2sin²α; в)- cos²α; г) cos⁴α

Приложение №3

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

1 ГРУППА.

Решить задачи:

1. В треугольнике АВС АС = ВС = 5, . Найдите АВ

2. Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

2 ГРУППА.

Решить задачи:

1)В треугольнике АВС угол С равен 90, угол А равен 60, АВ = 8. Найдите АС.

2)Найти площадь фигуры , изображенной на рисунке

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

3 ГРУППА.

Решить задачи:

1. В треугольнике АВС угол С равен 90, . Найдите

2. Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

Индивидуальные задания для работы у доски.

1.Решить с помощью тригонометрических формул

Дано cost=0,4; 90°<t<180°

Найти:sint

2.Решить с помощью определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

Дано cost=0,4; 90°<t<180°

Найти:sint

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/623800-urok-po-matematike-na-temu-mir-trigonometrii-